Problem desek Tarskiego

Problem desek Tarskiego (ang. Tarski's plank problem) – problem geometrii wypukłej, sformułowany przez Alfreda Tarskiego w 1932 r^[1][2][3][4]. Zagadnienie dotyczy tego, czy ${\displaystyle n}$-wymiarowy zbiór wypukły w przestrzeni euklidesowej może zostać pokryty "deskami", tzn. przestrzeniami między dwiema hiperpłaszczyznami w taki sposób, że łączna suma szerokości desek (odległości między hiperpłaszczyznami) jest mniejsza od szerokości zbioru pokrytego.

Problem został rozwiązany przez Thøgera Banga w pracach z 1950 i 1951 r.^[4][5][6]. Jednocześnie w pracy z 1951 r. Bang zaproponował uogólnienie problemu, które do dziś pozostaje nierozwiązane^[6], a którego szczególny przypadek udowodnił Keith Ball w 1991 r.^[7].

Rozważmy zbiór wypukły ${\displaystyle C\subset \mathbb {R} ^{d}}$ w przestrzeni euklidesowej ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$. Dla hiperpłaszczyzny ${\displaystyle H}$, tzn. podprzestrzeń afiniczną przestrzeni ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$ wymiaru ${\displaystyle d-1}$. Przez ${\displaystyle w(C,H)}$ będziemy oznaczać szerokość ${\displaystyle C}$ w kierunku ${\displaystyle H}$, tzn. odległość między dwiema hiperpłaszczyznami równoległymi do ${\displaystyle H}$ podpierającymi ${\displaystyle C}$. Przez szerokość ${\displaystyle C}$ będziemy mieć na myśli

${\displaystyle w(C)=\inf _{H}w(C,H)}$.

Deską w przestrzeni ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$ będziemy nazywać zbiór ${\displaystyle P}$ punktów pomiędzy dwiema hiperpłaszczyznami, które nazywamy hiperpłaszczyznami brzegowymi deski ${\displaystyle P}$. Szerokość deski będziemy oznaczać ${\displaystyle w(P)}$ i będzie ona wynosić odległość między hiperpłaszczyznami brzegowymi ${\displaystyle P}$. Ponadto powiemy, że deski ${\displaystyle P_{1},P_{2},\ldots ,P_{n}}$ pokrywają ${\displaystyle C}$, jeśli

${\displaystyle C\subseteq \bigcup _{i=1}^{n}P_{i}}$.

Sformułowanie problemu Tarskiego jest następujące. Jeśli ciało wypukłe ${\displaystyle C\subset \mathbb {R} ^{d}}$ jest pokryte przez deski ${\displaystyle P_{1},P_{2},\ldots ,P_{n}}$, to

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}w(P_{i})\geqslant w(C)}$.

Innymi słowy, suma szerokości desek musi wynosić co najmniej tyle, co szerokość ${\displaystyle C}$.

Thøger Bang uogólnił zagadnienie do postaci niezmiennej przy działaniu przekształceń afinicznych. Dla deski ${\displaystyle P}$ o hiperpłaszczyźnie brzegowej ${\displaystyle H}$ przez ${\displaystyle w_{rel}(P)}$ będziemy oznaczać jej szerokość względną (ang. relative width) daną przez

${\displaystyle w_{rel}(P)={\frac {w(P)}{w(C,H)}}}$.

Bang postawił hipotezę, że jeśli ciało wypukłe ${\displaystyle C\subset \mathbb {R} ^{d}}$ jest pokryte przez deski ${\displaystyle P_{1},P_{2},\ldots ,P_{n}}$, to suma ich szerokości względnych jest większa lub równa 1,^[6]

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}w_{rel}(P_{i})\geqslant 1}$.

Keith Ball w pracy z 1991 r. udowodnił prawdziwość tej hipotezy dla zbiorów wypukłych środkowo symetrycznych, tzn. takich, że istnieje punkt ${\displaystyle c\in \mathbb {R} ^{d}}$ taki, że ${\displaystyle c+x\in C}$ wtedy i tylko wtedy, gdy ${\displaystyle c-x\in C}$. W swoim rozwiązaniu korzystał z faktu, że dla każdego takiego zbioru ${\displaystyle C}$ można utworzyć przestrzeń Banacha ${\displaystyle X}$, w której ${\displaystyle C}$ jest kulą jednostkową w normie Minkowskiego^[7]. Dla zbiorów niebędących środkowo symetrycznymi, problem wciąż pozostaje otwarty^[4].

8 listopada 2024 r. Grant Sanderson udostępnił na swoim kanale 3Blue1Brown w serwisie YouTube film ilustrujący problem w przypadku przestrzeni dwuwymiarowej^[8].