Wykres przykładowej funkcji homograficznej: y = 1/x . Dla każdego niezerowego x liczba y przedstawia jego odwrotność . Funkcja homograficzna , homografia [1] funkcji wymiernej :
f
(
z
)
=
a
z
+
b
c
z
+
d
,
{\displaystyle f(z)={\frac {az+b}{cz+d}},}
gdzie współczynniki
a
,
b
,
c
,
d
{\displaystyle a,b,c,d}
a
d
− − -->
b
c
≠ ≠ -->
0
{\displaystyle ad-bc\neq 0}
[2] [3] w sensie wąskim są to ilorazy funkcji liniowych niebędące funkcjami liniowymi – zdarza się dodatkowy warunek
c
≠ ≠ -->
0
{\displaystyle c\neq 0}
[4] [5] [6] Powyższy wzór jest znany jako postać ogólna homografii, a oprócz niej istnieje także postać kanoniczna [6]
f
(
z
)
=
r
z
− − -->
p
+
q
,
r
≠ ≠ -->
0.
{\displaystyle f(z)={\frac {r}{z-p}}+q,\ r\neq 0.}
Dziedziną homografii może być podzbiór :
liczb rzeczywistych [6]
f
:
R
∖ ∖ -->
{
− − -->
d
c
}
→ → -->
R
,
a
,
b
,
c
,
d
∈ ∈ -->
R
;
{\displaystyle f:\mathbb {R} \backslash \{-{\frac {d}{c}}\}\to \mathbb {R} ,\ a,b,c,d\in \mathbb {R} ;}
liczb zespolonych [1]
f
:
C
∖ ∖ -->
{
− − -->
d
c
}
→ → -->
C
,
a
,
b
,
c
,
d
∈ ∈ -->
C
;
{\displaystyle f:\mathbb {C} \backslash \{-{\frac {d}{c}}\}\to \mathbb {C} ,\ a,b,c,d\in \mathbb {C} ;}
dowolnego ciała
K
,
{\displaystyle K,}
f
:
K
∖ ∖ -->
{
− − -->
d
c
}
→ → -->
K
,
{\displaystyle f:K\backslash \{-{\frac {d}{c}}\}\to K,}
a
,
b
,
c
,
d
∈ ∈ -->
K
.
{\displaystyle a,b,c,d\in K.}
Dla ustalonej dziedziny zbiór wszystkich homografii rozumiany szeroko tworzy grupę przekształceń [1] przekształceń konforemnych [1]
Funkcji tego typu używa się m.in. w kartografii i fizyce , np. mechanice płynów [1]
Przypadek
c
≠ ≠ -->
0.
{\displaystyle c\neq 0.}
Funkcja homograficzna
f
(
x
)
=
a
x
+
b
c
x
+
d
{\displaystyle f(x)={\frac {ax+b}{cx+d}}}
jest określona dla
x
≠ ≠ -->
− − -->
d
c
,
{\displaystyle x\neq -{\frac {d}{c}},}
K
∖ ∖ -->
{
− − -->
d
c
}
,
{\displaystyle K\setminus \{-{\tfrac {d}{c}}\},}
nie przyjmuje wartości
a
c
,
{\displaystyle {\frac {a}{c}},}
K
∖ ∖ -->
{
a
c
}
,
{\displaystyle K\setminus \{{\tfrac {a}{c}}\},}
a
x
+
b
c
x
+
d
− − -->
a
c
=
b
c
− − -->
a
d
c
(
c
x
+
d
)
=
0
,
{\displaystyle {\frac {ax+b}{cx+d}}-{\frac {a}{c}}={\frac {bc-ad}{c(cx+d)}}=0,}
która jest sprzeczna z tym, że
b
c
− − -->
a
d
≠ ≠ -->
0.
{\displaystyle bc-ad\neq 0.}
Przypadek
c
=
0.
{\displaystyle c=0.}
Funkcja homograficzna
f
(
x
)
=
a
x
+
b
c
x
+
d
{\displaystyle f(x)={\frac {ax+b}{cx+d}}}
jest określona dla dowolnego
x
∈ ∈ -->
K
,
{\displaystyle x\in K,}
przyjmuje dowolne wartości ciała
K
.
{\displaystyle K.}
Homografia jest funkcją różnowartościową niezależnie od ciała, w którym jest określona.
Istotnie, jeśli
f
(
x
1
)
=
f
(
x
2
)
,
{\displaystyle f(x_{1})=f(x_{2}),}
a
x
1
+
b
c
x
1
+
d
=
a
x
2
+
b
c
x
2
+
d
,
{\displaystyle {\frac {ax_{1}+b}{cx_{1}+d}}={\frac {ax_{2}+b}{cx_{2}+d}},}
to
(
a
x
1
+
b
)
(
c
x
2
+
d
)
=
(
a
x
2
+
b
)
(
c
x
1
+
d
)
.
{\displaystyle (ax_{1}+b)(cx_{2}+d)=(ax_{2}+b)(cx_{1}+d).}
Po rozpisaniu obu stron, redukcji i zwinięciu wyrażenia dostajemy
(
a
d
− − -->
b
c
)
(
x
1
− − -->
x
2
)
=
0
,
{\displaystyle (ad-bc)(x_{1}-x_{2})=0,}
a ponieważ
a
d
− − -->
b
c
≠ ≠ -->
0
,
{\displaystyle ad-bc\neq 0,}
x
1
=
x
2
.
{\displaystyle x_{1}=x_{2}.}
Jeśli powiększymy ciało
K
{\displaystyle K}
∞ ∞ -->
,
{\displaystyle \infty ,}
punktem w nieskończoności , to na zbiorze
K
^ ^ -->
=
K
∪ ∪ -->
{
∞ ∞ -->
}
{\displaystyle {\hat {K}}=K\cup \{\infty \}}
f
{\displaystyle f}
dla
c
=
0
f
(
∞ ∞ -->
)
=
∞ ∞ -->
,
{\displaystyle c=0\quad f(\infty )=\infty ,}
dla
c
≠ ≠ -->
0
f
(
∞ ∞ -->
)
=
a
c
,
f
(
− − -->
d
c
)
=
∞ ∞ -->
.
{\displaystyle c\neq 0\quad f(\infty )={\frac {a}{c}},\quad f\left(-{\frac {d}{c}}\right)=\infty .}
Ponieważ jednocześnie
dla
c
=
0
x
≠ ≠ -->
∞ ∞ -->
⇒ ⇒ -->
f
(
x
)
≠ ≠ -->
∞ ∞ -->
,
{\displaystyle c=0\quad x\neq \infty \Rightarrow f(x)\neq \infty ,}
dla
c
≠ ≠ -->
0
x
≠ ≠ -->
∞ ∞ -->
⇒ ⇒ -->
f
(
x
)
≠ ≠ -->
a
c
,
x
≠ ≠ -->
− − -->
d
c
⇒ ⇒ -->
f
(
x
)
≠ ≠ -->
∞ ∞ -->
,
{\displaystyle c\neq 0\quad x\neq \infty \Rightarrow f(x)\neq {\frac {a}{c}},\quad x\neq -{\frac {d}{c}}\Rightarrow f(x)\neq \infty ,}
to homografia
f
: : -->
K
^ ^ -->
→ → -->
K
^ ^ -->
{\displaystyle f\colon {\hat {K}}\to {\hat {K}}}
funkcją wzajemnie jednoznaczną .
Jeśli
K
=
R
{\displaystyle K=\mathbb {R} }
K
=
C
,
{\displaystyle K=\mathbb {C} ,}
funkcja wymierna jest funkcją ciągłą w swojej dziedzinie.
Po uzwarceniu ciała liczb rzeczywistych
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
liczb zespolonych
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
∞ ∞ -->
{\displaystyle \infty }
R
^ ^ -->
{\displaystyle {\hat {\mathbb {R} }}}
C
^ ^ -->
,
{\displaystyle {\hat {\mathbb {C} }},}
dla
c
=
0
f
(
∞ ∞ -->
)
=
lim
x
→ → -->
∞ ∞ -->
f
(
x
)
{\displaystyle c=0\quad f(\infty )=\lim _{x\to \infty }f(x)}
dla
c
≠ ≠ -->
0
f
(
∞ ∞ -->
)
=
lim
x
→ → -->
∞ ∞ -->
f
(
x
)
,
f
(
− − -->
d
c
)
=
lim
x
→ → -->
− − -->
d
c
f
(
x
)
{\displaystyle c\neq 0\quad f(\infty )=\lim _{x\to \infty }f(x),\;f(-{\tfrac {d}{c}})=\lim _{x\to -{\tfrac {d}{c}}}f(x)}
co oznacza, że homografia przedłużona jest także ciągła.
Oczywiście
R
^ ^ -->
{\displaystyle {\hat {\mathbb {R} }}}
homeomorficzny z okręgiem ,
C
^ ^ -->
{\displaystyle {\hat {\mathbb {C} }}}
sferą .
Zbiór wszystkich funkcji homograficznych określonych w danym ciele (włączając przypadek
c
=
0
{\displaystyle c=0}
grupę ze względu na składanie[1]
Rzeczywiście, jeśli
g
(
x
)
=
a
1
x
+
b
1
c
1
x
+
d
1
,
f
(
x
)
=
a
x
+
b
c
x
+
d
,
{\displaystyle g(x)={\frac {a_{1}x+b_{1}}{c_{1}x+d_{1}}},\quad f(x)={\frac {ax+b}{cx+d}},}
gdzie
a
1
d
1
− − -->
b
1
c
1
≠ ≠ -->
0
,
a
d
− − -->
b
c
≠ ≠ -->
0
,
{\displaystyle a_{1}d_{1}-b_{1}c_{1}\neq 0,\quad ad-bc\neq 0,}
to
(
g
∘ ∘ -->
f
)
(
x
)
=
g
(
f
(
x
)
)
=
(
a
1
a
+
b
1
c
)
x
+
a
1
b
+
b
1
d
(
c
1
a
+
d
1
c
)
x
+
c
1
b
+
d
1
d
,
{\displaystyle (g\circ f)(x)=g(f(x))={\frac {(a_{1}a+b_{1}c)x+a_{1}b+b_{1}d}{(c_{1}a+d_{1}c)x+c_{1}b+d_{1}d}},}
gdzie
(
a
1
a
+
b
1
c
)
(
c
1
b
+
d
1
d
)
− − -->
(
a
1
b
+
b
1
d
)
(
c
1
a
+
d
1
c
)
=
(
a
1
d
1
− − -->
b
1
c
1
)
(
a
d
− − -->
b
c
)
≠ ≠ -->
0.
{\displaystyle (a_{1}a+b_{1}c)(c_{1}b+d_{1}d)-(a_{1}b+b_{1}d)(c_{1}a+d_{1}c)=(a_{1}d_{1}-b_{1}c_{1})(ad-bc)\neq 0.}
Czyli
g
∘ ∘ -->
f
{\displaystyle g\circ f}
Homografia
f
(
x
)
=
x
{\displaystyle f(x)=x}
elementem neutralnym ) tej grupy.
Dla homografii
f
(
x
)
=
a
x
+
b
c
x
+
d
{\displaystyle f(x)={\frac {ax+b}{cx+d}}}
elementem odwrotnym jest homografia
f
− − -->
1
(
x
)
=
d
x
− − -->
b
− − -->
c
x
+
a
.
{\displaystyle f^{-1}(x)={\frac {dx-b}{-cx+a}}.}
Oznaczmy przez
M
f
=
(
a
b
c
d
)
{\displaystyle M_{f}={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}}
f
(
x
)
=
a
x
+
b
c
x
+
d
.
{\displaystyle f(x)={\frac {ax+b}{cx+d}}.}
Zauważmy, że warunek dla współczynników
a
d
− − -->
b
c
≠ ≠ -->
0
{\displaystyle ad-bc\neq 0}
M
f
{\displaystyle M_{f}}
macierzą nieosobliwą .
Zauważmy też, że współczynniki złożenia
g
∘ ∘ -->
f
{\displaystyle g\circ f}
M
g
⋅ ⋅ -->
M
f
.
{\displaystyle M_{g}\cdot M_{f}.}
Można to symbolicznie zapisać
M
g
∘ ∘ -->
f
=
M
g
⋅ ⋅ -->
M
f
.
{\displaystyle M_{g\circ f}=M_{g}\cdot M_{f}.}
Oznacza to, że grupę homografii nad pewnym ciałem można zanurzyć w grupie nieosobliwych macierzy
2
× × -->
2
{\displaystyle 2\times 2}
Możliwość skracania/rozszerzania ułamka definiującego homografię utrudnia ustalenie izomorfizmu – jednej homografii odpowiada cała klasa macierzy „proporcjonalnych” do siebie. Dla niektórych ciał znalezienie izomorfizmu jest jednak dość proste – dla ciała R wystarczy ograniczyć się do grupy macierzy o wyznaczniku równym 1 lub −1, natomiast dla ciała C wystarczy grupa macierzy o wyznaczniku 1.
Dla homografii, dla której
c
≠ ≠ -->
0
{\displaystyle c\neq 0}
f
(
z
)
=
a
z
+
b
c
z
+
d
=
b
c
− − -->
a
d
c
⋅ ⋅ -->
1
z
+
d
c
+
a
c
.
{\displaystyle f(z)={\frac {az+b}{cz+d}}={\frac {bc-ad}{c}}\cdot {\frac {1}{z+{\frac {d}{c}}}}+{\frac {a}{c}}.}
Jest więc ona złożeniem kolejno poniższych funkcji:
translacji:
f
1
(
z
)
=
z
+
d
c
,
{\displaystyle f_{1}(z)=z+{\frac {d}{c}},}
inwersji:
f
2
(
z
)
=
1
z
,
{\displaystyle f_{2}(z)={\frac {1}{z}},}
jednokładność :
f
3
(
z
)
=
b
c
− − -->
a
d
c
2
⋅ ⋅ -->
z
,
{\displaystyle f_{3}(z)={\frac {bc-ad}{c^{2}}}\cdot z,}
translacja:
f
4
(
z
)
=
z
+
a
c
.
{\displaystyle f_{4}(z)=z+{\frac {a}{c}}.}
Jeśli zaś
c
=
0
,
{\displaystyle c=0,}
przekształcenie liniowe jest złożeniem dwóch funkcji:
jednokładności:
f
1
(
z
)
=
a
d
⋅ ⋅ -->
z
,
{\displaystyle f_{1}(z)={\frac {a}{d}}\cdot z,}
translacji:
f
2
(
z
)
=
z
+
b
d
.
{\displaystyle f_{2}(z)=z+{\frac {b}{d}}.}
W języku macierzowym oznacza to, że każda macierz
2
× × -->
2
{\displaystyle 2\times 2}
iloczyn macierzy postaci
(
1
a
0
1
)
,
(
a
0
0
1
)
,
(
0
1
1
0
)
.
{\displaystyle {\begin{pmatrix}1&a\\0&1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}a&0\\0&1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}.}
Weźmy dwie dowolne homografie:
f
(
x
)
=
a
x
+
b
c
x
+
d
,
g
(
x
)
=
a
′
x
+
b
′
c
′
x
+
d
′
,
{\displaystyle f(x)={\frac {ax+b}{cx+d}},\quad g(x)={\frac {a'x+b'}{c'x+d'}},}
gdzie
c
,
c
′
≠ ≠ -->
0.
{\displaystyle c,c'\neq 0.}
Wówczas oznaczając
D
=
a
d
− − -->
b
c
,
D
′
=
a
′
d
′
− − -->
b
′
c
′
,
{\displaystyle D=ad-bc,\ D'=a'd'-b'c',}
f
(
x
)
=
a
x
+
b
c
x
+
d
=
c
′
2
D
c
2
D
′
⋅ ⋅ -->
a
′
(
x
+
d
c
− − -->
d
′
c
′
)
+
b
′
c
′
(
x
+
d
c
− − -->
d
′
c
′
)
+
d
′
− − -->
a
′
c
′
D
c
2
D
′
+
a
c
=
c
′
2
D
c
2
D
′
⋅ ⋅ -->
g
(
x
+
d
c
− − -->
d
′
c
′
)
− − -->
a
′
c
′
D
c
2
D
′
+
a
c
,
{\displaystyle f(x)={\frac {ax+b}{cx+d}}={\frac {c'^{2}D}{c^{2}D'}}\cdot {\frac {a'(x+{\frac {d}{c}}-{\frac {d'}{c'}})+b'}{c'(x+{\frac {d}{c}}-{\frac {d'}{c'}})+d'}}-{\frac {a'c'D}{c^{2}D'}}+{\frac {a}{c}}={\frac {c'^{2}D}{c^{2}D'}}\cdot g(x+{\frac {d}{c}}-{\frac {d'}{c'}})-{\frac {a'c'D}{c^{2}D'}}+{\frac {a}{c}},}
czyli
f
(
x
)
=
(
h
2
∘ ∘ -->
g
∘ ∘ -->
h
1
)
(
x
)
,
{\displaystyle f(x)=(h_{2}\circ g\circ h_{1})(x),}
gdzie h2 , h1 są liniowymi funkcjami:
h
2
(
x
)
=
c
′
2
D
c
2
D
′
⋅ ⋅ -->
x
− − -->
a
′
c
′
D
c
2
D
′
+
a
c
,
{\displaystyle h_{2}(x)={\frac {c'^{2}D}{c^{2}D'}}\cdot x-{\frac {a'c'D}{c^{2}D'}}+{\frac {a}{c}},}
h
1
(
x
)
=
x
+
d
c
− − -->
d
′
c
′
.
{\displaystyle h_{1}(x)=x+{\frac {d}{c}}-{\frac {d'}{c'}}.}
Jedną homografię można więc otrzymać z innej przemnażając (w sensie składania) lewostronnie i prawostronnie przez pewne funkcje liniowe. Przydaje się to przy budowaniu i analizowaniu wykresów.
Dowolne niezdegenerowane przekształcenie liniowe przestrzeni 2-wymiarowej nad dowolnym ciałem ma postać:
y
1
=
a
x
1
+
b
x
2
,
{\displaystyle y_{1}=ax_{1}+bx_{2},}
y
2
=
c
x
1
+
d
x
2
,
{\displaystyle y_{2}=cx_{1}+dx_{2},}
gdzie
a
d
− − -->
b
d
≠ ≠ -->
0
{\displaystyle ad-bd\neq 0}
x
i
,
y
i
{\displaystyle x_{i},y_{i}}
Istnieje odpowiedniość wzajemnie jednoznaczna między zbiorem podprzestrzeni 1-wymiarowych w 2-wymiarowej przestrzeni liniowej a zbiorem punktów na prostej rzutowej (tak buduje się jeden z modeli dla geometrii rzutowej). Stąd wystarczy potraktować współrzędne wektorów w jakiejkolwiek bazie jako zapis współrzędnych punktów rzutowych w układzie współrzędnych jednorodnych .
Ponieważ
y
1
y
2
=
a
x
1
+
b
x
2
c
x
1
+
d
x
2
=
a
x
1
x
2
+
b
c
x
1
x
2
+
d
,
{\displaystyle {\frac {y_{1}}{y_{2}}}={\frac {ax_{1}+bx_{2}}{cx_{1}+dx_{2}}}={\frac {a{\frac {x_{1}}{x_{2}}}+b}{c{\frac {x_{1}}{x_{2}}}+d}},}
więc przechodząc od współrzędnych jednorodnych do zwykłych (tj. rzutowych)
x
:=
x
1
x
2
,
y
:=
y
1
y
2
{\displaystyle x:={\frac {x_{1}}{x_{2}}},\quad y:={\frac {y_{1}}{y_{2}}}}
y
=
a
x
+
b
c
x
+
d
.
{\displaystyle y={\frac {ax+b}{cx+d}}.}
Czyli dostaniemy funkcję homograficzną w pewnym układzie współrzędnych rzutowych .
Oznacza to, że homografia jest analityczną postacią przekształcenia rzutowego prostej rzutowej na siebie. Zauważmy jeszcze, że jeśli w tym układzie współrzędnych przyjmiemy
c
=
0
,
{\displaystyle c=0,}
przekształceń afinicznych prostej rzutowej na siebie. Nie możemy jednak wyróżnić podobieństw i izometrii nie mając określonego iloczynu skalarnego.
Homografia jako funkcja zmiennej rzeczywistej
Rozważając homografie jako funkcje zmiennej rzeczywistej wymagamy, aby współczynniki
a
,
b
,
c
,
d
{\displaystyle a,b,c,d}
Wykres
Rysunek pokazuje wykres typowej homografii. Szare linie symbolizują asymptoty wykresu. Wykres funkcji homograficznej jest przesunięciem równoległym pewnej hiperboli ; posiada on dwie asymptoty :
pionową
x
=
− − -->
d
c
{\displaystyle x={\frac {-d}{c}}}
y
=
a
c
.
{\displaystyle y={\frac {a}{c}}.}
Punkt
S
=
(
− − -->
d
c
;
a
c
)
{\displaystyle S=\left({\frac {-d}{c}};{\frac {a}{c}}\right)}
monotoniczna na każdym z przedziałów
(
− − -->
∞ ∞ -->
,
− − -->
d
c
)
{\displaystyle \left(-\infty ,-{\frac {d}{c}}\right)}
(
− − -->
d
c
,
∞ ∞ -->
)
.
{\displaystyle \left(-{\frac {d}{c}},\infty \right).}
przedziałami malejąca gdy
a
d
− − -->
b
c
<
0
{\displaystyle ad-bc<0}
przedziałami rosnąca
a
d
− − -->
b
c
>
0.
{\displaystyle ad-bc>0.}
Wykażmy, że wykres funkcji homograficznej
f
(
x
)
=
a
x
+
b
c
x
+
d
,
{\displaystyle f(x)={\frac {ax+b}{cx+d}},}
c
≠ ≠ -->
0
{\displaystyle c\neq 0}
a
d
− − -->
b
c
≠ ≠ -->
0
{\displaystyle ad-bc\neq 0}
x
{\displaystyle x}
a
x
+
b
c
x
+
d
=
a
c
− − -->
a
d
− − -->
b
c
c
2
x
+
c
d
=
b
c
− − -->
a
d
c
2
(
x
+
d
c
)
+
a
c
.
{\displaystyle {\frac {ax+b}{cx+d}}={\frac {a}{c}}-{\frac {ad-bc}{c^{2}x+cd}}={\frac {bc-ad}{c^{2}(x+{\frac {d}{c}})}}+{\frac {a}{c}}.}
Zatem wykres funkcji
f
{\displaystyle f}
y
=
b
c
− − -->
a
d
c
2
x
{\displaystyle y={\frac {bc-ad}{c^{2}x}}}
o wektor
u
→ → -->
=
[
− − -->
d
c
,
a
c
]
.
{\displaystyle {\vec {u}}=[-{\frac {d}{c}},{\frac {a}{c}}].}
Homografia jako funkcja zmiennej zespolonej
Homografia określona w ciele liczb zespolonych C jest funkcją holomorficzną .
Użycie ciała C do wprowadzenia układu współrzędnych na płaszczyźnie (w uproszczeniu:
C
≡ ≡ -->
R
2
{\displaystyle C\equiv R^{2}}
odwzorowaniem konforemnym , czyli równokątnym odwzorowaniem płaszczyzny na siebie (dotyczy to zresztą wszystkich funkcji holomorficznych w punktach, w których pochodna nie zeruje się).
Homografia wyróżnia się jeszcze jedną ciekawą własnością geometryczną – jest funkcją
C
∪ ∪ -->
{
∞ ∞ -->
}
→ → -->
C
∪ ∪ -->
{
∞ ∞ -->
}
{\displaystyle C\cup \{\infty \}\to C\cup \{\infty \}}
okręgi , tzn. obrazem okręgu jest okrąg (za okręgi uznajemy także proste). W szczególności taką własność ma inwersja zespolona
f
(
z
)
=
1
z
.
{\displaystyle f(z)={\frac {1}{z}}.}
inwersję otrzymujemy składając inwersję zespoloną ze sprzężeniem , czyli stosując funkcję
f
(
z
)
=
1
z
¯ ¯ -->
.
{\displaystyle f(z)={\frac {1}{\bar {z}}}.}
Homografia określona w ciele C nazywana jest także odwzorowaniem Möbiusa [potrzebny przypis ] .
Przypisy
↑ a b c d e f funkcja homograficzna Encyklopedia PWN Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2022-03-11] .↑ Uniwersalna Encyklopedia PWN , Wydawnictwo Naukowe PWN SA, wydanie elektroniczne 2008, wersja 1.↑ Słownik encyklopedyczny – matematyka . Wrocław: Wydawnictwo Europa, 1998, s. 69. ISBN 83-85336-06-0 .↑ Witold Pogorzelski : Analiza matematyczna . T. I. Warszawa: PWN, 1953, s. 55.↑ I.N. Bronsztejn, K.A. Siemiendiajew: Matematyka. Poradnik encyklopedyczny . Warszawa: PWN, 1976. Brak numerów stron w książce ↑ a b c Postać kanoniczna funkcji homograficznej
Douglas N. Arnold, Jonathan Rogness (University of Minnesota): Moebius Transformations Revealed . [dostęp 2009-05-01]. (ang. ) . – animacja pokazująca przekształcenie Möbiusa generowane przez funkcję homograficzną w dziedzinie zespolonej
![{\displaystyle {\vec {u}}=[-{\frac {d}{c}},{\frac {a}{c}}].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3bc43d43327bf749254bac3452c5a8a365a5ca9c)
