Jego brat Walentin (ur. 1975) także był hokeistą[1]. Ma żonę Irinę (ur. 1979) oraz syna Nikitę (ur. 2007) i córkę Anastasiję (ur. 2009)[2]. Wystąpił w filmie Brat 2 (2000)[3][4].
Wychowanek klubu Krylja Sowietow Moskwa. W 1995 był draftowany do NHL z 24 miejsca przez Pittsburgh Penguins. Po drafcie nadal występował w lidze rosyjskiej aż do 1997, gdy dołączył do amerykańskiego zespołu. W NHL rozpoczął karierę, podobnie jak legenda „Pingwinów” Mario Lemieux, strzelając gola w pierwszym meczu podczas pierwszej zmiany i oddając pierwszy strzał. W trakcie siedmiu sezonów w Pittsburghu rozegrał 451 spotkań, strzelił w nich 84 gole i uzyskując 219 punktów. W trakcie swojej kariery w NHL zdobył przydomek The Devil Killer (Diabeł Zabójca), który zawdzięcza serii notorycznych sukcesów w rywalizacji z drużyną New Jersey Devils. Bramkarz „Diabłów” Martin Brodeur w wywiadzie dla Fox Sports Net przed meczem z Pittsburgh Penguins żartując powiedział, że przed każdym meczem z „Pingwinami” ma koszmary z udziałem Morozowa. Pomimo tych sukcesów, jak również zdobycia olimpijskiego medalu, Morozow nigdy w pełni nie rozwinął się w zawodnika na jakiego miał możliwości, jako że w pierwszych sezonach w NHL występował w trzeciej i czwartej formacji drużyny. W końcu dostał szansę gry w pierwszej piątce w trakcie sezonu 2002/2003 i następnie atak nazwany „KLM” (Kowalow, Lemieux i Morozow) doprowadził „Pingwinów” do trzech głównych rekordów w Konferencji Wschodniej w pierwszej części sezonu. Po zdobyciu 25 punktów w 27 meczach, Morozow złamał nadgarstek, co oznaczało dla niego przedwczesne zakończenie sezonu. Kolejną edycję NHL (2003/2004) zawodnik zakończył najlepszym wynikiem podczas gry za Oceanem – uzyskał 50 punktów za 16 goli i 34 asysty.
Podczas lokautu powrócił do Rosji przenosząc się do Ak Barsu Kazań. Po udanym sezonie postanowił pozostać w tatarskim klubie na kolejne lata. W sezonie 2005/2006Superligi Morozow został najskuteczniejszym zawodnikiem ligi 23 golami, a Ak Bars po ośmiu latach zdobył drugie w historii mistrzostwo Rosji. Następny sezon Morozow miał jeszcze lepszy – w lidze uzyskał 83 punkty (za 34 gole i 49 asyst), co jest rekordem rosyjskiej Superligi, wywalczył Puchar Mistrzów (został najlepszym zawodnikiem turnieju), w którym uzyskał 10 punktów. Nie udało się obronić mistrzostwa – w finale lepszy okazał się zespół Mietałłurga Magnitogorsk. Po zakończeniu sezonu postanowił na kolejny rok zostać w Barsie Kazań mimo ofert klubów NHL.
Do końca sezonu 2012/2013 rozegrał w klubie z Kazania 569 spotkań i strzelił w nich 266 bramek. Zarówno w Ak Barsie, jak i w reprezentacji występował długo w jednym ataku razem z Siergiejem Zinowjewem i Danisem Zaripowem. Przez pewien czas był to najskuteczniejszy atak w lidze i w rozgrywkach międzynarodowych (nazywany „Złotą Ordą”).
W kwietniu 2013 wygasł jego kontrakt z klubem z Kazania i od tego czasu media donosiły o ewentualnych przenosina Morozowa do CSKA Moskwa[5][6]. W maju 2013 zawodnik podpisał dwuletnią umową z tym klubem[1]. W lipcu 2014 opuścił CSKA[7].
W sierpniu 2014 ogłosił zakończenie kariery zawodniczej[8][9].
W sezonie 2014/2015 występował w amatorskim klubie Zwiezda Moskwa[10].
W lipcu 2014 został członkiem rady dyrektorów KHL jako dyrektor Departamentu sportów zimowych i Współpracy z Zagranicą, Ministerstwo Sportu Rosji[12]. W czerwcu 2015 został wybrany dyrektorem zarządzającym Niekommierczieskoje Partnierstwo Mołodiożnaja Chokkiejnaja Liga, skupiającego juniorskie rozgrywki MHL i MHL-B[13][14][15].
W kwietniu 2016 został prezydentem macierzystego klubu Krylja Sowietow Moskwa[16][17]. W lutym 2020 został wybrany prezeydentem KHL[18].
Sukcesy
Aleksiej Morozow z prezydentemRosjiDmitrijem Miedwiedewem podczas wizyty na Kremlu (2008)Aleksiej Morozow w barwach reprezentacji Rosji (2009)Aleksiej Morozow w barwach Ak Barsu KazańAleksiej Morozow (niesie flagę) jako chorąży ekipy narodowej podczas ceremonii rozpoczęcia ZIO 2010
Pierwsze miejsce w klasyfikacji +/− w sezonie zasadniczym: +27
Najbardziej Wartościowy Gracz (MVP) Sezonu (dla zawodnika legitymującego się najlepszym współczynnikiem w klasyfikacji „+,-” po sezonie regularnym): +27 w 53 meczach.
