Offiser av Den britiske imperieordenen BAFTA Award for beste filmmusikk (2001) (for verk: Moulin Rouge!) Golden Globe Award for Best Original Score (2002) (for verk: Moulin Rouge!) Satellite Award for Best Original Score (2001) (for verk: Moulin Rouge!) BAFTA Award for beste filmmusikk (1997) (for verk: Romeo + Juliet)
Armstrong studerte musikk ved Royal Academy of Music fra 1977 til 1981, med fiolin and piano som hovedinstrumenter. Allerede under utdannelsen mottok han en rekke priser og utmerkelser for sine fremføringer og komposisjoner.