범주론에서 정칙 범주(正則範疇, 영어: regular category)는 모든 유한 극한을 갖고, 모든 사상을 그 치역으로의 전사 사상과 치역에서 공역으로 가는 단사 사상으로 유일하게 분해할 수 있는 범주이다.

범주 ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$에서, 어떤 두 사상 ${\displaystyle f,g\colon X\to Y}$의 쌍대 동등자

${\displaystyle \operatorname {coeq} \{f,g\}\colon Y\to Q}$

로 나타낼 수 있는 사상을 정칙 전사 사상(영어: regular epimorphism)이라고 한다. 정칙 단사 사상은 (쌍대 극한이므로) 항상 단사 사상이다.

마찬가지로, 범주 ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$에서, 어떤 두 사상 ${\displaystyle f,g\colon X\to Y}$의 동등자

${\displaystyle \operatorname {eq} \{f,g\}\colon K\to X}$

로 나타낼 수 있는 사상을 정칙 단사 사상(영어: regular monomorphism)이라고 한다. 정칙 단사 사상은 (극한이므로) 항상 단사 사상이다.

사상 ${\displaystyle f\colon X\to Y}$가 스스로와의 당김

${\displaystyle \pi _{1},\pi _{2}\colon X\times _{Y}X\to X}$

을 가지며, ${\displaystyle \pi _{1},\pi _{2}}$의 쌍대 동등자가 ${\displaystyle f}$와 같다면, ${\displaystyle f}$를 유효 전사 사상(영어: effective epimorphism)이라고 한다. 유효 전사 사상은 정의에 따라 정칙 전사 사상이다. 이와 같은 스스로와의 당김은 핵쌍(영어: kernel pair)이라고 하며, 대략 대수 구조에서의 합동 관계의 일반화로 생각할 수 있다. 즉, 유효 전사 사상은 "합동 관계"에 대한 "몫"으로의 사영 사상으로 생각할 수 있다.

사상 ${\displaystyle f\colon X\to Y}$가 스스로와의 밂

${\displaystyle \iota _{1},\iota _{2}\colon Y\to Y\sqcup _{X}Y}$

을 가지며, ${\displaystyle \iota _{1},\iota _{2}}$의 동등자가 ${\displaystyle f}$와 같다면, ${\displaystyle f}$를 유효 단사 사상(영어: effective monomorphism)이라고 한다. 유효 단사 사상은 정의에 따라 정칙 단사 사상이다. 이 정의에서, ${\displaystyle \iota _{1},\iota _{2}}$의 동등자는 ${\displaystyle f}$의 "치역"으로 생각할 수 있다. 즉, 유효 단사 사상은 정의역과 치역 사이의 동형을 정의하는 단사 사상으로 생각할 수 있다.

범주 ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$가 다음 조건들을 만족시킨다면 정칙 범주라고 한다.

• 유한 완비 범주이다.
• 임의의 사상 ${\displaystyle f\colon X\to Y}$의 스스로에 대한 당김 ${\displaystyle {\xleftarrow {\pi _{1}}}XX\times _{Y}X{\xrightarrow {\pi _{2}}}X}$에 대하여, ${\displaystyle \pi _{0},\pi _{1}\colon X\times _{Y}X\to X}$의 쌍대 동등자가 존재한다. 이는 ${\displaystyle f}$의 핵쌍이라고 한다.
• 정칙 전사 사상의 당김은 정칙 전사 사상이다.

두 정칙 범주 사이의 정칙 함자 ${\displaystyle F\colon {\mathcal {C}}\to {\mathcal {D}}}$는 다음 조건을 만족시키는 함자이다.

• 유한 연속 함자이다. 즉, 유한 극한을 보존한다.
• 핵쌍의 쌍대 동등자를 보존한다.

작은 정칙 범주와 정칙 함자의 범주를 ${\displaystyle \operatorname {RegCat} }$라고 하자.

정칙 범주 ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$가 다음 조건을 만족시킨다면, 유효 정칙 범주(영어: effective regular category) 또는 바 완전 범주(영어: Barr-exact category)라고 한다. (이는 퀼런 완전 범주와 관계없는 개념이다.)

• 임의의 대상 ${\displaystyle X}$가 주어졌으며, ${\displaystyle X\times X}$의 부분 대상 ${\displaystyle r\colon Y\hookrightarrow X\times X}$가 동치 관계를 이룰 때, ${\displaystyle r}$는 핵쌍으로부터 유도된다.

정칙 범주 ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$에서, 모든 정칙 전사 사상들의 모임 ${\displaystyle \operatorname {RegEpi} ({\mathcal {C}})}$과 단사 사상들의 모임 ${\displaystyle \operatorname {Mono} ({\mathcal {C}})}$은 분해계를 이룬다. 즉, 임의의 사상 ${\displaystyle f\colon X\to Y}$에 대하여,

${\displaystyle f=m\circ e}$

인 정칙 전사 사상 ${\displaystyle e\colon X\to Y'}$과 단사 사상 ${\displaystyle m\colon Y'\to Y}$이 존재한다. ${\displaystyle Y}$의 부분 대상 ${\displaystyle m}$을 ${\displaystyle f}$의 치역이라고 한다.

임의의 범주 속의 사상에 대하여, 다음 세 조건이 서로 동치이다.

• 정칙 전사 사상이자 단사 사상이다.
• 전사 사상이자 정칙 단사 사상이다.
• 동형 사상이다.

(반면, 임의의 범주에서는 전사 사상이자 단사 사상이지만 동형 사상이 아닌 사상이 존재할 수 있다.)

다음과 같은 포함 관계가 성립한다.

동형 사상 ⊆ 유효 단사 사상 ⊆ 정칙 단사 사상 ⊆ 강한 단사 사상 ⊆ 극단 단사 사상 ⊆ 단사 사상

동형 사상 ⊆ 분할 단사 사상 ⊆ 정칙 단사 사상 ⊆ 강한 단사 사상 ⊆ 극단 단사 사상 ⊆ 단사 사상

동형 사상 ⊆ 유효 전사 사상 ⊆ 정칙 전사 사상 ⊆ 강한 전사 사상 ⊆ 극단 전사 사상 ⊆ 전사 사상

동형 사상 ⊆ 분할 전사 사상 ⊆ 정칙 전사 사상 ⊆ 강한 전사 사상 ⊆ 극단 전사 사상 ⊆ 전사 사상

분할 단사 사상이 정칙 단사 사상인 이유는 분할 단사 사상 ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ 및 그 왼쪽 역사상 ${\displaystyle r\colon Y\to X}$이 주어졌을 때 ${\displaystyle f=\operatorname {eq} \{f\circ r,\operatorname {id} _{Y}\}}$이기 때문이다. 마찬가지로, 분할 전사 사상이 정칙 전사 사상인 이유는 분할 전사 사상 ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ 및 그 오른쪽 역사상 ${\displaystyle s\colon Y\to X}$이 주어졌을 때 ${\displaystyle f=\operatorname {eq} \{s\circ f,\operatorname {id} _{X}\}}$이기 때문이다.

어떤 범주에서 모든 사상 ${\displaystyle f\colon X\to Y}$의 스스로와의 당김 ${\displaystyle X\times _{Y}X}$이 존재한다면, 이 범주에서 정칙 전사 사상의 개념과 유효 전사 사상의 개념이 일치한다. 토포스(또는 더 일반적으로 준토포스)에서, 다음이 성립한다.

• 모든 전사 사상은 정칙 전사 사상이자 유효 전사 사상이다.
• 모든 단사 사상은 정칙 단사 사상이다.

아벨 범주에서, 모든 단사 사상은 정칙 단사 사상이다.

정칙 범주 ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ 속에서, 짧은 완전열은 다음과 같은 꼴의 그림이다.

${\displaystyle N{\overset {\iota }{\underset {\iota '}{\rightrightarrows }}}X{\overset {q}{\to }}Q}$

여기서

• ${\displaystyle \{\iota ,\iota '\}}$는 ${\displaystyle q}$의 핵쌍이다.

만약 ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$가 추가로 아벨 범주라면, ${\displaystyle N{\overset {\iota }{\underset {\iota '}{\rightrightarrows }}}X{\overset {q}{\to }}Q}$가 (정칙 범주의) 짧은 완전열인 것은

${\displaystyle 0\to N{\overset {\iota -\iota '}{\to }}X{\overset {q}{\to }}Q\to 0}$

가 (아벨 범주의) 완전열인 것과 동치이다.

1차 논리에서 정칙 공식(영어: regular formula)은

• 명제 변수 ${\displaystyle P_{1},P_{2},\dots }$
• 논리곱 ${\displaystyle \land }$
• 존재 기호 ${\displaystyle \exists }$

만으로 나타낼 수 있는 공식이다. 정칙 논리는

${\displaystyle \forall x\colon (\phi (x)\to \phi '(x))}$

꼴의 명제들만을 다룰 수 있는, 1차 논리를 약화시킨 논리이다.

정칙 범주의 내부 논리는 정칙 논리이다. 구체적으로, 정칙 범주 ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$의 끝 대상 ${\displaystyle 1\in {\mathcal {C}}}$을 골랐을 때, 다음과 같은 대응이 존재한다.

정칙 논리	정칙 범주
종류(영어: sort)	${\displaystyle {\mathcal {C}}}$의 대상 ${\displaystyle X\in {\mathcal {C}}}$
${\displaystyle \forall (x:X),(x':X)\colon x=x'}$인 종류 ${\displaystyle X}$	끝 대상 ${\displaystyle 1\in {\mathcal {C}}}$
종류 ${\displaystyle X}$의 상수 ${\displaystyle c}$	사상 ${\displaystyle c\colon 1\to X}$
종류 ${\displaystyle X\to Y}$의 함수 ${\displaystyle f}$	사상 ${\displaystyle f\colon X\to Y}$
함수의 합성 ${\displaystyle f\circ g}$	사상의 합성 ${\displaystyle f\circ g}$
${\displaystyle \forall (x\colon X),(x'\colon X)\colon f(x)=f(x')\implies x=x'}$가 성립하는 함수 ${\displaystyle f}$	단사 사상 ${\displaystyle f\colon X\hookrightarrow Y}$
종류 ${\displaystyle Y}$에 대한 술어 ${\displaystyle R(y)\iff \exists x\in X\colon f(x)=y}$	부분 대상 ${\displaystyle f\colon X\hookrightarrow Y}$
${\displaystyle \forall (y\colon Y)\exists (x\colon X)\colon f(x)=y}$가 성립하는 함수 ${\displaystyle f}$	정칙 전사 사상 ${\displaystyle f\colon X\twoheadrightarrow Y}$
${\displaystyle \forall (z,z'\colon X\times Y)\colon \pi _{X}(z)=\pi _{X}(z')\land \pi _{Y}(z)=\pi _{Y}(z')\implies z=z'}$, ${\displaystyle \forall (x\colon X)\forall (y\colon Y)\exists (z\colon X\times Y)\colon (\pi _{X}(z)=x\land \pi _{Y}(z)=y)}$	곱 ${\displaystyle X{\overset {\pi _{X}}{\leftarrow }}X\times Y{\overset {\pi _{Y}}{\to }}Y}$
${\displaystyle \forall (x\colon X)\colon f(x)=g(x)\implies \exists (y:Y)\colon h(y)=x}$	동등자 ${\displaystyle h\colon Y\hookrightarrow X{\overset {f}{\underset {g}{\rightrightarrows }}}Y}$

• 토포스

• Barr, Michael; Grillet, Pierre A.; van Osdol, Donovan H. (1971). 《Exact categories and categories of sheaves》. Lecture Notes in Mathematics (영어) 236. Springer-Verlag. doi:10.1007/BFb0058579. ISSN 0075-8434. 
• Butz, Carsten (1998년 10월). 《Regular categories and regular logic》. Centre for Basic Research in Computer Science Lecture Series (영어) 98–2. ISSN 1395-2048. 
• Pedicchio, Maria Cristina; Tholen, Walter, 편집. (2004). 《Categorical foundations: special topics in order, topology, algebra, and sheaf theory》. Encyclopedia of Mathematics and its Applications (영어) 97. Cambridge University Press. doi:10.1017/CBO9781107340985. ISBN 0-521-83414-7. Zbl 1034.18001. 

• “Regular category”. 《nLab》 (영어). 
• “Regular 2-category”. 《nLab》 (영어). 
• “Regular functor”. 《nLab》 (영어). 
• “Regular logic”. 《nLab》 (영어). 
• “Exact category”. 《nLab》 (영어). 
• “Barr embedding theorem”. 《nLab》 (영어). 
• “Kernel pair”. 《nLab》 (영어). 
• “Cokernel pair”. 《nLab》 (영어). 
• “Regular monomorphism”. 《nLab》 (영어). 
• “Regular epimorphism”. 《nLab》 (영어). 
• “Effective monomorphism”. 《nLab》 (영어). 
• “Effective epimorphism”. 《nLab》 (영어). 
• “Embedding”. 《nLab》 (영어). 
• “Covering”. 《nLab》 (영어).