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수학 에서 동형 사상 (同型寫像, 문화어 : 동형넘기기, 영어 : isomorphism )은 서로 구조가 같은 두 대상 사이에, 모든 구조를 보존하는 사상 이다. 두 대상 사이에 동형 사상이 존재하는 경우 서로 동형 (同型, 영어 : isomorphic )이라고 하며, 서로 동형인 두 대상은 구조가 같아 구조로서 구별할 수 없다.
정의
범주
C
{\displaystyle {\mathcal {C}}}
의 사상
f
: : -->
X
→ → -->
Y
{\displaystyle f\colon X\to Y}
에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치 이며, 이를 만족시키는 사상을 동형 사상 이라고 한다.
역사상 이 존재한다. 즉,
f
∘ ∘ -->
g
=
id
Y
{\displaystyle f\circ g=\operatorname {id} _{Y}}
,
g
∘ ∘ -->
f
=
id
X
{\displaystyle g\circ f=\operatorname {id} _{X}}
인 사상
g
: : -->
Y
→ → -->
X
{\displaystyle g\colon Y\to X}
가 존재한다.
단사 사상 이자 분할 전사 사상 이다.
전사 사상 이자 분할 단사 사상 이다.
단사 사상 이자 극단 전사 사상 이다.
전사 사상 이자 극단 단사 사상 이다.
두 대상 사이에 동형 사상이 존재하면, 서로 동형 이라고 한다. 시작과 끝이 같은 동형 사상(즉, 자기 사상 인 동형 사상)을 자기 동형 사상 이라고 한다.
범주
C
{\displaystyle {\mathcal {C}}}
에 대하여, 다음 세 조건이 서로 동치 이며, 이를 만족시키는 범주를 균형 범주 (均衡範疇, 영어 : balanced category )라고 한다.
일반적으로, 단사 사상이자 전사 사상이지만 동형 사상이 아닌 사상들이 존재할 수 있다.
성질
서로 동형인 것은 동치 관계 를 이룬다. 특히, 항등 사상 이 동형 사상이므로, 모든 대상은 스스로에게 동형이다.
대수 구조 다양체 의 구체적 범주 의 사상에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치 이다.
즉, 대수 구조 다양체 에서, 동형 사상은 전단사 함수 인 준동형 이다.
모든 아벨 범주 와 모든 토포스 는 균형 범주이다.
예
여러 범주에서, 동형 사상들은 특별한 이름이 붙는다.
준군 에서는 정의에 따라 모든 사상이 동형 사상이다. 특히, 군 을 하나의 대상만을 갖는 범주로 간주하였을 때, 모든 사상은 동형 사상이다.
모노이드 를 하나의 대상만을 갖는 범주로 간주하였을 때, 동형 사상들은 가역원 들이다.
균형 범주의 예
위상 공간 의 범주는 균형 범주가 아니다. 이 범주에서, 전사 단사 사상은 전단사 함수 인 연속 함수 인데, 이는 위상 동형 사상 보다 더 약한 조건이다. 그러나 콤팩트 하우스도르프 공간 의 범주는 균형 범주이다.
군 의 범주는 균형 범주이다.
환 의 범주는 균형 범주가 아니다. 예를 들어, 포함 사상
Z
↪ ↪ -->
Q
{\displaystyle \mathbb {Z} \hookrightarrow \mathbb {Q} }
는 전사 사상 이며 단사 사상 이지만, 동형 사상이 아니다.
같이 보기
참고 문헌
외부 링크