곱 (범주론)

범주론에서 곱(영어: product)은 곱집합이나 곱공간의 개념을 일반화한 개념이다. 항등사상 이외의 사상을 포함하지 않는 그림의 극한이다.

정의

범주 ${\mathcal {C}}$ 의 대상의 집합 $\{X_{i}\}_{i\in I}$ 를 생각하자. 그렇다면 이 집합의 곱은 다음과 같은 데이터로 이루어진다.

대상 $X\in \operatorname {ob} ({\mathcal {C}})$
각 $X_{i}$ 에 대하여, 사상 $\pi _{i}\colon X\to X_{i}$ . 이들을 사영 사상(projection morphism)이라고 한다.

이들은 다음과 같은 조건을 만족하여야 한다. 임의의 대상 $Y\in \operatorname {ob} ({\mathcal {C}})$ 와 사상 $f_{i}\colon Y\to X_{i}$ 에 대하여, 다음을 만족시키는 유일한 사상 $f\colon Y\to X$ 가 존재한다.

\pi _{i}f=f_{i}

즉, 다음 그림을 가환시키는 유일한 $f$ 가 존재한다.

이 때, $X\$ 를 곱이라 부르고 $\prod _{i\in I}X_{i}$ 로 표현한다.

대각 사상

대상 $X$ 와 기수 $\kappa$ 가 주어졌다고 하자. 만약 $\kappa$ 개의 $X$ 들의 곱 $X^{\times \kappa }$ 이 존재한다고 하자. 그렇다면, 곱의 보편 성질에 의하여 항등 사상 $\operatorname {id} _{X}$ 로부터 유도되는 사상

\operatorname {diag} _{X}\colon X\to X^{\times \kappa }

이 존재한다. 이를 대각 사상(對角寫像, 영어: diagonal morphism)이라고 한다.

예

각종 범주에서의 곱은 다음과 같다.

범주	곱
집합의 범주 $\operatorname {Set}$	곱집합 $A\times B$
위상 공간의 범주 $\operatorname {Top}$	곱공간 $A\times B$
군의 범주 $\operatorname {Grp}$	직접곱 $A\times B$
아벨 군의 범주 $\operatorname {Ab}$	직접곱 $A\times B$ (유한 직접곱은 직합(=쌍대곱)과 일치)
체 $K$ 에 대한 벡터 공간의 범주 $K-\operatorname {Vect}$	직접곱 $A\times _{k}B$ (유한 직접곱은 직합(=쌍대곱)과 일치)
환 $R$ 에 대한 왼쪽 가군의 범주 $R-\operatorname {Mod}$	직접곱 $A\times _{R}B$ (유한 직접곱은 직합(=쌍대곱)과 일치)
집합과 이항관계의 범주 $\operatorname {Rel}$	분리합집합 $A\sqcup B$

같이 보기

참고 문헌

Adámek, Jiří; Horst Herrlich; George E. Strecker (1990). 《Abstract and Concrete Categories》 (PDF). John Wiley & Sons. ISBN 0-471-60922-6. 2015년 4월 21일에 원본 문서 (PDF)에서 보존된 문서. 2018년 4월 20일에 확인함.
Barr, Michael; Charles Wells (1999). 《Category Theory for Computing Science》 (PDF). Les Publications CRM Montreal (publication PM023). 2016년 3월 4일에 원본 문서 (PDF)에서 보존된 문서. 2018년 4월 20일에 확인함. Chapter 5.
Mac Lane, Saunders (1998). 《Categories for the Working Mathematician》. Graduate Texts in Mathematics 5 2판. Springer. ISBN 0-387-98403-8.
Definition 2.1.1 in Borceux, Francis (1994). 《Handbook of categorical algebra》. Encyclopedia of mathematics and its applications 50-51, 53 [i.e. 52]. Volume 1. Cambridge University Press. 39쪽. ISBN 0-521-44178-1.

Read other articles:

Milan Babić

Milan Babić (26 Februari 1956 – 5 Maret 2006) adalah seorang pemimpin perang etnis Serbia dari tahun 1991 hingga 1995. Ia merupakan pemimpin Republik Krajina Serbia, sebuah kawasan mayoritas etnis Serbia yang memecahkan diri dari Kroasia pada 1991. Pada 2004, Pengadilan Internasional bagi Penjahat Perang memvonis Babić dengan hukuman 13 tahun penjara. Ia ditemukan tewas bunuh diri di sel tahanannya di Den Haag pada 5 Maret 2006. Milan Babić Presiden Republik Krajina Serbia ...

Itaipava Arena Fonte Nova

Untuk bentuk stadion lama dari stadion ini, lihat Stadion Fonte Nova. Itaipava Arena Fonte NovaComplexo Esportivo Cultural Octávio MangabeiraFonte Nova Informasi stadionNama lengkapComplexo Esportivo Cultural Octávio MangabeiraNama lamaEstádio Octávio Mangabeira/Estádio Fonte Nova (1951-2010)PemilikFonte Nova Negócios e Participações S.AOperatorFonte Nova Negócios e Participações S.ALokasiLokasiLadeira Fonte das Pedras, Nazaré,Salvador (BA), BrasilKoordinat12°58′43″S 38...

Manchester-by-the-Sea, Massachusetts

For the American drama film set in and named after the town, see Manchester by the Sea (film). Town in Massachusetts, United StatesManchester-by-the-Sea, MassachusettsTownThe First Parish Church in central Manchester-by-the-Sea SealLocation in Essex County and Massachusetts.Coordinates: 42°34′40″N 70°46′10″W / 42.57778°N 70.76944°W / 42.57778; -70.76944CountryUnited StatesStateMassachusettsCountyEssexSettled1629Incorporated1645Government • TypeO...

Johnny Lee (singer)

American country music singer (born 1946) This article is about the singer. For the voice of Brer Rabbit in Song of the South, see Johnny Lee (actor). This article includes a list of general references, but it lacks sufficient corresponding inline citations. Please help to improve this article by introducing more precise citations. (January 2020) (Learn how and when to remove this template message) Johnny LeeBackground informationBirth nameJohn Lee Ham[1]Born (1946-07-03) July 3, 1946...

أقسو

أقسو (بالصينية: 阿克苏市)‏(بالأويغورية العربية: ئاقسۇ‎)‏ الموقع الجغرافي تقسيم إداري البلد الصين [1] محافظة أكسو خصائص جغرافية إحداثيات 41°09′59″N 80°15′00″E / 41.166389°N 80.25°E / 41.166389; 80.25 [2] المساحة 14،668 كم 2 (5،663 ميل مربع) كم² السكان التعداد السكاني و...

Sievershütten

Sievershütten Lambang kebesaranLetak Sievershütten di Segeberg NegaraJermanNegara bagianSchleswig-HolsteinKreisSegeberg Municipal assoc.Kisdorf Pemerintahan • MayorStefan Weber (SPD)Luas • Total7,09 km2 (274 sq mi)Ketinggian29 m (95 ft)Populasi (2013-12-31)[1] • Total1.163 • Kepadatan1,6/km2 (4,2/sq mi)Zona waktuWET/WMPET (UTC+1/+2)Kode pos24641Kode area telepon04194Pelat kendaraanSESitus webwww.amt-k...

Mohit Chauhan

Halaman ini berisi artikel tentang penyanyi playback. Untuk pemeran Bollywood, lihat Mohit Chauhan (pemeran). Mohit ChauhanMohit Chauhan di Penghargaan Filmfare ke-59Informasi latar belakangLahir11 Maret 1966 (umur 58)Nahan, Himachal Pradesh, IndiaAsalHimachal Pradesh, IndiaGenrePop India, BollywoodPekerjaanPenyanyiInstrumenGitar, Harmonika, Flute, SaxofonTahun aktif1998 – sekarang Mohit Chauhan (lahir 11 Maret 1966) adalah seorang penyanyi India kelahiran Nahan. Ia dikenal atas k...

صفح

جزء من سلسلة مقالات حولالإسلام العقيدة الإيمان توحيد الله الإيمان بالملائكة الإيمان بالكتب السماوية الإيمان بالرسل والأنبياء الإيمان باليوم الآخر الإيمان بالقضاء والقدر أركان الإسلام شهادة أن لا إله إلا الله وأن محمد رسول الله إقامة الصلاة إيتاء الزكاة صوم رم�...

Палеопропитеки

† Палеопропитеки Научная классификация Домен:ЭукариотыЦарство:ЖивотныеПодцарство:ЭуметазоиБез ранга:Двусторонне-симметричныеБез ранга:ВторичноротыеТип:ХордовыеПодтип:ПозвоночныеИнфратип:ЧелюстноротыеНадкласс:ЧетвероногиеКлада:АмниотыКлада:СинапсидыКласс:�...

Team Bulldog: Off-Duty Investigation

Team Bulldog: Off-Duty InvestigationPoster promosiHangul번외수사 GenreKriminal Aksi KomediPembuatOCN Team Gorilla[a]Ditulis olehLee Yoo-jin Jung Yoon-sunSutradaraKang Hyo-jinPemeranCha Tae-hyun Lee Sun-bin Jung Sang-hoon Yoon Kyung-ho Ji Seung-hyunNegara asalKorea SelatanBahasa asliKoreaJmlh. episode12ProduksiProduserHan Seok-wonDurasi60 menitRumah produksiZium ContentDistributorOCNRilis asliJaringanOCNFormat gambar1080i (HDTV)Format audioDolby DigitalRilis23 Mei (2020-05-23...

Frederik Wilhelm Stabell

Norwegian military officer and politician (1763–1836) Frederik Wilhelm StabellBorn(1763-05-25)25 May 1763Hole, NorwayDied2 June 1836(1836-06-02) (aged 73)Occupation(s)Military officer and politicianKnown for Merits at the Battle of Trangen Member of the Norwegian Constituent Assembly in 1814 AwardsOrder of the Dannebrog Frederik Wilhelm Stabell (25 May 1763 – 2 June 1836) was a Norwegian military officer and politician. He was a member of the Norwegian Constituent Assembly i...

Measure (mathematics)

Generalization of mass, length, area and volume For the coalgebraic concept, see Measuring coalgebra. Not to be confused with Metric (mathematics). This article includes a list of general references, but it lacks sufficient corresponding inline citations. Please help to improve this article by introducing more precise citations. (January 2021) (Learn how and when to remove this message) Informally, a measure has the property of being monotone in the sense that if A {\displaystyle A} is a subs...

Arte etrusca

Terracotta di un giovane etrusco con elmetto, III sec. a.C.-II sec. a.C., Metropolitan Museum of Art Per arte etrusca si intende la produzione artistica degli Etruschi, popolo stanziato nel territorio chiamato Etruria, triangolo compreso tra l'Arno a Nord, il Tevere a Sud e il Mar Tirreno a Ovest, con propaggini anche nell'Italia settentrionale, tra Emilia-Romagna, Lombardia e Veneto meridionali, e alcuni territori nell'Italia meridionale in Campania. L'arte etrusca si distingue tra il IX sec...

Rodano (Italia)

Rodanocomune Rodano – Veduta LocalizzazioneStato Italia Regione Lombardia Città metropolitana Milano AmministrazioneSindacoRodolfo Corazzo (Lista civica: “RODANO PER TE”) dal 10-06-2024 TerritorioCoordinate45°29′N 9°21′E45°29′N, 9°21′E (Rodano) Altitudine120 m s.l.m. Superficie13,07 km² Abitanti4 644[1] (31-12-2021) Densità355,32 ab./km² FrazioniBriavacca, Cassignanica, Lucino, Pobbiano, Brianzate, Trenzanesio, Retan...

تاريخ سياسة الولايات المتحدة الخارجية (1913–1933)

لمعانٍ أخرى، طالع تاريخ سياسة الولايات المتحدة الخارجية (توضيح). هذه المقالة بحاجة لصندوق معلومات. فضلًا ساعد في تحسين هذه المقالة بإضافة صندوق معلومات مخصص إليها. هذه المقالة يتيمة إذ تصل إليها مقالات أخرى قليلة جدًا. فضلًا، ساعد بإضافة وصلة إليها في مقالات متعلقة ب...

La Faute-sur-Mer

Part of L'Aiguillon-la-Presqu'île in Pays de la Loire, FranceLa Faute-sur-MerPart of L'Aiguillon-la-Presqu'îleThe beach at La Faute-sur-Mer Coat of armsLocation of La Faute-sur-Mer La Faute-sur-MerShow map of FranceLa Faute-sur-MerShow map of Pays de la LoireCoordinates: 46°19′58″N 1°19′17″W / 46.3328°N 1.3214°W / 46.3328; -1.3214CountryFranceRegionPays de la LoireDepartmentVendéeArrondissementLes Sables-d'OlonneCantonMareuil-sur-Lay-DissaisCommuneL'Aigu...

List of United States senators from Tennessee

Current delegationSenator Marsha Blackburn (R)Senator Bill Hagerty (R) Tennessee was admitted to the Union on June 1, 1796. Its United States Senate seats were declared vacant in March 1862 owing to its secession from the Union. They were again filled from July 1866. Tennessee's current senators are Republicans Marsha Blackburn and Bill Hagerty. Kenneth McKellar was Tennessee's longest-serving senator (1917–1953). List of senators Class 1Class 1 U.S. senators belong to the electoral cycle ...

تلسياي (مدينة)

تيلسياي Telšiai مدينة Telšiai city centre علم تيلسياي Telšiaiعلمشعار تيلسياي Telšiaiشعار الاسم الرسمي (بالبيلاروسية: Цельшы)‏ الإحداثيات 55°59′0″N 22°15′0″E / 55.98333°N 22.25000°E / 55.98333; 22.25000 First mentioned 1450 تقسيم إداري البلد ليتوانيا عاصمة لـ مقاطعة تيلسيايساموغيتيا خصائص جغ�...

Älvdalens distrikt

Älvdalens distrikt Distrikt Noren Land Sverige Landsdel Svealand, Norrland Landskap Dalarna, Härjedalen Län Dalarnas län Kommun Älvdalens kommun Koordinater 61°13′33″N 14°2′30″Ö / 61.22583°N 14.04167°Ö / 61.22583; 14.04167 Folkmängd 4 899 (2022-12-31)[1] - kvinnor 2 394 (2022-12-31)[1] - män 2 505 (2022-12-31)[1] Tidszon CET (UTC+1) - sommartid CEST (UTC+2) Baserat på Ä...

جواز سفر جيرزي

يفتقر محتوى هذه المقالة إلى الاستشهاد بمصادر. فضلاً، ساهم في تطوير هذه المقالة من خلال إضافة مصادر موثوق بها. أي معلومات غير موثقة يمكن التشكيك بها وإزالتها. (ديسمبر 2018) جواز سفر جيرزيمعلومات عامةنوع المستند جواز سفرالبلد جيرزيالغرض التعريف (هوية شخصية)صادر عن جيرزيصال�...