일반 상대성 이론 에서 슈바르츠실트 계량 (Schwarzschild計量, 영어 : Schwarzschild metric ) 또는 슈바르츠실트 해 (Schwarzschild解, 영어 : Schwarzschild solution )는 구형 대칭이며 대전되거나 회전하지 않고, 정적인 질량 분포를 나타내는 아인슈타인 방정식 의 해이다. 중심의 천체가 주변에 미치는 공간의 왜곡을 나타내므로, 일반 상대성 이론의 효과를 계산할 때 제일 근사치로서 천체 주위의 물체의 운동을 계산하는 등의 경우에 널리 응용된다. 이 계량으로 나타내어지는, 즉 회전하거나 대전되지 않는 블랙홀 을 슈바르츠실트 블랙홀 (영어 : Schwarzschild black hole )이라고 한다.
일반적으로, 털없음 정리 에 따라, 블랙홀은 질량 · 각운동량 · 전하 · 자하 만으로 결정된다. 슈바르츠실트 계량 은 전하·자하가 0인 정적인, 점근적으로 민코프스키 공간 에 존재하는 유일한 구면 대칭 해이며, 회전하거나 대전되어 있지 않는 구형 별을 나타낸다. 만약 별의 크기가 슈바르츠실트 계량보다 작다면 블랙홀 이 된다.
편의상 광속 을
c
=
1
{\displaystyle c=1}
계량 부호수 를 사용하면
d
>
3
{\displaystyle d>3}
슈바르츠실트 계량 은
d
s
2
=
− − -->
(
1
− − -->
(
r
0
/
r
)
d
− − -->
3
)
d
t
2
+
(
1
− − -->
(
r
0
/
r
)
d
− − -->
3
)
− − -->
1
d
r
2
+
r
2
d
Ω Ω -->
d
− − -->
2
2
{\displaystyle \mathrm {d} s^{2}=-\left(1-(r_{0}/r)^{d-3}\right)\mathrm {d} t^{2}+\left(1-(r_{0}/r)^{d-3}\right)^{-1}\mathrm {d} r^{2}+r^{2}\,\mathrm {d} \Omega _{d-2}^{2}}
이 된다.[ 1] :11
여기서,
r
0
{\displaystyle r_{0}}
사건 지평선 의 위치를 나타내는 임의의 매개 변수이다.
d
Ω Ω -->
d
− − -->
2
2
{\displaystyle d\Omega _{d-2}^{2}}
d
− − -->
2
{\displaystyle d-2}
초구
S
d
− − -->
2
{\displaystyle S^{d-2}}
d
=
4
{\displaystyle d=4}
구면 좌표계 넓이의 원소이다.
d
Ω Ω -->
2
=
d
θ θ -->
2
+
sin
2
-->
θ θ -->
d
ϕ ϕ -->
2
{\displaystyle \mathrm {d} \Omega ^{2}=\mathrm {d} \theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \mathrm {d} \phi ^{2}}
3차원 이하에서는 이와 같은 사건의 지평선 을 갖는 슈바르츠실트 해가 존재하지 않는다. (다만 음의 우주 상수 의 경우 BTZ 블랙홀 이라는 해가 존재한다.)
슈바르츠실트 계량의 ADM 질량
M
{\displaystyle M}
[ 1] :11
M
=
(
d
− − -->
2
)
vol
-->
(
S
d
− − -->
2
)
r
0
d
− − -->
3
16
π π -->
G
{\displaystyle M={\frac {(d-2)\operatorname {vol} (S^{d-2})r_{0}^{d-3}}{16\pi G}}}
여기서
G
{\displaystyle G}
d
{\displaystyle d}
vol
-->
(
S
d
− − -->
2
)
=
(
d
− − -->
1
)
π π -->
(
d
− − -->
1
)
/
2
Γ Γ -->
(
(
d
+
1
)
/
2
)
{\displaystyle \operatorname {vol} (S^{d-2})={\frac {(d-1)\pi ^{(d-1)/2}}{\Gamma ((d+1)/2)}}}
는
d
− − -->
2
{\displaystyle d-2}
초구 의 부피이다. 예를 들어, 4차원의 경우
M
=
r
0
/
2
G
{\displaystyle M=r_{0}/2G}
이다.
윅 회전을 통해 계산하면, 임의의 차원에서 슈바르츠실트 블랙홀의 온도는 다음과 같다.
T
=
ℏ ℏ -->
c
4
π π -->
k
B
r
0
{\displaystyle T={\frac {\hbar c}{4\pi k_{\text{B}}r_{0}}}}
다시 말해, 슈바르츠실트 블랙홀은 이 온도의 호킹 복사 를 방출한다.
사건 지평선의 넓이가
A
=
vol
-->
(
S
d
− − -->
2
)
r
0
d
− − -->
2
{\displaystyle A=\operatorname {vol} (S^{d-2})r_{0}^{d-2}}
이므로, 슈바르츠실트 해의 엔트로피 는
S
=
A
/
4
G
{\displaystyle S=A/4G}
이다.
슈바르츠실트 계량은 점근적으로 평탄 하다. 즉, 원점에서 매우 멀리 떨어진 곳에서는 민코프스키 공간 에 근접한다. 슈바르츠실트 계량은
r
=
r
0
{\displaystyle r=r_{0}}
사건 지평선 을 갖는다. 이를 슈바르츠실트 반지름 이라고 한다. 이 점에서 계량 텐서가 발산하는 것처럼 보이지만, 지평선은 사실 좌표 특이점에 불과하며, 다른 좌표계를 사용해 지평선 내부가 존재함을 보일 수 있다.
슈바르츠실트 계량은
O
-->
(
d
− − -->
1
)
× × -->
R
{\displaystyle \operatorname {O} (d-1)\times \mathbb {R} }
d
− − -->
1
{\displaystyle d-1}
(
d
− − -->
1
)
(
d
− − -->
2
)
/
2
+
1
{\displaystyle (d-1)(d-2)/2+1}
킬링 벡터장 에 해당한다.
버코프의 정리 에 의하여, 진공이면서 구면 대칭을 갖는 아인슈타인 방정식 의 해는 슈바르츠실트 계량 밖에 없다.
슈바르츠실트 블랙홀에 전하 를 띠게 한 해는 라이스너-노르드스트룀 계량 이다. 현실에서의 중력 붕괴 현상으로 형성되는 블랙홀은 회전하는 블랙홀이 될 것으로 여겨진다. 회전하는 블랙홀에 대한 해는 커 계량 이, 거기에 더해 전하를 띠는 경우에는 커-뉴먼 계량 이 유일한 해이다.
양의 우주 상수
Λ Λ -->
=
(
d
− − -->
1
)
(
d
− − -->
2
)
R
− − -->
2
/
2
{\displaystyle \Lambda =(d-1)(d-2)R^{-2}/2}
d
>
3
{\displaystyle d>3}
더 시터르 공간 에서, 구형 대칭의 정적 비대전 계량은 슈바르츠실트-더 시터르 계량 (Schwarzschild-de Sitter計量, 영어 : Schwarzschild–de Sitter metric )이라고 하고, 다음과 같다.[ 2]
d
s
2
=
− − -->
(
1
− − -->
(
r
0
/
r
)
d
− − -->
3
− − -->
r
2
/
R
2
)
d
t
2
+
(
1
− − -->
(
r
0
/
r
)
d
− − -->
3
− − -->
r
2
/
R
2
)
− − -->
1
d
r
2
+
r
2
d
Ω Ω -->
d
− − -->
2
2
{\displaystyle \mathrm {d} s^{2}=-\left(1-(r_{0}/r)^{d-3}-r^{2}/R^{2}\right)\mathrm {d} t^{2}+\left(1-(r_{0}/r)^{d-3}-r^{2}/R^{2}\right)^{-1}dr^{2}+r^{2}\,\mathrm {d} \Omega _{d-2}^{2}}
슈바르츠실트-더 시터르 계량의 질량은 다음과 같다.
M
=
(
d
− − -->
2
)
vol
-->
(
S
d
− − -->
2
)
r
0
d
− − -->
3
16
π π -->
G
{\displaystyle M={\frac {(d-2)\operatorname {vol} (S^{d-2})r_{0}^{d-3}}{16\pi G}}}
이는 더 시터르 공간의 질량이 0이라고 가정한 것이다.
슈바르츠실트-더 시터르 계량은
1
=
(
r
0
/
r
)
d
− − -->
3
+
r
2
/
R
2
{\displaystyle 1=(r_{0}/r)^{d-3}+r^{2}/R^{2}}
인 곳에서 킬링 지평선 (킬링 벡터
∂ ∂ -->
/
∂ ∂ -->
t
{\displaystyle \partial /\partial t}
더 시터르 공간 의 우주론적 지평선 (영어 : cosmological horizon )이다. 이 두 지평선은 일반적으로 서로 다른 온도를 가지며, 따라서 서로 다른 온도의 호킹 복사 를 방출한다.[ 3] [ 4]
음의 우주 상수
Λ Λ -->
=
− − -->
(
d
− − -->
1
)
(
d
− − -->
2
)
R
− − -->
2
/
2
{\displaystyle \Lambda =-(d-1)(d-2)R^{-2}/2}
d
>
2
{\displaystyle d>2}
반 더 시터르 공간 에서, 구형 대칭의 정적 비대전 계량은 슈바르츠실트-반 더 시터르 계량 (Schwarzschild-反de Sitter計量, 영어 : Schwarzschild–anti-de Sitter metric )이라고 하고, 다음과 같다.[ 1] :56
d
s
2
=
− − -->
(
1
− − -->
(
r
0
/
r
)
d
− − -->
3
+
r
2
/
R
2
)
d
t
2
+
(
1
− − -->
(
r
0
/
r
)
d
− − -->
3
+
r
2
/
R
2
)
− − -->
1
d
r
2
+
r
2
d
Ω Ω -->
d
− − -->
2
2
{\displaystyle ds^{2}=-\left(1-(r_{0}/r)^{d-3}+r^{2}/R^{2}\right)dt^{2}+\left(1-(r_{0}/r)^{d-3}+r^{2}/R^{2}\right)^{-1}dr^{2}+r^{2}d\Omega _{d-2}^{2}}
우주 상수가 없는 경우와 달리, 이 경우 3차원에서도 블랙홀이 존재한다. 이를 BTZ 블랙홀 이라고 한다.
슈바르츠실트-반 더 시터르 계량의 질량은 다음과 같다.
M
=
(
d
− − -->
2
)
vol
-->
(
S
d
− − -->
2
)
r
0
d
− − -->
3
16
π π -->
G
{\displaystyle M={\frac {(d-2)\operatorname {vol} (S^{d-2})r_{0}^{d-3}}{16\pi G}}}
이는 반 더 시터르 공간의 질량이 0이라고 가정한 것이다.
반 더 시터르 공간의 온도를 질량에 따른 함수
T
(
M
)
{\displaystyle T(M)}
M
0
{\displaystyle M_{0}}
M
≤ ≤ -->
M
0
{\displaystyle M\leq M_{0}}
M
≥ ≥ -->
M
0
{\displaystyle M\geq M_{0}}
T
min
{\displaystyle T_{\text{min}}}
1차 상전이 를 겪는다. 이를 호킹-페이지 전이 (영어 : Hawking–Page transition )라고 하며, 스티븐 호킹 과 돈 페이지(영어 : Don Page )가 발견하였다.[ 5] AdS/CFT 대응성 을 통해, 대응하는 등각 장론 의 상전이로 해석할 수 있다.
이 계량은
1
− − -->
(
r
0
/
r
)
d
− − -->
3
+
r
2
/
R
2
=
0
{\displaystyle 1-(r_{0}/r)^{d-3}+r^{2}/R^{2}=0}
이 되는
r
{\displaystyle r}
사건 지평선 을 갖는다.
d
{\displaystyle d}
여차원 이
n
{\displaystyle n}
검은 막 은 다음과 같다.
d
s
2
=
− − -->
(
1
− − -->
(
r
0
/
r
)
n
)
d
t
2
+
(
1
− − -->
(
r
0
/
r
)
n
)
− − -->
1
d
r
2
+
r
2
d
Ω Ω -->
n
− − -->
1
2
+
d
x
1
2
+
⋯ ⋯ -->
+
d
x
d
− − -->
n
− − -->
1
2
{\displaystyle \mathrm {d} s^{2}=-\left(1-(r_{0}/r)^{n}\right)\,\mathrm {d} t^{2}+\left(1-(r_{0}/r)^{n}\right)^{-1}\,dr^{2}+r^{2}\,\mathrm {d} \Omega _{n-1}^{2}+dx_{1}^{2}+\cdots +\mathrm {d} x_{d-n-1}^{2}}
이는
n
+
1
{\displaystyle n+1}
d
− − -->
n
− − -->
1
{\displaystyle d-n-1}
유클리드 공간 의 곱공간 이며, 리치 곡률이 0인 두 다양체의 곱공간 역시 리치 곡률이 0이므로 이 또한 아인슈타인 방정식 의 진공해를 이룬다.[ 1] :§3.2 검은 막 의 질량 밀도는 다음과 같다.
ρ ρ -->
=
(
n
− − -->
1
)
vol
-->
(
S
n
− − -->
1
)
r
0
n
− − -->
2
16
π π -->
G
{\displaystyle \rho ={\frac {(n-1)\operatorname {vol} (S^{n-1})r_{0}^{n-2}}{16\pi G}}}
이 검은 막의 온도는 다음과 같다.
T
=
ℏ ℏ -->
c
4
π π -->
k
B
r
0
{\displaystyle T={\frac {\hbar c}{4\pi k_{\text{B}}r_{0}}}}
슈바르츠실트 검은 막은
r
=
r
0
{\displaystyle r=r_{0}}
사건 지평선 을 갖는다.
카를 슈바르츠실트 가 1916년 1월에 제출한 8쪽의 짧은 논문에서 유도하였다.[ 6] 제1차 세계 대전 당시 슈바르츠실트는 출병 전에 일반 상대성 이론 을 접한 뒤, 전쟁터에서 계산에 힘써 이 해를 도출해냈다. 그는 그 연구 결과를 알베르트 아인슈타인 에게 보내고 같은 해 5월에 전사했다.
자신이 발견한 해에 대하여 슈바르츠실트는 다음과 같이 평했다.
“
간단한 꼴의 엄밀해를 유도하는 것은 항상 기분 좋은 일이다.Es ist immer angenehm, über strenge Lösungen einfacher Form zu verfügen.
”
↑ 가 나 다 라 Emparan, Roberto; Reall, Harvey S. (2008). “Black holes in higher dimensions”. 《Living Reviews in Relativity》 (영어) 11 : 6. arXiv :0801.3471 . Bibcode :2008LRR....11....6E . doi :10.12942/lrr-2008-6 . ↑ Spradlin, Marcus; Strominger, Andrew ; Volovich, Anastasia (2001). “Les Houches lectures on De Sitter space” (영어). arXiv :hep-th/0110007 . Bibcode :2001hep.th...10007S . ↑ Gibbons, G. W. ; Hawking, Stephen W. (1977년 5월 15일). “Cosmological event horizons, thermodynamics, and particle creation”. 《Physical Review D》 (영어) 15 : 2738. doi :10.1103/PhysRevD.15.2738 . ISSN 1550-7998 . ↑ Teitelboim, Claudio (2002). “Gravitational thermodynamics of Schwarzschild-de Sitter space” (영어). arXiv :hep-th/0203258 . Bibcode :2002hep.th....3258T . ↑ Hawking, S. W. ; Page, Don N. (1982). “Thermodynamics of black holes in anti-de Sitter space” . 《Communications in Mathematical Physics》 (영어) 87 (4): 577–588. doi :10.1007/BF01208266 . MR 0691045 . ↑ 가 나 Schwarzschild, K. (1916). “Über das Gravitationsfeld eines Massenpunktes nach der Einsteinschen Theorie” . 《Sitzungsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften》 (독일어) 7 : 189–196. Bibcode :1916AbhKP......189S .
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