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선형대수학 에서 벡터 공간 (vector空間, 영어 : vector space , 문화어 : 벡토르공간, 선형공간[ 1] [ 2] ) 또는 선형 공간 (線型空間, 영어 : linear space )은 원소를 서로 더하거나 주어진 배수로 늘이거나 줄일 수 있는 공간이다. 체 에 대한, 가군 의 특수한 경우다. 벡터 공간의 원소를 벡터 (영어 : vector , 문화어 : 벡토르[ 3] )라고 하며, 이는 직관적으로 방향 및 길이의 비가 정의된 대상을 나타낸다. 그러나 노름 이 주어지지 않은 일반적인 벡터 공간에서는 벡터의 길이 자체는 정의되지 않는다.
정의
체
K
{\displaystyle K}
위의 벡터 공간
(
V
,
+
,
⋅ ⋅ -->
)
{\displaystyle (V,+,\cdot )}
은
K
{\displaystyle K}
에 대한 가군 이다. 즉, 다음과 같은 튜플 이다.
V
{\displaystyle V}
는 집합 이다. 이 집합의 원소를 벡터 라고 한다.
+
: : -->
V
× × -->
V
→ → -->
V
{\displaystyle +\colon V\times V\to V}
는 함수 이다. 이 연산을 벡터 덧셈 이라고 한다.
⋅ ⋅ -->
: : -->
K
× × -->
V
→ → -->
V
{\displaystyle \cdot \colon K\times V\to V}
는 함수 이다. 이 연산을 스칼라 곱셈 이라고 한다.
이 데이터는 다음과 같은 공리 들을 만족시켜야 한다.
(
V
,
+
)
{\displaystyle (V,+)}
는 아벨 군 을 이룬다. 즉, 다음 성질들이 성립한다.
(벡터 덧셈의 결합 법칙 ) 임의의
u
,
v
,
w
∈ ∈ -->
V
{\displaystyle u,v,w\in V}
에 대하여,
(
u
+
v
)
+
w
=
u
+
(
v
+
w
)
{\displaystyle (u+v)+w=u+(v+w)}
(벡터 덧셈의 교환 법칙 ) 임의의
u
,
v
∈ ∈ -->
V
{\displaystyle u,v\in V}
에 대하여,
u
+
v
=
v
+
u
{\displaystyle u+v=v+u}
(벡터 덧셈의 항등원 ) 임의의
u
∈ ∈ -->
V
{\displaystyle u\in V}
에 대하여
u
+
0
=
u
{\displaystyle u+0=u}
인 원소
0
∈ ∈ -->
V
{\displaystyle 0\in V}
가 존재한다.
(역원의 존재) 임의의
u
∈ ∈ -->
V
{\displaystyle u\in V}
에 대하여,
− − -->
u
+
u
=
0
{\displaystyle -u+u=0}
인 원소
− − -->
u
∈ ∈ -->
V
{\displaystyle -u\in V}
가 존재한다.
(
V
,
+
,
⋅ ⋅ -->
)
{\displaystyle (V,+,\cdot )}
는
K
{\displaystyle K}
의 가군 을 이룬다. 즉, 다음 성질들이 성립한다.
임의의
a
,
b
∈ ∈ -->
K
{\displaystyle a,b\in K}
및
v
∈ ∈ -->
V
{\displaystyle v\in V}
에 대하여,
a
⋅ ⋅ -->
(
b
⋅ ⋅ -->
v
)
=
(
a
b
)
⋅ ⋅ -->
v
{\displaystyle a\cdot (b\cdot v)=(ab)\cdot v}
임의의
v
∈ ∈ -->
V
{\displaystyle v\in V}
에 대하여,
1
⋅ ⋅ -->
v
=
v
{\displaystyle 1\cdot v=v}
. 여기서
1
∈ ∈ -->
K
{\displaystyle 1\in K}
는
K
{\displaystyle K}
의 곱셈 항등원이다.
(분배 법칙 ) 임의의
a
,
b
∈ ∈ -->
K
{\displaystyle a,b\in K}
및
u
,
v
∈ ∈ -->
V
{\displaystyle u,v\in V}
에 대하여,
(
a
+
b
)
⋅ ⋅ -->
(
u
+
v
)
=
a
⋅ ⋅ -->
u
+
b
⋅ ⋅ -->
u
+
a
⋅ ⋅ -->
v
+
b
⋅ ⋅ -->
v
{\displaystyle (a+b)\cdot (u+v)=a\cdot u+b\cdot u+a\cdot v+b\cdot v}
실수체
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
에 대한 벡터 공간을 실수 벡터 공간 (實數vector空間, 영어 : real vector space )이라고 하며, 복소수체
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
에 대한 벡터 공간을 복소수 벡터 공간 (複素數vector空間, 영어 : complex vector space )이라고 한다.
부분 공간과 기저
체
K
{\displaystyle K}
위의 벡터 공간
V
{\displaystyle V}
의 부분 집합
W
⊆ ⊆ -->
V
{\displaystyle W\subseteq V}
가 다음 조건을 만족시키면,
W
{\displaystyle W}
가
V
{\displaystyle V}
의 부분 벡터 공간 (部分vector空間, 영어 : vector subspace )이라고 한다.
0
V
∈ ∈ -->
W
{\displaystyle 0_{V}\in W}
임의의
u
,
v
∈ ∈ -->
W
{\displaystyle u,v\in W}
에 대하여,
u
+
v
∈ ∈ -->
W
{\displaystyle u+v\in W}
임의의
a
∈ ∈ -->
K
{\displaystyle a\in K}
및
u
∈ ∈ -->
W
{\displaystyle u\in W}
에 대하여,
a
⋅ ⋅ -->
u
∈ ∈ -->
W
{\displaystyle a\cdot u\in W}
즉, 부분 벡터 공간은
V
{\displaystyle V}
의 연산들을 제한시켜 새로운 더 작은 벡터 공간을 이룰 수 있는 부분 집합이다.
벡터 공간
V
{\displaystyle V}
의 부분 집합
S
{\displaystyle S}
에 대하여,
S
{\displaystyle S}
의 생성 (영어 : span )
Span
-->
S
{\displaystyle \operatorname {Span} S}
는
S
{\displaystyle S}
를 포함하는 모든 부분 공간들의 교집합이다. 만약
S
{\displaystyle S}
에서,
s
∈ ∈ -->
Span
-->
(
S
∖ ∖ -->
{
s
}
)
{\displaystyle s\in \operatorname {Span} (S\setminus \{s\})}
인 원소
s
∈ ∈ -->
S
{\displaystyle s\in S}
가 존재하지 않는다면,
S
{\displaystyle S}
가 선형 독립 집합 이라고 한다. 생성이 벡터 공간 전체인 선형 독립 집합을 기저 라고 한다.
선택 공리 를 가정하면, 모든 벡터 공간은 하나 이상의 기저를 가지며, 모든 기저들은 항상 같은 크기 를 갖는다. 벡터 공간
V
{\displaystyle V}
의 기저의 크기를 벡터 공간의 차원 (次元, 영어 : dimension )
dim
-->
V
∈ ∈ -->
Card
{\displaystyle \dim V\in \operatorname {Card} }
이라고 한다.
선형 변환
두 벡터 공간 사이의 선형 변환 은 벡터 덧셈과 스칼라 곱셈을 보존하는 사상이다. 만약 두 벡터 공간 사이에 가역 선형 변환이 존재한다면, 그 두 벡터 공간이 서로 동형 이라고 한다. 주어진 두 벡터 공간 사이의 선형 변환의 집합은 점별 벡터 덧셈과 점별 스칼라 곱셈에 의하여 벡터 공간을 이룬다. 두 유한 차원 벡터 공간 사이의 선형 변환은 주어진 기저에 대한 행렬 로 나타낼 수 있다.
분류
선택 공리 를 가정하자. 체
K
{\displaystyle K}
에 대한 벡터 공간
V
{\displaystyle V}
에 대하여 다음이 성립한다.
V
≅ ≅ -->
K
⊕ ⊕ -->
dim
-->
V
{\displaystyle V\cong K^{\oplus \dim V}}
즉, 주어진 체에 대한 벡터 공간은 그 차원에 따라서 완전히 분류된다. 이는 선택 공리 를 필요로 하며, 선택 공리가 없으면 모든 벡터 공간이 차원을 갖는다는 것을 보일 수 없다. 여기서
K
⊕ ⊕ -->
dim
-->
V
{\displaystyle K^{\oplus \dim V}}
는
K
{\displaystyle K}
의
dim
-->
V
{\displaystyle \dim V}
개의 직합 이며,
dim
-->
V
≥ ≥ -->
ℵ ℵ -->
0
{\displaystyle \dim V\geq \aleph _{0}}
인 경우 이는 곱집합 과 다르다.
연산
같은 체
K
{\displaystyle K}
위의 벡터 공간들이 주어졌을 때, 다음과 같은 연산들을 정의할 수 있다.
선분과 벡터 공간
몫공간
체
K
{\displaystyle K}
위의 벡터 공간
V
{\displaystyle V}
와 그 임의의 부분 공간
W
{\displaystyle W}
가 주어졌다고 하자. 그렇다면
V
{\displaystyle V}
위에 다음과 같은 동치 관계 를 정의할 수 있다.
v
∼ ∼ -->
w
⟺ ⟺ -->
v
− − -->
w
∈ ∈ -->
W
{\displaystyle v\sim w\iff v-w\in W}
이 동치 관계에 대한 동치류 는 다음과 같다.
[
v
]
∼ ∼ -->
=
v
+
W
=
{
v
+
w
: : -->
w
∈ ∈ -->
W
}
(
v
∈ ∈ -->
V
)
{\displaystyle [v]_{\sim }=v+W=\{v+w\colon w\in W\}\qquad (v\in V)}
몫공간 (몫空間, 영어 : quotient space )
V
/
W
{\displaystyle V/W}
는 집합으로서 이 동치 관계에 대한 몫집합 (=동치류들의 집합)이다.
V
/
W
=
{
v
+
W
: : -->
v
∈ ∈ -->
V
}
{\displaystyle V/W=\{v+W\colon v\in V\}}
그 위의 벡터 공간 연산은 다음과 같다.
(
v
+
W
)
+
(
w
+
W
)
=
(
v
+
w
)
+
W
{\displaystyle (v+W)+(w+W)=(v+w)+W}
a
⋅ ⋅ -->
(
v
+
W
)
=
a
⋅ ⋅ -->
v
+
W
{\displaystyle a\cdot (v+W)=a\cdot v+W}
이 정의는 동치류의 대표원을 선택하는 방식과 무관하다. 또한, 이들 연산은 집합으로서의 연산과 일치하지 않는다.
직접곱
이 부분의 본문은
직접곱 입니다.
K
{\displaystyle K}
위의 벡터 공간들의 집합
{
V
i
}
i
∈ ∈ -->
I
{\displaystyle \{V_{i}\}_{i\in I}}
이 주어졌을 때, 이들의 직접곱
∏ ∏ -->
i
∈ ∈ -->
I
V
i
{\displaystyle \prod _{i\in I}V_{i}}
은 집합으로서
V
i
{\displaystyle V_{i}}
들의 곱집합 이다. 이 위에는 자연스러운
K
{\displaystyle K}
-벡터 공간의 구조가 존재한다. 즉,
(
a
i
)
i
∈ ∈ -->
I
+
(
b
i
)
i
∈ ∈ -->
I
=
(
a
i
+
b
i
)
i
∈ ∈ -->
I
{\displaystyle (a_{i})_{i\in I}+(b_{i})_{i\in I}=(a_{i}+b_{i})_{i\in I}}
c
⋅ ⋅ -->
(
a
i
)
i
∈ ∈ -->
I
=
(
c
⋅ ⋅ -->
a
i
)
i
∈ ∈ -->
I
{\displaystyle c\cdot (a_{i})_{i\in I}=(c\cdot a_{i})_{i\in I}}
이는 벡터 공간의 범주에서의 곱 이며, 대수 구조 로서의 직접곱 이다. 즉, 자연스러운 사영 사상
π π -->
i
: : -->
∏ ∏ -->
i
∈ ∈ -->
I
V
i
→ → -->
V
i
{\displaystyle \pi _{i}\colon \prod _{i\in I}V_{i}\to V_{i}}
이 존재하며, 이는 선형 변환 을 이룬다.
직합
이 부분의 본문은
직합 입니다.
K
{\displaystyle K}
위의 벡터 공간들의 집합
{
V
i
}
i
∈ ∈ -->
I
{\displaystyle \{V_{i}\}_{i\in I}}
이 주어졌을 때, 이들의 직합 은 다음과 같다.
⨁ ⨁ -->
i
∈ ∈ -->
I
V
i
=
{
a
∈ ∈ -->
∏ ∏ -->
i
∈ ∈ -->
I
V
i
: : -->
|
{
i
∈ ∈ -->
I
: : -->
a
i
≠ ≠ -->
0
}
|
<
ℵ ℵ -->
0
}
⊆ ⊆ -->
∏ ∏ -->
i
∈ ∈ -->
I
V
i
{\displaystyle \bigoplus _{i\in I}V_{i}=\left\{a\in \prod _{i\in I}V_{i}\colon |\{i\in I\colon a_{i}\neq 0\}|<\aleph _{0}\right\}\subseteq \prod _{i\in I}V_{i}}
즉, 직접곱에서, 오직 유한 개의 성분만 0이 아닌 원소들로 구성된 부분 집합이다. 이는 벡터 공간의 범주에서의 쌍대곱 이며, 가군의 직합 의 특수한 경우이다. 즉, 자연스러운 포함 사상
ι ι -->
i
: : -->
V
i
↪ ↪ -->
⨁ ⨁ -->
i
∈ ∈ -->
I
V
i
{\displaystyle \iota _{i}\colon V_{i}\hookrightarrow \bigoplus _{i\in I}V_{i}}
가 존재하며, 따라서 각
V
i
{\displaystyle V_{i}}
는
⨁ ⨁ -->
i
∈ ∈ -->
I
V
i
{\displaystyle \bigoplus _{i\in I}V_{i}}
의 부분 공간을 이룬다.
유한 직합은 직접곱과 같으나, 무한 직합은 일반적으로 직접곱의 부분 공간이다. 만약
S
i
⊂ ⊂ -->
V
i
{\displaystyle S_{i}\subset V_{i}}
가
V
i
{\displaystyle V_{i}}
의 기저 라면,
⋃ ⋃ -->
i
∈ ∈ -->
I
ι ι -->
i
(
S
i
)
⊂ ⊂ -->
⨁ ⨁ -->
i
∈ ∈ -->
I
V
i
{\displaystyle \bigcup _{i\in I}\iota _{i}(S_{i})\subset \bigoplus _{i\in I}V_{i}}
는
⨁ ⨁ -->
i
∈ ∈ -->
I
V
i
{\displaystyle \bigoplus _{i\in I}V_{i}}
의 기저를 이룬다. 따라서,
dim
-->
⨁ ⨁ -->
i
∈ ∈ -->
I
V
i
=
∑ ∑ -->
i
∈ ∈ -->
I
dim
-->
V
i
{\displaystyle \dim \bigoplus _{i\in I}V_{i}=\sum _{i\in I}\dim V_{i}}
이다. 여기서 우변은 기수 의 합이다.
텐서곱
K
{\displaystyle K}
위의 벡터 공간들의 집합
{
V
i
}
i
∈ ∈ -->
I
{\displaystyle \{V_{i}\}_{i\in I}}
이 주어졌을 때, 이들의 텐서곱
⨂ ⨂ -->
i
∈ ∈ -->
I
V
i
=
Free
-->
(
∏ ∏ -->
i
∈ ∈ -->
I
V
i
)
/
∼ ∼ -->
{\displaystyle \bigotimes _{i\in I}V_{i}=\operatorname {Free} \left(\prod _{i\in I}V_{i}\right)/\sim }
이 존재한다. 이는 자연스러운 다중 선형 사상
ϕ ϕ -->
: : -->
∏ ∏ -->
i
∈ ∈ -->
I
V
i
→ → -->
⨂ ⨂ -->
i
∈ ∈ -->
I
V
i
{\displaystyle \phi \colon \prod _{i\in I}V_{i}\to \bigotimes _{i\in I}V_{i}}
을 가지며, 또한 임의의 다른 다중 선형 사상
χ χ -->
=
∏ ∏ -->
i
∈ ∈ -->
I
V
i
→ → -->
W
{\displaystyle \chi =\prod _{i\in I}V_{i}\to W}
이 주어졌을 때, 유일한 선형 사상
χ χ -->
~ ~ -->
: : -->
⨂ ⨂ -->
i
∈ ∈ -->
I
V
i
→ → -->
W
{\displaystyle {\tilde {\chi }}\colon \bigotimes _{i\in I}V_{i}\to W}
χ χ -->
~ ~ -->
∘ ∘ -->
ϕ ϕ -->
=
χ χ -->
{\displaystyle {\tilde {\chi }}\circ \phi =\chi }
가 존재한다. 텐서곱은 이 보편 성질 로부터 유일하게 정의되며, 또 항상 존재한다.[ 4] 그러나 무한 개의 벡터 공간들의 텐서곱은 직접 정의하기 힘들다.
임의의 두 벡터 공간
V
{\displaystyle V}
,
W
{\displaystyle W}
에 대하여, 다음이 성립한다.
dim
-->
(
V
⊗ ⊗ -->
W
)
=
dim
-->
V
⋅ ⋅ -->
dim
-->
W
{\displaystyle \dim(V\otimes W)=\dim V\cdot \dim W}
여기서
⋅ ⋅ -->
{\displaystyle \cdot }
은 기수 의 곱셈이다.
성질
체
K
{\displaystyle K}
위의 벡터 공간
K
{\displaystyle K}
는 다음 성질들을 만족시킨다.
즉, 체 위에서는 모든 가군 이 자유 가군 이 된다.
집합론적 성질
체
K
{\displaystyle K}
위의 벡터 공간
V
{\displaystyle V}
의 집합의 크기 는 다음과 같다.
|
V
|
=
{
|
K
|
dim
K
-->
V
κ κ -->
<
ℵ ℵ -->
0
max
{
|
K
|
,
dim
K
-->
V
}
κ κ -->
≥ ≥ -->
ℵ ℵ -->
0
{\displaystyle |V|={\begin{cases}|K|^{\dim _{K}V}&\kappa <\aleph _{0}\\\max\{|K|,\dim _{K}V\}&\kappa \geq \aleph _{0}\end{cases}}}
범주론적 성질
체
K
{\displaystyle K}
에 대한 벡터 공간들과 이들 사이의 선형 변환 들은 범주 를 이루며,
Vect
K
{\displaystyle \operatorname {Vect} _{K}}
라고 쓴다. 이는 아벨 범주 의 대표적인 예이다.
Vect
K
{\displaystyle \operatorname {Vect} _{K}}
에서의 대표적 범주론적 연산들은 다음과 같다.
완비 범주 이며, 쌍대 완비 범주 이다.
곱 은 (아벨 군으로서의) 직접곱 이며, 쌍대곱 은 (아벨 군으로서의) 직합 이다.
(유한) 곱 과 쌍대곱 이 일치한다.
영 대상 은 0차원 벡터 공간
{
0
}
{\displaystyle \{0\}}
이다.
직합 말고도, 텐서곱
V
⊗ ⊗ -->
W
{\displaystyle V\otimes W}
을 가지며, 이에 따라
Vect
K
{\displaystyle \operatorname {Vect} _{K}}
는 대칭 모노이드 범주 를 이룬다. 텐서곱의 항등원은 1차원 벡터 공간
K
{\displaystyle K}
이다.
집합으로의 망각 함자
F
: : -->
Vect
K
→ → -->
Set
{\displaystyle F\colon \operatorname {Vect} _{K}\to \operatorname {Set} }
,
(
V
,
+
,
⋅ ⋅ -->
)
↦ ↦ -->
V
{\displaystyle (V,+,\cdot )\mapsto V}
가 존재하며, 이에 따라서 구체적 범주 를 이룬다. 망각 함자는 왼쪽 수반 함자
Span
⊣ ⊣ -->
F
{\displaystyle \operatorname {Span} \dashv F}
를 갖는데,
Span
{\displaystyle \operatorname {Span} }
은 집합
S
{\displaystyle S}
를
|
S
|
{\displaystyle |S|}
차원 벡터 공간으로 대응시킨다.
모형 이론적 성질
모형 이론 의 관점에서, 체
K
{\displaystyle K}
에 대한 벡터 공간의 개념은 대수 구조 로 나타낼 수 있다. 이 경우, 벡터 공간의 언어는 다음과 같은 연산을 갖는다.
0항 연산
0
{\displaystyle 0}
(영벡터 )
각
a
∈ ∈ -->
K
{\displaystyle a\in K}
에 대하여, 1항 연산
a
⋅ ⋅ -->
{\displaystyle a\cdot }
2항 연산
+
{\displaystyle +}
즉, 만약
K
{\displaystyle K}
가 무한 집합일 경우, 벡터 공간의 언어는 무한 개의 연산을 갖는다. 벡터 공간을 정의하는 공리들은 모두 항등식으로 적을 수 있으므로, 벡터 공간들의 모임은 대수 구조 다양체 를 이룬다. 벡터 공간의 준동형 은 선형 변환 이며, 벡터 공간의 부분 대수는 부분 벡터 공간이다. 합동 관계 는 부분 벡터 공간과 일대일 대응 하며, 주어진 합동 관계에 대응하는 부분 공간은 0과 합동인 벡터들의 집합이다. 특이하게도, 모든 벡터 공간은 자유 대수이다.
예
유클리드 공간
R
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
은
n
{\displaystyle n}
차원 실수 벡터 공간이다.
체
K
{\displaystyle K}
위의
m
× × -->
n
{\displaystyle m\times n}
행렬 의 집합은
m
n
{\displaystyle mn}
차원
K
{\displaystyle K}
-벡터 공간을 이룬다.
임의의 위상 공간
X
{\displaystyle X}
위의 모든 연속 실함수의 집합
C
(
X
,
R
)
{\displaystyle {\mathcal {C}}(X,\mathbb {R} )}
는 실수 벡터 공간을 이룬다.
체
K
{\displaystyle K}
위의 벡터 공간 V 와 어떤 집합
X
{\displaystyle X}
가 주어졌을 때,
X
{\displaystyle X}
에서
V
{\displaystyle V}
로의 함수
f
: : -->
X
→ → -->
V
{\displaystyle f\colon X\to V}
들의 집합은
F
{\displaystyle F}
위의 벡터 공간을 이룬다. 이는
V
{\displaystyle V}
의
|
X
|
{\displaystyle |X|}
개 직접곱
V
× × -->
|
X
|
{\displaystyle V^{\times |X|}}
과 동형이다.
체
K
{\displaystyle K}
에 대하여, 다항식환
K
[
x
]
{\displaystyle K[x]}
및 형식적 거듭제곱 급수 환
F
[
[
x
]
]
{\displaystyle F[[x]]}
는
K
{\displaystyle K}
위의 벡터 공간이다.
임의의 체의 확대
L
/
K
{\displaystyle L/K}
의 경우,
L
{\displaystyle L}
은
K
{\displaystyle K}
위의 벡터 공간을 이루며, 벡터 공간으로서의 차원은 체의 확대의 차수이다.
유한체
F
p
n
{\displaystyle \mathbb {F} _{p^{n}}}
은
F
p
{\displaystyle \mathbb {F} _{p}}
위의
n
{\displaystyle n}
차원 벡터 공간이다.
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
는
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
위의 2차원 벡터 공간이다.
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
는
Q
{\displaystyle \mathbb {Q} }
위의
2
ℵ ℵ -->
0
{\displaystyle 2^{\aleph _{0}}}
차원 벡터 공간이다.
모든 대수적 수체 는
Q
{\displaystyle \mathbb {Q} }
위의 벡터 공간이다.
관련 개념
벡터 공간에 성질을 추가하여 만든 구조로는 거리의 개념을 준 노름 공간 · 바나흐 공간 , 각의 개념을 준 내적 공간 · 힐베르트 공간 , 위상적 성질을 가진 위상 벡터 공간 · 국소 볼록 공간 · 프레셰 공간 , 벡터 곱을 준 체 위의 대수 등이 있다.
벡터 공간은 임의의 환 위의 가군 의 개념의 특수한 경우이다. 그러나 일반적인 환 위의 일반적인 가군은 벡터 공간과 매우 다른 성질을 보인다. 벡터 공간과 비슷한 성질을 보이는 가군을 자유 가군 이라고 한다.
같이 보기
각주
참고 문헌
외부 링크