수학에서 위상 벡터 공간(位相vector空間, 영어: topological vector space, 약자 TVS)은 호환되는 위상이 주어진 벡터 공간이다.

${\displaystyle K}$가 위상환이라고 하자. 그렇다면 ${\displaystyle K}$-위상 왼쪽 가군(영어: topological left ${\displaystyle K}$-module) ${\displaystyle V}$는 다음 두 성질을 만족시키는, 위상 공간의 구조를 가지는 ${\displaystyle K}$-왼쪽 가군이다.

• (덧셈의 연속성) 벡터 덧셈 ${\displaystyle +\colon V\times V\to V}$는 연속 함수다. (여기서 ${\displaystyle V\times V}$는 곱위상을 갖춘다.)
• (스칼라곱의 연속성) 스칼라곱 ${\displaystyle \cdot \colon K\times V\to V}$는 연속 함수다. (여기서 ${\displaystyle K\times V}$는 곱위상을 갖춘다.)

마찬가지로 ${\displaystyle K}$-위상 오른쪽 가군을 정의할 수 있다. 물론, ${\displaystyle K}$가 가환환이라면 왼쪽·오른쪽을 구별할 필요가 없다.

만약 ${\displaystyle K}$가 위상체라면, ${\displaystyle V}$를 ${\displaystyle K}$-위상 벡터 공간이라고 한다. (월터 루딘과 같은 일부 저자들은 여기에 T₁ 공간 조건을 추가하기도 한다.)

모든 위상 왼쪽/오른쪽 가군은 특히 아벨 위상군이므로, 표준적인 균등 공간 구조를 갖는다. 이 경우, 덧셈과 스칼라곱이 사실 균등 연속 함수임을 보일 수 있다.

${\displaystyle \mathbb {K} \in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} \}}$가 실수체 또는 복소수체 가운데 하나라고 하자.

${\displaystyle \mathbb {K} }$-위상 벡터 공간 ${\displaystyle V}$ 속의 부분 집합 ${\displaystyle E\subseteq V}$에 대하여, 다음과 같은 성질들을 정의할 수 있다.

개념	정의
균형 집합	임의의 스칼라 ${\displaystyle t\in \mathbb {K} }$, ${\displaystyle |t|\leq 1}$에 대하여 ${\displaystyle tE\subseteq E}$
유계 집합	임의의 0의 근방 ${\displaystyle U\ni 0}$에 대하여, ${\displaystyle tU\supseteq E}$인 스칼라 ${\displaystyle t\in \mathbb {K} }$가 존재
흡수 집합	${\displaystyle \forall v\in V\exists r\in \mathbb {R} ^{+}\forall t\in \mathbb {K} \colon (|t|\geq r\implies v\in tE)}$

특히, 위와 같은 유계 집합의 정의를 통해, 모든 ${\displaystyle \mathbb {K} }$-위상 벡터 공간은 유계형 집합을 이룬다.

 이 부분의 본문은 연속 쌍대 공간입니다.

위상환 ${\displaystyle K}$에 대한 위상 왼쪽 가군 ${\displaystyle _{K}V}$이 주어졌을 때, 연속 가군 준동형 ${\displaystyle _{K}V\to {}_{K}K}$들의 집합은 ${\displaystyle K}$-위상 오른쪽 가군을 이루며, 이를 ${\displaystyle V}$의 연속 쌍대 가군 ${\displaystyle V'_{K}}$이라고 한다. 만약 ${\displaystyle K}$가 위상체일 경우, 이는 연속 쌍대 공간이라고 한다.

이는 (대수적) 쌍대 공간보다 일반적으로 더 작다.

위상 벡터 공간 (또는 위상 가군) 위에는 항상 원래 위상보다 더 엉성한 특별한 위상을 표준적으로 줄 수 있으며, 이를 약한 위상(弱한位相, 영어: weak topology)이라고 한다. 이 경우, 약한 위상과 구별하기 위하여 ${\displaystyle V}$의 원래 위상을 강한 위상(強한位相, 영어: strong topology)이라고 한다.

구체적으로, 위상환 ${\displaystyle K}$에 대한 위상 왼쪽 가군 ${\displaystyle _{K}V}$의 연속 쌍대 가군 ${\displaystyle V'}$으로 생성되는 시작 위상을 ${\displaystyle V}$의 약한 위상이라고 한다. 즉, 약한 위상은 연속 쌍대 가군의 원소를 연속 함수로 만드는 가장 엉성한 위상이다. 집합 ${\displaystyle V}$에 약한 위상을 부여한 것을 ${\displaystyle V^{\text{weak}}}$라고 표기하자.

약한 위상의 기저는 구체적으로 다음과 같다.

${\displaystyle \left\{\phi ^{-1}(U)\colon U\in \operatorname {Open} (K),\;\phi \in V'\right\}}$

여기서 ${\displaystyle \operatorname {Open} (K)}$는 ${\displaystyle K}$의 열린집합들의 족이다.

정의에 따라, 임의의 위상 가군 위의 약한 위상은 항상 원래 (강한) 위상보다 더 엉성한 위상이다. 또한, 약한 위상을 취하는 연산은 멱등 연산이다. 즉, 임의의 위상환 위의 위상 왼쪽 가군 ${\displaystyle _{K}V}$에 대하여, 다음이 성립한다.

${\displaystyle V'=(V^{\text{weak}})'}$

${\displaystyle V^{\text{weak}}=(V^{\text{weak}})^{\text{weak}}}$

실수체나 복소수체에 대한 위상 벡터 공간 ${\displaystyle V}$에 대하여, 다음 분리공리들이 서로 동치이다.

• ${\displaystyle V}$는 T₁ 공간이다.
• ${\displaystyle V}$는 하우스도르프 공간이다.
• ${\displaystyle V}$는 하우스도르프 정칙 공간이다.
• ${\displaystyle V}$는 티호노프 공간이다.

즉, 위상 벡터 공간에 대해서는 T₁부터 T_3½(= 티호노프 공간)까지의 성질들이 서로 동치가 된다.

 프레셰 공간 문서를 참고하십시오.

실수체나 복소수체에 대한 위상 벡터 공간 ${\displaystyle V}$에 대하여, 다음 세 조건이 서로 동치이다.^{[1]:18, Theorem 1.24}

• 제1 가산 공간이다.
• 유사 거리화 가능 공간이다.
• ${\displaystyle V}$의 위상은 평행 이동 불변 유사 거리 함수로 유도될 수 있다.

이는 위상군의 버코프-가쿠타니 정리의 특수한 경우다.

실수체나 복소수체에 대한 모든 유한 차원 위상 벡터 공간은 완비 균등 공간이다.

실수체나 복소수체에 대한 위상 벡터 공간 ${\displaystyle V}$, ${\displaystyle W}$에 대하여, 만약

• ${\displaystyle V}$, ${\displaystyle W}$가 하우스도르프 공간이며,
• ${\displaystyle \dim V=\dim W<\infty }$

라면, 모든 전단사 선형 변환

${\displaystyle V\to W}$

은 위상 동형이다. 즉, 하우스도르프 조건을 가정하면, 실수체나 복소수체에 대한 유한 차원 위상 벡터 공간은 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$이나 ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$(${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$)밖에 없다.^{[1]:16, Theorems 1.21[2]:22, Theorem 3.5} 하우스도르프 조건을 없애면 이는 더 이상 성립하지 않는다. 예를 들어, 임의의 실수·복소수 벡터 공간 위에 비이산 위상을 입혀 위상 벡터 공간으로 만들 수 있다.

실수체나 복소수체에 대한 하우스도르프 위상 벡터 공간 ${\displaystyle V}$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.^{[1]:17, Theorems 1.22[2]:23, Theorem 3.6}

• ${\displaystyle \dim V<\infty }$
• ${\displaystyle V}$는 국소 콤팩트 공간이다.

실수체나 복소수체에 대한 하우스도르프 위상 벡터 공간 ${\displaystyle V}$의 모든 유한 차원 부분 공간 ${\displaystyle W\subset V}$는 닫힌집합이다. 하우스도르프 조건을 가정하지 않으면 이는 더 이상 성립하지 않는다. 예를 들어, 비이산 위상을 갖춘, 1차원 이상의 위상 벡터 공간의 유일한 0차원 부분 공간은 닫힌집합이 아니다.

• Grothendieck, A. (1992). 《Topological vector spaces》. Notes on Mathematics and Its Applications (영어). Orlando Chaljub 역 3판. Gordon and Breach. ISBN 0-677-30020-4. Zbl 0763.46002.  CS1 관리 - 추가 문구 (링크)
• Köthe, Gottfried (1969). 《Topological vector spaces I》. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften (영어) 159. Springer. ISBN 0-387-04509-0. Zbl 0179.17001. 
• Köthe, Gottfried (1979). 《Topological vector spaces II》. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften (영어) 237. Springer. Zbl 0417.46001. 
• Narici, Lawrence; Beckenstein, Edward (2010). 《Topological vector spaces》. Pure and Applied Mathematics (영어) 2판. CRC Press. ISBN 978-158488866-6. 
• Schaefer, Helmuth H.; Wolff, M. P. (1999). 《Topological vector spaces》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 3 2판. Springer. doi:10.1007/978-1-4612-1468-7. ISBN 978-1-4612-7155-0. ISSN 0072-5285. Zbl 0983.46002.  CS1 관리 - 추가 문구 (링크)
• Reed, Michael C.; Barry Simon (1980). 《Functional analysis》. Methods of modern mathematical physics (영어) 1. Academic Press. ISBN 0-12-585050-6. Zbl 0459.46001.  더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말)

• “Topological vector space”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Topological module”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Weak topology”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Strong topology”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Topological vector space”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• “Topological vector space”. 《nLab》 (영어).