결합법칙

수학에서 결합법칙(結合法則, associative property)은 이항연산이 가질 수 있는 성질이다. 한 식에서 연산이 두 번 이상 연속될 때, 앞쪽의 연산을 먼저 계산한 값과 뒤쪽의 연산을 먼저 계산한 결과가 항상 같을 경우 그 연산은 결합법칙을 만족한다고 한다.

실수의 덧셈과 곱셈은 결합법칙을 만족한다. 예를 들어 다음 식은 참이다.

(2 + 3) + 5 = 2 + (3 + 5)

결합법칙이 성립하지 않는 가장 쉬운 예는 실수의 뺄셈일 것이다. 다음 식에서,

(8 - 7) - 3 ≠ 8 - (7 - 3)

좌변과 우변의 결과값은 각각 -2와 4로 서로 다르다. 따라서 실수는 뺄셈에 대하여 결합법칙이 성립하지 않는다.

또한, 실수의 나눗셈도 결합법칙이 성립하지 않는다. 다음 식에서,

(8 ÷ 7) ÷ 3 ≠ 8 ÷ (7 ÷ 3)

{{8 \over 7} \over {3 \over 1}}\neq {{8 \over 1} \over {7 \over 3}}

{{8} \over {21}}\neq {{24} \over {7}}

좌변과 우변의 결과값은 각각 0.38095...와 3.42857...로 서로 다르다. 따라서 실수는 나눗셈에 대하여도 결합법칙이 성립하지 않는다.

정의

집합 S에 대해 정의된 이항 연산 $*$ 이 결합법칙을 만족하면 다음 식이 성립한다.

(x*y)*z=x*(y*z)\qquad \forall x,y,z\in S

이 때 좌변과 우변의 값은 연산을 수행하는 순서에 영향을 받지 않는다. 이 법칙은 $*$ 연산이 세 번 이상 나타날 때에도 확장해서 적용할 수 있으며, 따라서 $*$ 가 결합법칙을 만족하면 연산 순서를 따로 지정하지 않아도 모호함 없이 수식의 값이 결정된다. 따라서 보통 위의 수식을 괄호 없이 다음과 같이 쓴다.

x*y*z

예시

자연수, 정수, 유리수, 실수, 복소수, 사원수의 덧셈과 곱셈은 결합법칙이 성립한다. 팔원수의 덧셈도 결합법칙이 성립하지만 곱셈은 성립하지 않는다.
최대공약수와 최소공배수 함수는 결합법칙을 만족한다.
행렬 곱셈은 결합법칙을 만족한다.
선형 변환이 행렬의 곱셈으로 표현되므로 선형 변환 역시 결합법칙을 만족한다.
집합의 교집합과 합집합 연산은 각각 결합법칙이 성립한다.
진릿값의 논리곱, 논리합, 배타적 논리합 등 논리 연산은 각각 결합법칙이 성립한다.
각 함수의 정의역과 치역이 올바르게 정의된 합성함수도 결합법칙을 만족한다. 즉 $h:M\to N,\ g:N\to P,\ f:P\to Q$ 인 세 함수가 있을 때,
$(f\circ g)\circ h=f\circ (g\circ h)=f\circ g\circ h$

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