팔원수 (八元數, 영어 : octonion 옥토니언[* ] ) 또는 케일리 수 (영어 : Cayley number )는 유일한 8차원 비가환 비결합 노름 나눗셈 대수 이다.[ 1]
팔원수 대수는 실수체 위의 8차원의 유일한 노름 나눗셈 대수 이다. 그 기저 를
1
,
e
1
,
e
2
,
… … -->
,
e
7
{\displaystyle 1,e_{1},e_{2},\dots ,e_{7}}
[ 1] :Table 1
팔원수 곱셈표 ab =
a ╲b e1
e2
e3
e4
e5
e6
e7
e1
−1
+e4
+e7
−e2
+e6
−e5
−e3
e2
−e4
−1
+e5
+e1
−e3
+e7
−e6
e3
−e7
−e5
−1
+e6
+e2
−e4
+e1
e4
+e2
−e1
−e6
−1
+e7
+e3
−e5
e5
−e6
+e3
−e2
−e7
−1
+e1
+e4
e6
+e5
−e7
+e4
−e3
−e1
−1
+e2
e7
+e3
+e6
−e1
+e5
−e4
−e2
−1
팔원수는 사원수 대수에 케일리-딕슨 구성 을 가하여 얻어진다.
팔원수 곱셈은 다음과 같은 성질들을 만족시킨다.[ 1] :§2
e
i
{\displaystyle e_{i}}
i
{\displaystyle i}
유한체
F
7
{\displaystyle \mathbb {F} _{7}}
(반대칭성)
e
i
e
j
=
{
− − -->
1
i
=
j
− − -->
e
j
e
i
i
≠ ≠ -->
j
{\displaystyle e_{i}e_{j}={\begin{cases}-1&i=j\\-e_{j}e_{i}&i\neq j\end{cases}}}
(사원수 부분 대수) 만약
e
i
e
j
=
e
k
{\displaystyle e_{i}e_{j}=e_{k}}
{
± ± -->
1
,
± ± -->
e
i
,
± ± -->
e
j
,
± ± -->
e
k
}
{\displaystyle \{\pm 1,\pm e_{i},\pm e_{j},\pm e_{k}\}}
사원수군 을 이룬다. 즉,
e
j
e
k
=
e
i
{\displaystyle e_{j}e_{k}=e_{i}}
e
k
e
i
=
e
j
{\displaystyle e_{k}e_{i}=e_{j}}
(첨자의 순환성) 만약
e
i
e
j
=
± ± -->
e
k
{\displaystyle e_{i}e_{j}=\pm e_{k}}
e
i
+
1
e
j
+
1
=
± ± -->
e
k
+
1
{\displaystyle e_{i+1}e_{j+1}=\pm e_{k+1}}
(첨자 2배 항등식) 만약
e
i
e
j
=
± ± -->
e
k
{\displaystyle e_{i}e_{j}=\pm e_{k}}
e
2
i
e
2
j
=
± ± -->
e
2
k
{\displaystyle e_{2i}e_{2j}=\pm e_{2k}}
F
7
{\displaystyle \mathbb {F} _{7}}
2
3
=
8
≡ ≡ -->
1
(
mod
7
)
{\displaystyle 2^{3}=8\equiv 1{\pmod {7}}}
Z
/
3
{\displaystyle \mathbb {Z} /3}
팔원수의 곱셈은 다음과 같이 파노 평면
P
F
2
2
{\displaystyle \mathbb {P} _{\mathbb {F} _{2}}^{2}}
유한체
F
2
{\displaystyle \mathbb {F} _{2}}
사영 평면 )으로 나타낼 수 있다.[ 1] :§2
여기서, 같은 직선 위에 놓인 세 점
(
e
i
,
e
j
,
e
k
)
{\displaystyle (e_{i},e_{j},e_{k})}
사원수군 을 생성한다. 즉,
e
i
e
j
=
e
k
{\displaystyle e_{i}e_{j}=e_{k}}
e
i
↦ ↦ -->
e
2
i
{\displaystyle e_{i}\mapsto e_{2i}}
벡터의 스칼라곱 은 임의의 차원에서 정의되지만, 벡터곱 은 3차원과 7차원에서만 정의될 수 있다. (1차원의 "벡터곱"은 값이 항상 0인 상수 함수 이다.) 3차원 벡터의 벡터곱 은 잘 알려져 있으며, 사원수 의 존재를 가능케 한다. 마찬가지로, 7차원 벡터의 벡터곱의 존재는 팔원수의 존재와 관련있다.
팔원수를 실수 (스칼라) 성분
a
{\displaystyle a}
v
{\displaystyle \mathbf {v} }
(
a
+
u
)
(
b
+
v
)
=
(
a
b
− − -->
u
⋅ ⋅ -->
v
)
+
(
a
v
+
b
u
+
u
× × -->
v
)
{\displaystyle (a+\mathbf {u} )(b+\mathbf {v} )=(ab-\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} )+(a\mathbf {v} +b\mathbf {u} +\mathbf {u} \times \mathbf {v} )}
이는 사원수 의 곱과 같은 꼴이지만, 3차원 벡터의 스칼라곱 · 벡터곱 대신 7차원 벡터의 스칼라곱 · 벡터곱 을 사용한다.
7차원 벡터의 벡터곱은 3차원 벡터곱과 마찬가지로 다음과 같은 성질들을 만족시킨다.
u
⋅ ⋅ -->
(
u
× × -->
v
)
=
(
u
× × -->
v
)
⋅ ⋅ -->
v
=
0
{\displaystyle \mathbf {u} \cdot (\mathbf {u} \times \mathbf {v} )=(\mathbf {u} \times \mathbf {v} )\cdot \mathbf {v} =0}
‖ ‖ -->
u
× × -->
v
‖ ‖ -->
=
‖ ‖ -->
u
‖ ‖ -->
2
‖ ‖ -->
v
‖ ‖ -->
2
− − -->
(
u
⋅ ⋅ -->
v
)
2
=
‖ ‖ -->
u
‖ ‖ -->
‖ ‖ -->
v
‖ ‖ -->
sin
-->
∠ ∠ -->
(
u
,
v
)
{\displaystyle \|\mathbf {u} \times \mathbf {v} \|=\|\mathbf {u} \|^{2}\|\mathbf {v} \|^{2}-(\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} )^{2}=\|\mathbf {u} \|\|\mathbf {v} \|\sin \angle (\mathbf {u} ,\mathbf {v} )}
u
× × -->
v
=
− − -->
v
× × -->
u
{\displaystyle \mathbf {u} \times \mathbf {v} =-\mathbf {v} \times \mathbf {u} }
u
⋅ ⋅ -->
(
v
× × -->
w
)
=
v
⋅ ⋅ -->
(
w
× × -->
u
)
=
w
⋅ ⋅ -->
(
u
× × -->
v
)
{\displaystyle \mathbf {u} \cdot (\mathbf {v} \times \mathbf {w} )=\mathbf {v} \cdot (\mathbf {w} \times \mathbf {u} )=\mathbf {w} \cdot (\mathbf {u} \times \mathbf {v} )}
그러나 3차원 벡터곱과 달리, 7차원 벡터의 3중 스칼라곱
− − -->
⋅ ⋅ -->
(
− − -->
× × -->
− − -->
)
{\displaystyle -\cdot (-\times -)}
행렬식 으로 나타낼 수 없다. 또한, 벡터 3중곱에 대한 다음 항등식들이 3차원에서는 성립하지만, 7차원에서는 성립하지 않는다.
(벡터 3중곱 항등식)
u
× × -->
(
v
× × -->
w
)
=
(
u
⋅ ⋅ -->
w
)
v
− − -->
(
u
⋅ ⋅ -->
v
)
w
{\displaystyle \mathbf {u} \times (\mathbf {v} \times \mathbf {w} )=(\mathbf {u} \cdot \mathbf {w} )\mathbf {v} -(\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} )\mathbf {w} }
(야코비 항등식 )
u
× × -->
(
v
× × -->
w
)
+
v
× × -->
(
w
× × -->
u
)
+
w
× × -->
(
u
× × -->
v
)
=
0
{\displaystyle \mathbf {u} \times (\mathbf {v} \times \mathbf {w} )+\mathbf {v} \times (\mathbf {w} \times \mathbf {u} )+\mathbf {w} \times (\mathbf {u} \times \mathbf {v} )=0}
야코비 항등식의 실패에 따라, 7차원 벡터곱은 리 대수 의 리 괄호 를 정의하지 않는다. (그러나 이는 리 대수보다 약한 개념인 말체프 대수 (영어 : Mal’cev algebra )를 이룬다.)
팔원수 대수의 곱셈은 교환 법칙 과 결합 법칙 을 따르지 않는다. 그러나 팔원수 대수는 실수체 위의 교대 대수 이다. 즉, 다음 항등식이 성립한다.
x
(
x
y
)
=
x
2
y
{\displaystyle x(xy)=x^{2}y}
(
y
x
)
x
=
y
x
2
{\displaystyle (yx)x=yx^{2}}
팔원수 대수는 나눗셈 대수 이다. 즉, 모든 원소는 역원을 갖는다. 따라서, 0이 아닌 팔원수들은 곱셈에 대하여 무팡 고리 를 이룬다.
팔원수의 노름 (영어 : norm )은 다음과 같다.
|
⋅ ⋅ -->
|
: : -->
O
→ → -->
R
≥ ≥ -->
0
{\displaystyle |\cdot |\colon \mathbb {O} \to \mathbb {R} _{\geq 0}}
|
a
0
+
a
1
e
1
+
⋯ ⋯ -->
+
a
7
e
7
|
=
a
0
2
+
a
1
2
+
⋯ ⋯ -->
+
a
7
2
{\displaystyle |a_{0}+a_{1}e_{1}+\cdots +a_{7}e_{7}|={\sqrt {a_{0}^{2}+a_{1}^{2}+\cdots +a_{7}^{2}}}}
이에 따라, 팔원수 대수는 실수체 위의 노름 나눗셈 대수 를 이룬다.
주어진 팔원수의 켤레 (영어 : conjugate )는 허수 성분의 부호를 바꾸는
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
선형 변환 이다.
¯ ¯ -->
: : -->
O
→ → -->
O
{\displaystyle {\bar {}}\colon \mathbb {O} \to \mathbb {O} }
a
0
+
a
1
e
1
+
⋯ ⋯ -->
+
a
7
e
7
¯ ¯ -->
=
a
0
− − -->
a
1
e
1
− − -->
⋯ ⋯ -->
− − -->
a
7
e
7
{\displaystyle {\overline {a_{0}+a_{1}e_{1}+\cdots +a_{7}e_{7}}}=a_{0}-a_{1}e_{1}-\cdots -a_{7}e_{7}}
그렇다면, 임의의 팔원수
a
,
b
∈ ∈ -->
O
{\displaystyle a,b\in \mathbb {O} }
a
a
¯ ¯ -->
=
a
¯ ¯ -->
a
=
|
a
|
2
{\displaystyle a{\bar {a}}={\bar {a}}a=|a|^{2}}
|
a
b
|
=
|
a
|
|
b
|
{\displaystyle |ab|=|a||b|}
두 번째 항등식은 데겐의 여덟 제곱수 항등식 과 같다.
팔원수의 집합
O
{\displaystyle \mathbb {O} }
O
× × -->
O
→ → -->
O
{\displaystyle \mathbb {O} \times \mathbb {O} \to \mathbb {O} }
벡터 공간 으로 간주하여, 곱셈을 보존하는 자기 동형군
Aut
-->
(
O
)
{\displaystyle \operatorname {Aut} (\mathbb {O} )}
단순 리 군 G2 의 콤팩트 형식과 같다.
1818년 10월 7일에 덴마크의 수학자 카를 페르디난 데겐(덴마크어 : Carl Ferdinand Degen , 1766~1825)은 데겐의 여덟 제곱수 항등식 을 발견하였다.[ 2]
1843년 10월 6일에 윌리엄 로언 해밀턴 은 사원수 를 발견하였고, 다음날에 이 발견에 대하여 친구인 아일랜드 의 수학자 존 토머스 그레이브스(영어 : John Thomas Graves , 1806~1870)에게 편지로 적어 보냈다. 같은 해 크리스마스 경에 그레이브스는 사원수를 확장하려는 시도 끝에 데겐의 여덟 제곱수 항등식 을 재발견하였고, 이를 기반으로 한 팔원수를 고안하였다. 그레이브스는 팔원수를 "옥타브"(영어 : octave )라고 명명하였다. 그레이브스는 이 발견을 윌리엄 로언 해밀턴 에게 서편으로 거론하였으나, 대외적으로 발표하지 않았다.
해밀턴은 사원수의 발견을 1844년에 대외적으로 발표하였고, 곧 아서 케일리 가 1845년에 독립적으로 팔원수를 발견하여 발표하였다.[ 3] 타원 함수 에 대한 내용이었는데, 거의 모두가 틀린 내용이었지만 맨 끝에 부록으로 적은 팔원수에 대한 내용만은 옳았다.[ 1] :§1 [ 4]
복소수 자연수의 분류 유리수의 분류 실수의 분류 복소수의 분류 기타
