양자역학 에서 포크 공간 (Фок空間, 영어 : Fock space )은 임의의 수의 자유입자의 상태를 나타내는 힐베르트 공간 이다. 소련 의 물리학자 블라디미르 포크 가 1932년 도입하였다.[ 1]
수학적으로, 다음과 같이 정의한다. 단입자 힐베르트 공간 을 H 라고 하자. S 는 입자가 보손 이면 공간을 대칭화하는 연산자, 페르미온 이면 반대칭화하는 연산자라고 하자. 그렇다면 포크 공간
F
(
H
)
{\displaystyle F(H)}
텐서곱 의 가군 직합 의 완비화 로 나타낸다.
F
(
H
)
=
⨁ ⨁ -->
n
=
0
∞ ∞ -->
S
H
⊗ ⊗ -->
n
¯ ¯ -->
{\displaystyle F(H)={\overline {\bigoplus _{n=0}^{\infty }SH^{\otimes n}}}}
만약 여러 종류의 입자가 존재할 경우 이에 대해 자연스럽게 확장할 수 있다.
포크 공간은 자유입자만을 나타낼 수 있다. 즉 상호작용하는 입자는 포크 공간으로 나타낼 수 없다. 이를 하크 정리 (Haag's theorem)이라고 한다.[ 2] 루돌프 하크 가 1955년에 지적하였다.[ 3]
포크 공간은 구체적으로 다음과 같이 나타낼 수 있다. 만약 1입자 힐베르트 공간
V
≅ ≅ -->
C
n
=
{
(
z
1
,
… … -->
,
z
n
)
}
{\displaystyle V\cong \mathbb {C} ^{n}=\{(z^{1},\dots ,z^{n})\}}
바르그만-포크 공간 (영어 : Bargmann–Fock space )
F
2
(
V
)
{\displaystyle {\mathcal {F}}^{2}(V)}
f
: : -->
V
→ → -->
C
{\displaystyle f\colon V\to \mathbb {C} }
f
{\displaystyle f}
정칙함수 다. 즉,
∂ ∂ -->
¯ ¯ -->
i
f
=
0
∀ ∀ -->
i
=
1
,
… … -->
,
n
{\displaystyle {\bar {\partial }}_{i}f=0\forall i=1,\dots ,n}
또한, 노름
‖ ‖ -->
f
‖ ‖ -->
2
=
(
1
/
π π -->
n
)
∫ ∫ -->
C
n
|
f
(
z
)
|
2
exp
-->
(
− − -->
|
z
|
2
)
d
n
z
{\displaystyle \Vert f\Vert ^{2}=(1/\pi ^{n})\int _{\mathbb {C} ^{n}}|f(\mathbf {z} )|^{2}\exp(-|\mathbf {z} |^{2})\,d^{n}\mathbf {z} }
이 공간에 다음과 같은 노름 을 주어, 힐베르트 공간 으로 만들 수 있다.
⟨ ⟨ -->
f
|
g
⟩ ⟩ -->
=
(
1
/
π π -->
n
)
∫ ∫ -->
V
f
¯ ¯ -->
(
z
¯ ¯ -->
)
g
(
z
)
d
n
z
{\displaystyle \langle f|g\rangle =(1/\pi ^{n})\int _{V}{\bar {f}}({\bar {\mathbf {z} }})g(\mathbf {z} )\,d^{n}\mathbf {z} }
이 경우, 다음이 성립함을 보일 수 있다.
⟨ ⟨ -->
f
|
∂ ∂ -->
i
g
⟩ ⟩ -->
=
⟨ ⟨ -->
z
i
f
|
g
⟩ ⟩ -->
{\displaystyle \langle f|\partial _{i}g\rangle =\langle z^{i}f|g\rangle }
또한,
[
∂ ∂ -->
i
,
z
j
]
=
δ δ -->
i
j
{\displaystyle [\partial _{i},z^{j}]=\delta _{i}^{j}}
이므로, 다음과 같이 대응시키면 이 공간이 포크 공간과 동형임을 알 수 있다.
이름
포크 공간
바르그만-포크 공간
진공
|
0
⟩ ⟩ -->
{\displaystyle |0\rangle }
1
생성 연산자
a
i
† † -->
{\displaystyle a_{i}^{\dagger }}
z
i
{\displaystyle z^{i}}
파괴 연산자
a
i
{\displaystyle a_{i}}
∂ ∂ -->
i
{\displaystyle \partial _{i}}
다입자 상태
(
∏ ∏ -->
i
=
1
n
(
a
i
† † -->
)
n
i
/
n
i
!
)
|
0
⟩ ⟩ -->
{\displaystyle \left(\prod _{i=1}^{n}(a_{i}^{\dagger })^{n_{i}}/{\sqrt {n_{i}!}}\right)|0\rangle }
∏ ∏ -->
i
=
1
n
z
i
n
i
/
n
i
!
{\displaystyle \prod _{i=1}^{n}z_{i}^{n_{i}}/{\sqrt {n_{i}!}}}
만약 1입자 상태
V
{\displaystyle V}
F
(
C
n
)
{\displaystyle {\mathcal {F}}(\mathbb {C} ^{n})}
귀납적 극한 을 취하여 바르그만-포크 공간을 정의할 수 있다.
바르그만-포크 공간은 발렌티네 바르그만(독일어 : Valentine Bargmann )이 1961년 정의하였다.[ 4] [ 5]
Michael C. Reed, Barry Simon, "Methods of Modern Mathematical Physics, Volume II", Academic Press 1975. 328쪽. 
![{\displaystyle [\partial _{i},z^{j}]=\delta _{i}^{j}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3a3ad00fbedc987a433912620a7c52f41fd16207)
