양자장론 에서 파데예프-포포프 유령 (Faddeev–Popov ghost )은 게이지 이론 의 경로 적분 을 정의할 때 발생하는 가상의 입자들이다. 이들은 실재하지 않으나, 파인먼 도형 들을 계산할 때 필요하다.
게이지 장
A
{\displaystyle A}
G
{\displaystyle G}
게이지 이론 의 경로 적분 을 생각하자.
Z
=
1
vol
-->
(
G
)
∫ ∫ -->
D
A
exp
-->
(
i
S
[
A
]
)
{\displaystyle Z={\frac {1}{\operatorname {vol} (G)}}\int DA\,\exp(iS[A])}
게이지 군의 부피
vol
-->
(
G
)
{\displaystyle \operatorname {vol} (G)}
gauge condition )을 가한다.
F
(
A
)
{\displaystyle F(A)}
디랙 델타 와, 이에 대한 야코비안
det
(
δ δ -->
G
(
α α -->
(
A
)
)
/
δ δ -->
α α -->
)
{\displaystyle \det(\delta G(\alpha (A))/\delta \alpha )}
경로 적분 에 삽입한다.
Z
=
1
vol
-->
(
G
)
∫ ∫ -->
D
A
exp
-->
(
i
S
[
A
]
)
∫ ∫ -->
G
d
α α -->
δ δ -->
(
F
(
A
)
)
det
(
δ δ -->
F
(
α α -->
(
A
)
)
/
δ δ -->
α α -->
)
{\displaystyle Z={\frac {1}{\operatorname {vol} (G)}}\int DA\,\exp(iS[A])\int _{G}d\alpha \,\delta (F(A))\det(\delta F(\alpha (A))/\delta \alpha )}
게이지 이론의 경우, 그 측도
D
A
{\displaystyle DA}
야코비안 이 발생하지 않는다. (그렇지 않을 경우는 변칙 이라고 하고, 이 경우 게이지 이론은 존재할 수 없다.) 또한, 그 작용
S
[
A
]
{\displaystyle S[A]}
det
(
δ δ -->
F
(
α α -->
(
A
)
)
/
δ δ -->
α α -->
)
{\displaystyle \det(\delta F(\alpha (A))/\delta \alpha )}
α α -->
{\displaystyle \alpha }
A
↦ ↦ -->
α α -->
− − -->
1
(
A
)
{\displaystyle A\mapsto \alpha ^{-1}(A)}
Z
=
1
vol
-->
(
G
)
∫ ∫ -->
D
A
exp
-->
(
i
S
[
A
]
)
∫ ∫ -->
G
d
α α -->
δ δ -->
(
F
(
A
)
)
det
(
δ δ -->
F
(
α α -->
(
A
)
)
/
δ δ -->
α α -->
)
{\displaystyle Z={\frac {1}{\operatorname {vol} (G)}}\int DA\,\exp(iS[A])\int _{G}d\alpha \,\delta (F(A))\det(\delta F(\alpha (A))/\delta \alpha )}
=
∫ ∫ -->
D
A
exp
-->
(
i
S
[
A
]
)
δ δ -->
(
F
(
A
)
)
det
(
δ δ -->
F
(
α α -->
(
A
)
)
/
δ δ -->
α α -->
)
{\displaystyle =\int DA\,\exp(iS[A])\,\delta (F(A))\det(\delta F(\alpha (A))/\delta \alpha )}
따라서, 작용에
S
′
=
− − -->
i
log
-->
δ δ -->
(
F
(
A
)
)
− − -->
i
log
-->
det
δ δ -->
(
F
(
α α -->
(
A
)
)
)
δ δ -->
α α -->
{\displaystyle S'=-i\log \delta (F(A))-i\log \det {\frac {\delta (F(\alpha (A)))}{\delta \alpha }}}
두 개의 항이 더해진다. 첫 번째 항은 게이지 고정항(gauge-fixing term )이다. 두 번째 항은 함수 행렬식 이다. 이는 게이지 군이 아벨 군 일 경우 상수이며, 게이지 군이 아벨 군이 아닐 경우는 반가환 스칼라장에 대한 경로 적분 으로 나타낼 수 있다. 이 장을 파데예프-포포프 유령 이라고 한다.
양-밀스 이론 의 경우 게이지 조건을
F
(
A
)
=
∂ ∂ -->
⋅ ⋅ -->
A
{\displaystyle F(A)=\partial \cdot A}
라고 하자. 게이지 변환은
α α -->
(
A
)
=
A
+
∂ ∂ -->
α α -->
− − -->
i
[
A
,
α α -->
]
{\displaystyle \alpha (A)=A+\partial \alpha -i[A,\alpha ]}
이므로,
det
δ δ -->
F
(
α α -->
(
A
)
)
δ δ -->
α α -->
=
det
(
∂ ∂ -->
2
− − -->
i
∂ ∂ -->
⋅ ⋅ -->
[
A
,
⋅ ⋅ -->
]
)
{\displaystyle \det {\frac {\delta F(\alpha (A))}{\delta \alpha }}=\det(\partial ^{2}-i\partial \cdot [A,\cdot ])}
이다. 이 경우 반가환 딸림표현 복소 스칼라장
c
{\displaystyle c}
함수 행렬식 을
det
(
∂ ∂ -->
2
− − -->
i
∂ ∂ -->
⋅ ⋅ -->
[
A
,
⋅ ⋅ -->
]
)
=
∫ ∫ -->
D
c
D
c
¯ ¯ -->
exp
-->
(
i
∫ ∫ -->
d
4
x
c
¯ ¯ -->
(
∂ ∂ -->
2
c
− − -->
i
∂ ∂ -->
⋅ ⋅ -->
[
A
,
c
]
)
)
{\displaystyle \det(\partial ^{2}-i\partial \cdot [A,\cdot ])=\int Dc\,D{\bar {c}}\,\exp(i\int d^{4}x\,{\bar {c}}(\partial ^{2}c-i\partial \cdot [A,c]))}
로 쓸 수 있다. 따라서 작용에 다음과 같은 유령항
S
ghost
=
∫ ∫ -->
d
4
x
c
¯ ¯ -->
(
∂ ∂ -->
2
c
− − -->
i
∂ ∂ -->
⋅ ⋅ -->
[
A
,
c
]
)
{\displaystyle S_{\text{ghost}}=\int d^{4}x\,{\bar {c}}(\partial ^{2}c-i\partial \cdot [A,c])}
이 더해진다.
류드비크 파데예프 와 빅토르 니콜라예비치 포포프(러시아어 : Ви́ктор Никола́евич Попо́в )가 1967년 도입하였다.[ 1]
![{\displaystyle Z={\frac {1}{\operatorname {vol} (G)}}\int DA\,\exp(iS[A])}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b370d551e06032f9d2e28b163253c8ad652a9f3)
![{\displaystyle Z={\frac {1}{\operatorname {vol} (G)}}\int DA\,\exp(iS[A])\int _{G}d\alpha \,\delta (F(A))\det(\delta F(\alpha (A))/\delta \alpha )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83885159a055796942f1ee48c2de594cceb41e65)
![{\displaystyle S[A]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/170b7b80abe41f5d774e81a55ab08ef42af44bb4)
![{\displaystyle =\int DA\,\exp(iS[A])\,\delta (F(A))\det(\delta F(\alpha (A))/\delta \alpha )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f420e9d0c2b42497081ebf9a250b53d28708ee13)
![{\displaystyle \alpha (A)=A+\partial \alpha -i[A,\alpha ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/218b6e5da194cfb1d16cc635ad8bf4895b618eaa)
![{\displaystyle \det {\frac {\delta F(\alpha (A))}{\delta \alpha }}=\det(\partial ^{2}-i\partial \cdot [A,\cdot ])}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c4a2602a7c968252050879f8c75d97ff724eab09)
![{\displaystyle \det(\partial ^{2}-i\partial \cdot [A,\cdot ])=\int Dc\,D{\bar {c}}\,\exp(i\int d^{4}x\,{\bar {c}}(\partial ^{2}c-i\partial \cdot [A,c]))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b1fb13c6b2e030b595be605f1cc83acc0523a4e5)
![{\displaystyle S_{\text{ghost}}=\int d^{4}x\,{\bar {c}}(\partial ^{2}c-i\partial \cdot [A,c])}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee2d65a111708159f42fdef5ef8ac990819a4c63)