타원 곡면

비슷한 이름의 타원면에 관해서는 해당 문서를 참고하십시오.

대수기하학에서 타원 곡면(橢圓曲面, 영어: elliptic surface)은 거의 모든 곳에서 타원 곡선을 올로 하는 올다발이 주어진 곡면이다.

정의

타원 곡면은 타원 다발(elliptic fibration)이 주어진 곡면이다. 여기서 타원 다발이란 타원 곡면에서 대수 곡선으로 가는, 고유(영어: proper) 연결(영어: connected) 매끄러운 사상에 대해 그곳의 거의 모든 올이 타원곡선인 올다발이다. 타원 곡선이 아닌 올은 특이올(singular fiber)이라고 한다.

특성

대수 곡면의 엔리퀘스-고다이라 분류 가운데, 타원 곡면은 상당히 중요한 종류이다. 이는 대수 곡면의 중요한 예로서, 복소다양체론과 4차원 매끄러운 다양체 이론에서 상대적으로 잘 이해되는 분류이다. 이는 대수적 수체 위의 타원곡선과 비슷하여, 여기에서 많은 성질을 유추할 수 있다.

예

특이올의 분류

특이올(영어: singular fiber)의 종류는 유한하다. 이들은 유리 곡선(rational curves)의 합집합이며, 특이점을 갖거나 0이 아닌 중첩수(multiplicities)를 갖는다 (따라서 해당하는 다발은 비축소 스킴이다). 타원 곡면의 특이올의 분류는 고다이라 구니히코[1][2]와 앙드레 네롱[3] 이 발견하였다. 특이올의 구조는 존 테이트의 알고리즘을 사용하여 계산할 수 있다.

다음은 가능한 최소(minimal) 특이올의 목록이다. 여기서 "최소 특이올"이란 대략 "최소 곡선을 갖지 않는"이라는 뜻이다. 이 목록은 다음과 같다. 여기서 나열된 성질은 다음과 같다.

고다이라 부호 네롱 부호 기약 성분수 교차 행렬
I0 A 1 (elliptic) 0
I1 B1 1 (with double point) 0
Iv (v≥2) Bv v (v distinct intersection points) affine Av-1
mIv (v≥0, m≥2) Iv with multiplicity m
II C1 1 (with cusp) 0
III C2 2 (meet at one point of order 2) affine A1
IV C3 3 (all meet in 1 point) affine A2
I0* C4 5 affine D4
Iv* (v>0) C5,v 5+v affine D4+v
IV* C6 7 affine E6
III* C7 8 affine E7
II* C8 9 affine E8

이를 구하는 방법은 다음과 같다. 기하학적으로, 다발의 원의 교차 행렬은 음의 반정부호(영어: negative semidefinite)여야 하며, 연결되고, 대칭이며, 대각선에는 이 없어야 한다(최소성으로부터). 그러한 행렬은 영행렬이거나 A·D·E형 딘킨 도표의 카르탕 행렬이어야 한다.

교차 형렬은 특이올의 종류를 결정하는데, 단 다음과 같은 세 예외가 있다.

  • 만약 교차 행렬이 영행렬이면 특이올은 타원 곡선이거나 (I0), 이중점이 있거나(type I1), 커스프(cusp)(type II)이다.
  • 만약 교차 행렬이 아핀 A1이면, 2개의 원이 다중치 2이다. 이들은 차수가 1인 두 점에서 만나거나 (type I2), 차수가 2인 한 점에서 만난다(type III).
  • 만약 교차 행렬이 아핀 A2이면, 3개의 원이 2점끼리 만난다. 이들은 3개의 서로 다른 점이거나 (type I3), 모두가 한 점에서 만난다 (type IV).

이 목록이 모든 비중복(non-multiple) 특이올 전부이다. 중복(multiple) 특이올은 단일 연결이 아닌 다발에만 존재하며, 이는 Iv형 다발이다.

각주

  1. ↑ Kodaira, Kunihiko (1964). “On the structure of compact complex analytic surfaces I”. 《American Journal of Mathematics》 (영어) 86: 751–798. Zbl 0137.17501. 
  2. ↑ Kodaira, Kunihiko (1966). “On the structure of compact complex analytic surfaces II”. 《American Journal of Mathematics》 (영어) 88: 682–721. Zbl 0193.37701. 
  3. ↑ Néron, André (1964). “Modeles minimaux des variétés abeliennes sur les corps locaux et globaux”. 《Publications mathématiques de l’IHÉS》 (프랑스어) 21: 5–128. MR 0179172. Zbl 0132.41403. 
  • Barth, Wolf P.; Klaus Hulek, Chris A.M. Peters, Antonius Van de Ven. 《Compact complex surfaces》. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (영어) 4 2판. Berlin: Springer. ISBN 3-540-00832-2. Zbl 1036.14016. 

같이 보기

외부 링크