위상수학에서 올다발(미국 영어: fiber bundle, 영국 영어: fibre bundle)은 국소적으로 두 공간의 곱집합처럼 보이는 위상 공간이다. 전체적(globally)으로는 위상적으로 단순한 곱집합과 위상동형이 아니라 더 복잡한 위상구조를 가지고 있을 수 있다. 다발 이론은 대수적 불변량을 통해 주어진 올다발이 어떤 위상구조를 가지는지 다룬다.

${\displaystyle E,B,F}$가 세 개의 위상 공간이라고 하자. 대략, ${\displaystyle E}$의 모든 점 근처의 근방이 ${\displaystyle B\times F}$의 꼴이라면 ${\displaystyle E}$를 밑공간(base space) ${\displaystyle B}$ 위에 놓인, 올공간(fiber space)이 ${\displaystyle F}$인 올다발이라고 한다.

엄밀히 말해, 올다발 ${\displaystyle (E,B,\pi ,F)}$는 다음과 같은 데이터로 이루어져 있다. ${\displaystyle E}$, ${\displaystyle B}$, ${\displaystyle F}$는 위상 공간이며,

${\displaystyle \pi \colon E\to B}$

는 올다발에서 밑공간으로 사영하는 연속적인 전사 함수다. 이 데이터가 올다발을 이루기 위해서는 임의의 점 ${\displaystyle x\in E}$에 대하여, ${\displaystyle \pi ^{-1}(U)}$가 ${\displaystyle U\times F}$와 위상동형인 근방 ${\displaystyle U\ni \pi (x)}$가 존재하여야 한다. 뿐만 아니라, ${\displaystyle \pi \colon \pi ^{-1}(U)\to U}$가 사영 함수 ${\displaystyle U\times F\to U}$와 (위상 동형 아래) 같아야 한다.

같은 밑공간 위의 두 올다발

${\displaystyle E{\overset {\pi _{E}}{\twoheadrightarrow }}B{\overset {\pi _{F}}{\twoheadleftarrow }}F}$

이 주어졌다고 하자. ${\displaystyle E}$에서 ${\displaystyle F}$로 가는 다발 사상(-寫像, 영어: bundle map) ${\displaystyle f\colon E\to F}$는

${\displaystyle \pi _{E}=f\circ \pi _{F}}$

를 만족시키는 연속 함수이다. 즉, 다음 그림이 가환하여야 한다.

${\displaystyle {\begin{matrix}E&{\overset {\pi _{E}}{\twoheadrightarrow }}&B\\{\scriptstyle f}\downarrow &&\downarrow \scriptstyle \operatorname {id} _{B}\\F&{\underset {\pi _{F}}{\twoheadrightarrow }}&B\end{matrix}}}$

올다발의 가장 간단한 예는 ${\displaystyle E=B\times F}$인 경우다. 이 때 ${\displaystyle \pi \colon (b,f)\mapsto b}$는 단순히 사영 함수다. 이러한 경우를 자명한 다발(trivial bundle)이라고 한다.

 이 부분의 본문은 벡터 다발입니다.

올다발의 대표적인 예는 벡터 다발이다. 이는 올다발의 올공간이 벡터 공간인 경우로, 리만 다양체의 접다발과 공변접다발이 대표적인 예이다. 1차원 벡터 다발은 선다발이라고 한다.

 이 부분의 본문은 주다발입니다.

주다발은 올공간이 군을 이루는 경우로, 미분위상수학과 미분기하학에서 중요한 역할을 하며 또한 게이지 이론에 핵심적인 개념이다.

 이 부분의 본문은 피복 공간입니다.

올공간이 ${\displaystyle n}$개의 점으로 구성된 이산 공간인 올공간은 ${\displaystyle n}$겹 피복 공간이라고 한다.

이 밖에도, 올이 다른 임의의 위상 공간을 이룰 수 있다. 예를 들어, 호프 다발은 그 올이 구인 경우다.

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• “Fiber bundles in physics”. 《nLab》 (영어). 
• “Bundle”. 《nLab》 (영어). 
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• 올뭉치
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