위상수학에서 피복 공간(被覆空間, 영어: covering space) 또는 덮개 공간은 어떤 공간을, 여러 겹의 "피복"을 이루며 둘러싸는 위상 공간이다.

피복 공간은 올이 이산 공간인 올다발이다. 구체적으로, 위상 공간 ${\displaystyle B}$의 피복 공간 ${\displaystyle (E,F,\pi )}$는 다음과 같은 데이터로 구성된다.^[1]:336

• ${\displaystyle E}$는 위상 공간이다.
• ${\displaystyle \pi \colon E\to B}$는 전사 연속 함수이다.
• ${\displaystyle F}$는 집합이다. 여기에 이산 위상을 부여하여 이산 공간으로 생각할 수 있다.

이 데이터가 피복 공간을 이루려면, 임의의 ${\displaystyle b\in B}$에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 열린 근방 ${\displaystyle U\ni b}$가 존재하여야 한다.

• ${\displaystyle {\tilde {U}}=\pi ^{-1}(U)}$에 부분 공간 위상을 주고, ${\displaystyle F}$에 이산 위상을 주면, 위상 동형 ${\displaystyle \iota \colon U\times F\to {\tilde {U}}}$가 존재하며, 또한 모든 ${\displaystyle f\in F}$에 대하여 ${\displaystyle \pi |_{\iota (f\times U)}\colon \iota (f\times U)\to U}$ 역시 위상 동형이다.

이 경우, ${\displaystyle \pi }$를 피복 함수(被覆函數, 영어: covering function)라고 하며, ${\displaystyle F}$를 피복의 올(영어: fiber)이라고 한다. 위 조건을 만족시키는 근방을 피복 근방(被覆近傍, 영어: covering neighborhood)이라고 한다.

올이 ${\displaystyle F}$인 피복 공간을 ${\displaystyle |F|}$겹 피복 공간(영어: ${\displaystyle |F|}$-fold covering space)이라고 한다. 여기서 ${\displaystyle |F|}$는 집합의 크기를 뜻한다.

만약 ${\displaystyle E}$가 단일 연결 공간이라면, ${\displaystyle (E,F,\pi )}$를 범피복 공간(凡被覆空間, 영어: universal covering space)이라 한다.

피복 공간의 사상(영어: morphism)은 올다발 사상과 같다. 즉, ${\displaystyle B}$ 위의 두 피복 공간 ${\displaystyle (F,E,\pi )}$ 및 ${\displaystyle (F',E',\pi ')}$ 사이의 사상은 다음 그림을 가환하게 만드는 연속 함수 ${\displaystyle f\colon E\to E'}$이다.

${\displaystyle {\begin{matrix}E&{\xrightarrow {f}}&E'\\{\scriptstyle \pi }\downarrow &&\downarrow \scriptstyle \pi '\\B&{\xrightarrow[{\operatorname {id} }]{}}&B\end{matrix}}}$

이에 따라, 주어진 위상 공간 ${\displaystyle B}$ 위의 피복 공간들은 범주 ${\displaystyle \operatorname {TopCov} (B)}$를 이룬다. 피복 공간의 자기 동형은 피복 변환(被覆變換, 영어: deck transformation)이라고 한다. 이들이 이루는 군은 피복 변환군(被覆變換群, 영어: deck transformation group)이라고 한다.

피복 공간 ${\displaystyle (F,E,B,\pi )}$의 사영 함수 ${\displaystyle \pi }$는 항상 열린 함수이다.

다양체의 가산 피복 공간은 역시 피복 공간이다. 리 군의 범피복 공간은 리 군을 이루며, 이를 범피복군(凡被覆群, 영어: universal covering group)이라고 한다.

점을 가진 공간 ${\displaystyle (B,\bullet _{B})}$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 다음과 같은 함자가 존재한다.

${\displaystyle F\colon \operatorname {Cov} (B)\to \operatorname {Set} _{\pi _{1}(B,\bullet _{B})}}$

여기서 ${\displaystyle \operatorname {Cov} (B)}$는 ${\displaystyle B}$의 피복 공간들의 범주이며, ${\displaystyle \operatorname {Set} _{\pi _{1}(B,\bullet _{B})}}$는 기본군 ${\displaystyle \pi _{1}(B,\bullet _{B})}$의 작용을 갖춘 집합의 범주이다. 이 함자는 구체적으로 다음과 같다.

${\displaystyle F\colon (\pi \colon E\twoheadrightarrow B)\mapsto \pi ^{-1}(\bullet _{B})}$

기본군 ${\displaystyle \pi _{1}(B,\bullet _{B})}$의 ${\displaystyle \pi ^{-1}(\bullet _{B})}$ 위의 작용은 호모토피 올림 성질에 의하여 주어진다.

또한, 만약 ${\displaystyle B}$가 연결 국소 경로 연결 반국소 단일 연결 공간이라면 이는 범주의 동치를 이룬다.

연결 공간이 아닐 수 있는 경우, 범주의 동치를 얻으려면 기본군 대신 기본 준군을 사용하여야 한다.

두 준군 ${\displaystyle E}$, ${\displaystyle B}$ 사이의 피복 사상 ${\displaystyle \pi \colon E\to B}$을, 다음과 같은 호모토피 올림 성질(영어: homotopy lifting property)을 만족시키는 준군 사상으로 정의하자.

• 임의의 ${\displaystyle E}$의 대상 ${\displaystyle {\tilde {x}}\in \operatorname {Ob} (E)}$ 및 ${\displaystyle B}$의 사상 ${\displaystyle g\colon p(x)\to y}$에 대하여, ${\displaystyle \pi ({\tilde {y}})=y}$이며 ${\displaystyle \pi ({\tilde {g}})=g}$인 대상 ${\displaystyle {\tilde {e}}\in \operatorname {Ob} (E)}$ 및 사상 ${\displaystyle {\tilde {g}}\colon {\tilde {x}}\to {\tilde {y}}}$가 유일하게 존재한다.

${\displaystyle {\begin{matrix}{\tilde {x}}{\xrightarrow {\exists !{\tilde {g}}}}\exists !{\tilde {y}}\\\Downarrow \pi \\\pi ({\tilde {x}}){\xrightarrow {g}}y\end{matrix}}}$

${\displaystyle B}$가 국소 경로 연결 반국소 단일 연결 공간이라고 하자. 그렇다면, 다음과 같은 범주의 동치가 존재한다.^{[2]:388, 10.6.1}

${\displaystyle \operatorname {Cov} (B)\simeq \operatorname {GpdCov} (\Pi _{1}B)}$

여기서

• ${\displaystyle \Pi _{1}B}$는 ${\displaystyle B}$의 기본 준군이다.
• ${\displaystyle \operatorname {GpdCov} (\Pi _{1}B)}$는 ${\displaystyle \Pi _{1}B}$ 위의 준군 피복 사상들의 범주이다.

특히, 다음이 성립한다.

• ${\displaystyle B}$ 위의 피복 공간(들의 동치류)들은 기본군 ${\displaystyle \Pi _{1}(B)}$의 부분군들의 켤레 동치류들과 일대일 대응한다.
• ${\displaystyle B}$의 범피복 공간이 존재하며, (동치 아래) 유일하다.

피복 공간의 개념은 베른하르트 리만이 복소함수의 모노드로미를 리만 곡면으로 다루면서 발생하였다.^[3]:294 이에 대하여 장 디외도네는 다음과 같이 적었다.

이후 앙리 푸앵카레는 1883년에 리만 곡면의 범피복 공간에 대하여 서술하였다.^[3]:295

1932년에 헤르베르트 자이페르트는 올다발의 개념을 공리적으로 정의하면서, 이에 대한 특수한 경우로 "피복 공간"(독일어: Überlagerungsraum)의 개념을 정의하였다.^{[4]:194, §9} 여기서 자이페르트는 피복 변환을 독일어: Deckbewegung 데크베베궁^[*] 또는 독일어: Decktransformation 데크트란스포르마치온^[*]이라고 표현하였다.^{[4]:236, Anhang 4} 이는 독일어: Decke 데케^[*] (피복) + 독일어: Bewegung 베베궁^[*] (운동) 또는 독일어: Transformation 트란스포르마치온^[*] (변환)에서 유래하였다. 이후 이를 영어로 번역하는 과정에서, 독일어 용어가 영어: deck transformation으로 오역되게 되었다.

• “Covering”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Covering space”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Deck transformation”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• “Covering space”. 《nLab》 (영어). 
• “Universal covering space”. 《nLab》 (영어). 
• “Etymology of the name “deck transformation”” (영어). StackExchange. 
• “Covering spaces and the fundamental groupoid” (영어). StackExchange. 

• 기본군
• 모노드로미