수학에서, 카르탕 행렬(Cartan行列, 영어: Cartan matrix)은 특정 조건을 만족시키는 정수 정사각 행렬이다.

정수 성분 정사각 행렬

${\displaystyle A\in \operatorname {Mat} (n;\mathbb {Z} )}$

가 다음 조건을 만족시킨다면, 카르탕 행렬이라고 한다.

• 모든 ${\displaystyle i\in \{1,2,\dots ,n\}}$에 대하여, ${\displaystyle A_{ii}=2}$
• 모든 ${\displaystyle i,j\in \{1,2,\dots ,n\}}$에 대하여, 만약 ${\displaystyle i\neq j}$라면 ${\displaystyle A_{ij}\leq 0}$
• 모든 ${\displaystyle i,j\in \{1,2,\dots ,n\}}$에 대하여, 만약 ${\displaystyle A_{ij}=0}$이라면 ${\displaystyle A_{ji}=0}$

카르탕 행렬 ${\displaystyle A\in \operatorname {Mat} (n;\mathbb {Z} )}$가 주어졌을 때, 이에 대응하는 딘킨 도표(영어: Dynkin diagram)는 다음과 같은 데이터로 주어진다.

• 그래프 ${\displaystyle \Gamma }$

  ${\displaystyle \operatorname {V} (\Gamma )=\{1,\dotsc ,n\}}$

  ${\displaystyle \operatorname {E} (\Gamma )=\{\{i,j\}\colon A_{ij}<0\}}$

• 각 변 ${\displaystyle \{i,j\}\in \operatorname {E} (\Gamma )}$에 대하여, 양의 정수 순서쌍 ${\displaystyle (|A_{ij}|,|A_{ji}|)}$

이 데이터로부터 카르탕 행렬을 재구성할 수 있다.

${\displaystyle n\times n}$ 정사각 행렬 ${\displaystyle M\in \operatorname {Mat} (n;R)}$에 대하여, 만약

${\displaystyle M_{ij}=0\;\forall i\in I,\;j\in \{1,\dotsc ,n\}\setminus J}$

인 ${\displaystyle \varnothing \neq I\subsetneq \{1,\dotsc ,n\}}$가 존재하지 않는다면, ${\displaystyle M}$을 분해 불가능 행렬(영어: indecomposable matrix)이라고 하자. 모든 행렬은 분해 불가능 행렬들의 직합으로 표현된다.

분해 불가능 카르탕 행렬 ${\displaystyle A}$ 가운데, 다음과 같이 대각 행렬과 대칭 행렬의 곱으로 표현될 수 있는 것을 대칭화 가능 카르탕 행렬(영어: symmetric Cartan matrix)이라고 한다.

${\displaystyle A=DS}$, ${\displaystyle D,S\in \operatorname {Mat} (n;\mathbb {R} )}$

${\displaystyle S_{ij}=S_{ji}}$

${\displaystyle D=\operatorname {diag} (D_{11},\dotsc ,D_{nn})}$

이 경우, 항상 ${\displaystyle D_{ij}}$의 대각선 성분을 양의 정수로, ${\displaystyle S_{ij}}$의 성분을 유리수로 잡을 수 있다.

대칭화 가능 카르탕 행렬은 ${\displaystyle n}$개의 실수 고윳값을 가진다. 대칭화 가능 카르탕 행렬 ${\displaystyle A}$들은 그 고윳값에 따라 다음과 같이 분류된다.

• 만약 ${\displaystyle A}$의 고윳값이 모두 양수일 경우, 카르탕 행렬을 유한형 카르탕 행렬이라고 한다. 이 경우, 카르탕 행렬은 복소수 단순 리 대수와 일대일 대응한다.
• 만약 ${\displaystyle A}$의 고윳값이 모두 양수 또는 0이며, 0을 하나 이상 포함할 경우, 카르탕 행렬을 아핀 카르탕 행렬이라고 한다. 이 경우, 카르탕 행렬은 아핀 리 대수와 일대일 대응한다.
• 만약 ${\displaystyle A}$의 고윳값이 음수를 포함한다면, 카르탕 행렬을 아핀 카르탕 행렬이라고 한다. 이 경우, 카르탕 행렬은 아핀 리 대수와 일대일 대응한다.

1×1 카르탕 행렬은

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}2\end{pmatrix}}}$

밖에 없다.

2×2 카르탕 행렬들은 다음과 같다.

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}2&a\\b&2\end{pmatrix}}}$

2×2의 경우, 만약 ${\displaystyle a,b\neq 0}$이라면 항상

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}a&0\\0&b\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}2/a&1\\1&2/b\end{pmatrix}}}$

으로 놓을 수 있어, 항상 대칭 카르탕 행렬이다. ${\displaystyle A}$의 고윳값은

${\displaystyle \lambda _{\pm }=2\pm {\sqrt {ab}}}$

이다.

이 경우,

• 유한형 카르탕 행렬은 (${\displaystyle a\leq b}$라고 놓으면) ${\displaystyle (a,b)\in \{(0,0),(-1,-1),(-2,-1),(-3,-1)\}}$이다. 이들은 각각 반단순 리 대수 ${\displaystyle {\mathfrak {a}}_{1}\oplus {\mathfrak {a}}_{1}}$, ${\displaystyle {\mathfrak {a}}_{2}}$, ${\displaystyle {\mathfrak {b}}_{2}={\mathfrak {c}}_{2}}$, ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{2}}$에 대응된다.
• 아핀 카르탕 행렬은 (${\displaystyle a\leq b}$라고 놓으면) ${\displaystyle (a,b)\in \{(-4,-1),(-2,-2)\}}$이다. 이들은 각각 아핀 리 대수 ${\displaystyle {\mathfrak {a}}_{1}^{(1)}}$ 및 ${\displaystyle {\mathfrak {a}}_{2}^{(2)}}$에 해당한다.

엘리 카르탕의 이름을 땄으나, 이름과 달리 빌헬름 킬링이 최초로 사용하였다.

• 기본 표현
• 킬링 형식

• “Cartan matrix”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Rowland, Todd. “Cartan matrix”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.