Theorema Egregium （ラテン語 。音訳：テオーレーマ・エーグレギウム[ 注 1] [ 注 2] カール・フリードリヒ・ガウス により証明された定理 で、曲面 のガウス曲率 が曲面 の内在的な量（リーマン計量 ）のみで書ける事を主張する。
日本語では
などと訳される事もあるが、egregiumには「驚異の」という意味はない[ 注 2] [ 12] [ 13] [ 14]
「Theorema Egregium」という語はこの定理を示したガウスの原論文から来ている：
Formula itaque art. praec, sponte perducit ad
egregium
THEOREMA . Si superficies curva in quamcunque aliam superficiem explicatur, mensura curuaturae in singulis punctis inuariata manet. — Carl Friedrich Gauss、Disquisitiones generales circa superficies curvas[ 15]
鞍点 M を3次元ユークリッド空間
R
3
{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}
P をM 上の点とする。点P においてM の「最も曲がっている方向」の曲がり具合と「最も曲がっていない方向」の曲がり具合の積を点P におけるM のガウス曲率 P が鞍点 になっている場合は、逆方向の曲がりをマイナスの曲がり具合と解釈する。よってこの場合の「最も曲がっていない方向」とは「逆向きに最も曲がっている方向」である）。
R
3
{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}
M の曲がり具合を利用して定義されている為、
R
3
{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}
M がどのような形になっているかが一見重要に見える。
しかし実はガウス曲率はM の「外の空間」である
R
3
{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}
である。具体的にはガウス曲率はM の距離空間としての構造（厳密にはリーマン計量 ）のみから計算できる。
ヘリコイド（螺旋面）からカテノイド（懸垂面）に変形するアニメーション したがって、
R
3
{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}
M を変形しても、その変形がM の距離構造を変えない限り、ガウス曲率は変わらない。例えばカテノイド （英語版 ） ヘリコイド （英語版 ）
M の情報だけを用いて計算できる量をM に内在的な (英 : intrinsic )量であるという。Theorema Egregiumは、ガウス曲率がM の内在的な量である事を意味している。
Theorema Egregiumから得られる帰結として、平面上に地球の正確な歪みの無い地図 を描くことはできない。 Theorema Egregiumを使うと、地球 の地図を書くとき距離を歪ませない正確な地図は書けない事を示す事ができる [ 注 4] [ 注 5] R とすると1/R2 であり、平面のガウス曲率は0 である事が知られているので、これは矛盾である。
ガウスの曲面論 （英語版 ）
ベルンハルト・リーマン はTheorema Egregiumに着目する事により、「外の空間」なしのn 次元曲面、すなわちn 次元リーマン多様体 微分幾何学 の研究の嚆矢となった。
さらにアルベルト・アインシュタイン は、重力の座標変換則がリーマン多様体のそれとよく似ている事に着目し、宇宙をリーマン多様体の類似物（擬リーマン多様体 ）と見なすことで一般相対性理論 を確立した。
Theorema Egregiumは以下のように定式化できる：
定理 ―
R
3
{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}
M に対し、M のガウス曲率はM の第一基本形式 （およびその2階以下の偏微分）のみを用いて記述できる。
なお、第一基本形式は現代的な言い方では「リーマン計量 」と呼ばれる。
第一基本形式 を
I
=
E
d
u
2
+
2
F
d
u
d
v
+
G
d
v
2
.
{\displaystyle I=E\,du^{2}+2F\,du\,dv+G\,dv^{2}.\,}
とするとき、ガウス曲率K はブリオスキの公式 （英語版 ）
K
=
det
|
− − -->
1
2
E
v
v
+
F
u
v
− − -->
1
2
G
u
u
1
2
E
u
F
u
− − -->
1
2
E
v
F
v
− − -->
1
2
G
u
E
F
1
2
G
v
F
G
|
− − -->
det
|
0
1
2
E
v
1
2
G
u
1
2
E
v
E
F
1
2
G
u
F
G
|
(
E
G
− − -->
F
2
)
2
{\displaystyle K={\frac {\det {\begin{vmatrix}-{\frac {1}{2}}E_{vv}+F_{uv}-{\frac {1}{2}}G_{uu}&{\frac {1}{2}}E_{u}&F_{u}-{\frac {1}{2}}E_{v}\\F_{v}-{\frac {1}{2}}G_{u}&E&F\\{\frac {1}{2}}G_{v}&F&G\end{vmatrix}}-\det {\begin{vmatrix}0&{\frac {1}{2}}E_{v}&{\frac {1}{2}}G_{u}\\{\frac {1}{2}}E_{v}&E&F\\{\frac {1}{2}}G_{u}&F&G\end{vmatrix}}}{(EG-F^{2})^{2}}}}
により記述できる。ここでEu はE のu -偏微分を表す。
リーマン多様体 の言葉を使うと、Theorema Egregiumを以下のように再定式化できる。
M
⊂ ⊂ -->
R
3
{\displaystyle M\subset \mathbb {R} ^{3}}
R
3
{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}
C∞ 級部分多様体とし、M に
R
3
{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}
g を入れ、g が定めるレヴィ・チヴィタ接続 （共変微分）を∇ とし、リーマンの曲率テンソル R を
R
(
X
,
Y
)
Z
:=
∇ ∇ -->
X
∇ ∇ -->
Y
Z
− − -->
∇ ∇ -->
Y
∇ ∇ -->
X
Z
− − -->
∇ ∇ -->
[
X
,
Y
]
Z
{\displaystyle R(X,Y)Z:=\nabla _{X}\nabla _{Y}Z-\nabla _{Y}\nabla _{X}Z-\nabla _{[X,Y]}Z}
により定義する。
各点
P
∈ ∈ -->
M
{\displaystyle P\in M}
TP M のg に関する正規直交基底
e
1
,
e
2
{\displaystyle e_{1},e_{2}}
P におけるM の断面曲率 を
S
e
c
P
:=
g
(
e
1
,
R
(
e
1
,
e
2
)
e
2
)
{\displaystyle \mathrm {Sec} _{P}:=g(e_{1},R(e_{1},e_{2})e_{2})}
により定義する。断面曲率は
e
1
,
e
2
{\displaystyle e_{1},e_{2}}
[ 注 6]
このときTheorema Egregiumは以下のように再定式化できる：
定理 (Theorema Egregiumの再定式化) ―
R
3
{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}
M
⊂ ⊂ -->
R
3
{\displaystyle M\subset \mathbb {R} ^{3}}
P におけるガウス曲率は点P における断面曲率と一致する[ 18]
断面曲率はM に内在的な量（リーマン計量）のみから定義したので、断面曲率はM に内在的な量である。よって上記の定理はガウス曲率がM に内在的である事を示している。
M をリーマン多様体 M M がM 余次元1であれば 、第二基本形式 が実数値の双線形写像になり、第二基本形式の固有値・固有ベクトルとして主曲率
κ κ -->
1
,
… … -->
,
κ κ -->
m
{\displaystyle \kappa _{1},\ldots ,\kappa _{m}}
e
1
,
… … -->
,
e
m
{\displaystyle e_{1},\ldots ,e_{m}}
K
=
κ κ -->
1
⋯ ⋯ -->
κ κ -->
m
{\displaystyle K=\kappa _{1}\cdots \kappa _{m}}
このとき、以下が成立する：
系 (断面曲率と主曲率の関係 ― i ≠j i , j ∈{1 ,...,m [ 18]
S
e
c
(
e
i
,
e
j
)
=
S
e
c
¯ ¯ -->
(
e
i
,
e
j
)
+
κ κ -->
i
κ κ -->
j
{\displaystyle \mathrm {Sec} (e_{i},e_{j})={\overline {\mathrm {Sec} }}(e_{i},e_{j})+\kappa _{i}\kappa _{j}}
ここで
S
e
c
P
(
⋅ ⋅ -->
,
⋅ ⋅ -->
)
{\displaystyle \mathrm {Sec} _{P}(\cdot ,\cdot )}
S
e
c
¯ ¯ -->
P
(
⋅ ⋅ -->
,
⋅ ⋅ -->
)
{\displaystyle {\overline {\mathrm {Sec} }}_{P}(\cdot ,\cdot )}
M M
M c の定曲率空間であれば
S
e
c
(
e
i
,
e
j
)
=
c
+
κ κ -->
i
κ κ -->
j
{\displaystyle \mathrm {Sec} (e_{i},e_{j})=c+\kappa _{i}\kappa _{j}}
であり、
S
e
c
P
(
e
i
,
e
j
)
{\displaystyle \mathrm {Sec} _{P}(e_{i},e_{j})}
M に内在的な量であることも言える：
定理 (Theorema Egregiumの一般化 ―
M
¯ ¯ -->
c
{\displaystyle {\bar {M}}_{c}}
c の定曲率空間とし、
M
⊂ ⊂ -->
M
¯ ¯ -->
c
{\displaystyle M\subset {\bar {M}}_{c}}
1 の部分多様体とし、さらにP をM の点とする。さらに線形写像
ρ ρ -->
:
∧ ∧ -->
2
T
M
P
→ → -->
∧ ∧ -->
2
T
M
P
{\displaystyle \rho ~:~\wedge ^{2}TM_{P}\to \wedge ^{2}TM_{P}}
g
(
ρ ρ -->
(
X
∧ ∧ -->
Y
)
,
Z
∧ ∧ -->
W
)
=
g
(
R
(
X
,
Y
)
W
,
Z
)
{\displaystyle g(\rho (X\wedge Y),Z\wedge W)=g(R(X,Y)W,Z)}
により定義する。
このとき、ρ の固有値の集合は
{
κ κ -->
i
κ κ -->
j
+
c
∣ ∣ -->
i
,
j
∈ ∈ -->
1
,
… … -->
,
m
,
s.t.
i
≠ ≠ -->
j
}
{\displaystyle \{\kappa _{i}\kappa _{j}+c\mid i,j\in 1,\ldots ,m,{\text{ s.t. }}i\neq j\}}
に一致する[ 19] m はM の次元であり、
κ κ -->
1
,
… … -->
,
κ κ -->
m
{\displaystyle \kappa _{1},\ldots ,\kappa _{m}}
P における主曲率である。
また
κ κ -->
1
,
… … -->
,
κ κ -->
m
{\displaystyle \kappa _{1},\ldots ,\kappa _{m}}
e
1
,
… … -->
,
e
m
{\displaystyle e_{1},\ldots ,e_{m}}
κ κ -->
i
κ κ -->
j
+
c
{\displaystyle \kappa _{i}\kappa _{j}+c}
e
i
∧ ∧ -->
e
j
{\displaystyle e_{i}\wedge e_{j}}
よって特に以下が従う：
系 (偶数次平均曲率の内在性、偶数次元のガウス曲率の内在性 ― 記号を前述の定理 と同様に取るとき
M
¯ ¯ -->
c
{\displaystyle {\bar {M}}_{c}}
M のガウス曲率K はM の次元m が偶数ならM に内在的な量である[ 19] [ 注 7]
一方、奇数次元のガウス曲率はM ない が、以下が成り立つことが知られている：
系 (符号を除いたガウス曲率の内在性) ― 記号を前述の定理 と同様に取る。M の次元m が奇数であっても、
M
¯ ¯ -->
c
{\displaystyle {\bar {M}}_{c}}
M のガウス曲率K は符号を除いて内在的な量である[ 19] [ 注 8] [ 注 7]
以上の事から、m
M
¯ ¯ -->
c
{\displaystyle {\bar {M}}_{c}}
M
M
¯ ¯ -->
c
{\displaystyle {\bar {M}}_{c}}
オイラー形式 がガウス曲率と一致する。
このオイラー形式はガウス・ボンネの定理 の高次元化にも役に立ち、オイラー形式を積分したものがオイラー数に一致する、という形で高次元のガウス・ボンネの定理を記述できる。
詳細は部分リーマン多様体の接続と曲率 の項目を参照されたい。
^ 「¯ 」で長母音 を「˘ 」で短母音 を表すと「thĕōrēma ēgrĕgĭum」である[ 1] [ 2] [ 3] 古典ギリシア語 と同様帯気音 [tʰ] [t] [ 4] [ 3] 強勢アクセント なのか高低アクセント なのかは未解決であるが強勢アクセントだったという説が有力である[ 5]
^ a b c ラテン語で「Theorema」は「 1. 議論、問題、2. 定理、3. 意見、見解、4. 見ること、観察」という意味のギリシャ語源の中性名詞であり[ 6] [ 6]
^ より直訳に近いのは、「前項の公式はそれ自身が卓越した定理を導く」であるが、「定理」の部分が定理の表題を兼ねているので、この訳文にした。
^ ここでいうのは地図上の任意の二点間 の距離を保つ地図が書けない、という事である。与えられた一点からの距離を保つ地図であれば実現可能で正距方位図法 （リーマン多様体 の言葉で言えば正規座標 （英語版 ）
^ ガウス曲率は断面曲率に一致する（後述）ので、平面、および球面の断面曲率を直接計算する事でもこの事実を証明でき、この場合は証明にTheorema Egregiumを必要としない。ただし、ガウス曲率が断面曲率に等しいという知見自身はTheorema Egregiumにより得られたものである。
^ 一般のm 次元リーマン多様体の場合は、正規直交基底
e
1
,
e
2
{\displaystyle e_{1},e_{2}}
e
1
′
,
e
2
′
{\displaystyle e'_{1},e'_{2}}
2 次元のリーマン多様体M を考えているので、この条件は常に満たされる。
^ a b 本定理でいる「内在的」の意味に注意する必要がある。実際、M の内在的な量から直接計算される
c
+
κ κ -->
i
κ κ -->
j
{\displaystyle c+\kappa _{i}\kappa _{j}}
κ κ -->
i
κ κ -->
j
{\displaystyle \kappa _{i}\kappa _{j}}
c を知らねばならず、積
κ κ -->
i
κ κ -->
j
{\displaystyle \kappa _{i}\kappa _{j}}
c に依存して決まる
κ κ -->
i
κ κ -->
j
{\displaystyle \kappa _{i}\kappa _{j}}
c に依存して決まる量である。
本定理で言う「内在的」はc をfixしたとき、任意に埋め込み写像
f
:
M
→ → -->
M
¯ ¯ -->
c
{\displaystyle f~:~M\to {\bar {M}}_{c}}
f から定まる主曲率の積の集合
{
κ κ -->
i
f
κ κ -->
j
f
}
{\displaystyle \{\kappa _{i}{}^{f}\kappa _{j}{}^{f}\}}
f が
M
¯ ¯ -->
c
{\displaystyle {\bar {M}}_{c}}
f に依存しない、という意味である。
^ すなわちガウス曲率の自乗K2 がM に内在的な量である。
ラテン語：
英訳
ウェブ
書籍
Carl Friedrich Gauss (Author), Adam Hiltebeitel (Translator), James Morehead (Translator), General Investigations Of Curved Surfaces Unabridged (Paperback), Wexford College Press, 2007, ISBN 978-1-929148-77-6 .
Carl Friedrich Gauss (Author), Peter Pesic (Editor), General Investigations of Curved Surfaces (Paperback), Dover Publications, 2005, ISBN 978-0-486-44645-5 .
![{\displaystyle R(X,Y)Z:=\nabla _{X}\nabla _{Y}Z-\nabla _{Y}\nabla _{X}Z-\nabla _{[X,Y]}Z}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/13a9864f121ea86176fecf3e351070a9eb7a4969)
