正多角形の一覧。（左上から）正三角形 、正四角形（正方形 ）、正五角形 、正六角形 、正七角形 、… 正多角形 （せいたかっけい、せいたかくけい、英 : regular poly gon ）とは、全ての辺 の長さが等しく、全ての内角 の大きさが等しい多角形 である。なお、この記事では断りのない限り n は3以上の自然数 とする。
正多角形は線対称 であり、正n 角形の対称軸は n 本である。また、正偶数角形は点対称 でもある。
頂点の数が同じ正多角形同士は全て互いに相似 である。
緑色の線分は、正n 角形を合同な二等辺三角形にn 等分したときの高さ 正多角形の全ての頂点 は同一円周上にある。つまり正多角形は円に内接 する。角の数が最小であるのは正三角形 である。三角形 では、辺の長さが全て等しいか、または角の大きさが全て等しい三角形は正三角形になる。しかし他の多角形では辺の長さが全て等しく、かつ角の大きさも全て等しくなければ正多角形とはならない。例えば四角形 では辺の長さがすべて等しいものは菱形 、角の大きさがすべて等しいものは長方形 であり、正四角形（正方形 ）とは限らない。菱形かつ長方形である四角形が正方形となる。
正n 角形の一つの内角の大きさを度数法 で表すと
180
∘ ∘ -->
(
n
− − -->
2
)
n
{\displaystyle {\frac {180^{\circ }(n-2)}{n}}}
である。どの内角も180°より小さいので、全ての正多角形は凸多角形 である。
正n 角形の面積 は一辺を a とすると
n
a
2
4
cot
-->
π π -->
n
{\displaystyle {na^{2} \over 4}\cot {\pi \over {n}}}
と表される。この式は、正n 角形の外心と各頂点を線分で結ぶと、合同な n 個の二等辺三角形に分割できることで導出される。（二等辺三角形の高さが
a
2
cot
-->
π π -->
n
{\displaystyle {a \over 2}\cot {\pi \over {n}}}
多角形 F に対して、頂点が F の辺上にあり、なおかつ F の内部にあるとき、多角形は多角形 F に内接するという。また、F の頂点が辺上にあり、Fの外部にある多角形は多角形 F に外接するという。
（例）：正六角形ABCDEFにおいて、辺AB,CD,EFの中点を頂点とする△PQRは正六角形ABCDEFに内接する図形である。 以上のことを踏まえた上で、一辺の長さが a である正n 角形 F において、F に内接する正n 角形で、面積が最小であるものの面積 s 、F に外接する正n 角形で、面積が最大であるものの面積 S
s
=
n
a
2
4
cot
-->
π π -->
n
cos
2
-->
π π -->
n
{\displaystyle s={na^{2} \over 4}\cot {\pi \over {n}}\cos ^{2}{\pi \over {n}}}
S
=
n
a
2
2
sin
-->
2
π π -->
n
{\displaystyle S={na^{2} \over 2\sin {2\pi \over {n}}}}
と表される[疑問点 – ノート 。
正多角形の重心 は、外心 および内心 に一致する。正偶数角形に限れば、最長の対角線 同士の交点 と一致する。
半径が一定の円に内接する正n 角形は、n → ∞円 に近づくので、十分大きい n について「周長 ÷外接円 の直径 」を計算すると円周率 の近似値 が得られる。これは、初期の円周率の求め方で、円周率の歴史 上の始まりに位置する。これはいわば「正∞角形は円である 」ということである。
正多角形は線対称 である。その軸の本数は頂点の個数に等しい。
正2n 角形（n は2以上の自然数）の n 組の対辺はそれぞれ平行である。さらに点対称 でもある。
正奇数角形においては、どの2辺も平行でない。
正n 角形の内角 は、次のようにして求めることができる。
n 角形の内角の和 は
180°(n − 2) であり、正多角形の内角は等しいから、1つの内角は
180
∘ ∘ -->
(
n
− − -->
2
)
n
{\displaystyle {\frac {180^{\circ }(n-2)}{n}}}
となる。
多角形の外角の和は360°であることを用いると、正n 角形の外角は
360
∘ ∘ -->
n
{\displaystyle {\frac {360^{\circ }}{n}}}
であるから、それに対する内角は
180
∘ ∘ -->
− − -->
360
∘ ∘ -->
n
(
=
180
∘ ∘ -->
(
n
− − -->
2
)
n
)
{\displaystyle 180^{\circ }-{\frac {360^{\circ }}{n}}{\Bigl (}{=}\;{\frac {180^{\circ }(n-2)}{n}}{\Bigr )}}
となる。
正n 角形の対角線 の長さの種類は
⌊
n
2
⌋
− − -->
1
=
2
n
− − -->
5
+
(
− − -->
1
)
n
4
{\displaystyle \left\lfloor {\frac {n}{2}}\right\rfloor -1={\frac {2n-5+(-1)^{n}}{4}}}
だけある（⌊x ⌋ ガウス記号 ）。一辺の長さを a とすると、m 番目に短い対角線の長さは
a
sin
-->
(
m
+
1
)
π π -->
n
sin
-->
π π -->
n
{\displaystyle {a\sin {(m+1)\pi \over {n}} \over {\sin {\pi \over {n}}}}}
である。m = 0m = 1
p を素数 とする。正p 角形のうち、作図可能なものは、頂点の個数 p がフェルマー素数 (3, 5, 17, 257, 65537) である場合のみであり、それぞれ正三角形 、正五角形 、正十七角形 、正二百五十七角形 、正六万五千五百三十七角形 である。頂点の個数が素数でないものについては、その数を素因数分解 した時に奇数 の因数 がフェルマー素数のみでかつ、同じものが存在しない場合、または奇数の因数が存在しない（2の冪 ）場合のみ作図することが可能である。
例：正方形 は、奇数の因数がないので (4=2×2) 作図することができる。正六角形 や正十五角形 は、奇数の因数がフェルマー素数のみなので (6=2×3, 15=3×5) 作図することができる。正九角形 は、奇数の因数はフェルマー素数のみだが同じ数の重複があるので (9=3×3) 作図できない。 正十七角形の作図可能性は、1796年 3月30日にカール・フリードリヒ・ガウス が発見した。さらにガウスは1801年に出版したDisquisitiones Arithmeticae
正多角形（正四十角形まで）が作図可能かどうかを以下に示す。なお、○は作図可能、×は作図不可能を示す。
正p 角形（p は3以上の素数）、正(2n + 1)角形の作図に必要な値 cos(2π / 2n+1 n 次方程式の解として求められる[ 4]
n
2n+1
方程式の次数
方程式の次数（素因数分解）
定規とコンパス
折り紙
1
正3角形
1次方程式
1次方程式
○
○
2
正5角形
2次方程式
2次方程式
○
○
3
正7角形
3次方程式
3次方程式
×
○
5
正11角形
5次方程式
5次方程式
×
×
6
正13角形
6次方程式
(2×3)次方程式
×
○
8
正17角形
8次方程式
(2×2×2)次方程式
○
○
最も角が少ないのは正二角形 である。二角形 は必ず正二角形になる。
この幾何学上の正三角形は、内角の和は180°より大きく、ユークリッド幾何学上のルーローの三角形 と同じ図形である。
最も角が少ないのは正三角形であり、内角の和は180°より小さい。
