A csoportelméletben véges csoportnak nevezünk egy olyan csoportot, melynek alaphalmaza véges. Véges csoportok gyakran állnak elő matematikai vagy fizikai objektumok szimmetriájának vizsgálatakor, amikor ezek az objektumok csak véges számú struktúra-megőrző transzformációt engednek meg. Fontos példái a ciklikus csoportok és a szimmetrikus csoportok.

A véges csoportok tanulmányozása a csoportelmélet fontos része a 19. századi megjelenése óta. Az egyik legfontosabb részterülete a véges egyszerű csoportok osztályozása, mely 2004-ben fejeződött be arra az esetre, amikor a véges csoportnak nincs nemtriviális normálosztója.^[1][2][a]

Az ${\displaystyle S_{n}}$-nel jelölt szimmetrikus csoport ${\displaystyle n}$ darab szimbólum összes permutációját tartalmazza, a csoportművelet pedig a permutációk kompozíciója, mely tekinthető a szimbólumok között egy bijektív függvényként.^[4] Mivel ${\displaystyle n}$ elemnek ${\displaystyle n!}$ (${\displaystyle n}$ faktoriális) lehetséges permutációja van, az ${\displaystyle S_{n}}$ csoport rendje (tehát elemeinek száma) ${\displaystyle n!}$.

Bővebben: Ciklikus csoport

A ${\displaystyle \mathbb {Z} _{n}}$ ciklikus csoport minden eleme egy adott ${\displaystyle a}$ elem egész kitevős hatványa, ahol ${\displaystyle a^{n}=a^{0}=e}$ (${\displaystyle e}$ itt a csoport egységeleme). Az ${\displaystyle n}$ (véges) elemszámú ciklikus csoportok izomorfak a komplex egység ${\displaystyle n}$-edik egységgyökeinek csoportjához.

Abel-csoportnak vagy kommutatív csoportnak hívunk egy olyan csoportot, melyben bármely csoportbeli elempáron végzett csoportművelet eredményén nem változtat a két elem felcserélése. Ezt a tulajdonságot a kommutativitás axiómájának is hívjuk.

Egy tetszőleges véges Abel-csoport izomorf olyan véges ciklikus csoportok direkt összegével, melyek elemszámai prímszámok egész kitevős hatványai és egyértelműen meghatározottak. A rendek invariánsok rendszerét alkotják, melyek leírják a véges Abel-csoport automorfizmuscsoportját. A véges Abel-csoportok elméletének fontos kezdőpontja Ferdinand Georg Frobenius és Ludwig Stickelberger 1879-es eredménye, amelyet később leegyszerűsítettek és általánosítottak, ezáltal fontos részét képezve a lineáris algebrának.

A Lie-típusú csoportok nem összetévesztendőek a Lie-csoportokkal, azonban szoros összefüggés van a két fogalom között. A Lie-csoportok olyan csoportok, melyek egyszerre sima sokaságok és a csoportművelet tetszőlegesen sokszor differenciálható. Egy kompakt Lie-csoport megfeleltethető a valós számtesten definiált reduktív lineáris algebrai csoport racionális pontjainak. Ha a valós számtestet felcseréljük egy véges testre, az általa definiált reduktív lineáris algebrai csoport racionális pontjainak csoportja szorosan kapcsolódik a Lie-típusú csoportokhoz. Önmagában a Lie-típusú csoportoknak nincs precíz széles körben elfogadott definíciója,^[5] azonban azoknak a véges egyszerű Lie-típusú csoportoknak van, melyek elősegítik a véges egyszerű csoportok osztályozását.

Véges Lie-típusú csoportok adják a nem-Abel véges egyszerű csoportok túlnyomó többségét. Speciális esetei a klasszikus csoportok, a Chevalley-csoportok, a Steinberg-csoportok és a Suzuki−Ree-csoportok.

A Joseph Louis Lagrange után elnevezett tétel kimondja, hogy egy adott ${\displaystyle G}$ véges csoport bármely ${\displaystyle H}$ részcsoportjának rendje (tehát az alaphalmaz elemeinek száma) osztója ${\displaystyle G}$ rendjének. Jelöljük ${\displaystyle G}$ rendjét ${\displaystyle |G|}$-vel, akkor a ${\displaystyle |G|/|H|}$ természetes számot a ${\displaystyle H}$ részcsoport indexének hívjuk, jelölése ${\displaystyle [G:H]}$. A részcsoport indexe a baloldali mellékosztályai számának felel meg.

A tétel következménye, hogy ${\displaystyle G}$ bármely ${\displaystyle g}$ elemének rendje (tehát egy olyan ${\displaystyle n}$ természetes szám, melyre ${\displaystyle g^{n}=e}$, ahol ${\displaystyle e}$ a csoport egységeleme) mindig osztja a csoport rendjét.^[6]

Bővebben: Csoportelmélet#Sylow-csoportok

Legyen ${\displaystyle p}$ egy prímszám. Egy adott ${\displaystyle G}$ csoport Sylow ${\displaystyle p}$-részcsoportjának hívjuk bármely olyan részcsoportját, mely egy ${\displaystyle p}$-csoport, tehát minden elemének rendje ${\displaystyle p}$ egy hatványa, és nem valódi részcsoportja ${\displaystyle G}$ bármelyik másik ${\displaystyle p}$-részcsoportjának.

A Peter Ludwig Sylowról elnevezett tételek rendkívül fontosak a véges csoportok vizsgálatában, ugyanis részletes információt adnak egy fixált rendű véges csoport részcsoportjainak számáról. Tekinthető a Lagrange-tétel részleges megfordításának, mivel kimondja, hogy egy ${\displaystyle G}$ véges csoport rendjének minden prímtényezőjére létezik egy Sylow ${\displaystyle p}$-részcsoportja ${\displaystyle G}$-nek. Továbbá, ${\displaystyle G}$ minden ${\displaystyle p^{n}}$ rendű részcsoportja Sylow ${\displaystyle p}$-részcsoport, és fixált ${\displaystyle p}$ prím esetén a csoport Sylow ${\displaystyle p}$-részcsoportjai egymás konjugáltjai. Egy csoport Sylow ${\displaystyle p}$-részcsoportjainak számát ${\displaystyle p}$-vel osztva mindig egy lesz a maradék.^[7]

Az Arthur Cayleyről elnevezett tétel kimondja, hogy bármely ${\displaystyle n}$ elemű ${\displaystyle G}$ csoport izomorf az ${\displaystyle S_{n}}$ szimmetrikus csoport valamilyen részcsoportjával. Pontosabban megfogalmazva, a szimmetrikus csoport elemei a ${\displaystyle G}$ alaphalmazának permutációi.^[8] Vannak esetek, amikor ${\displaystyle G}$ izomorf egy kisebb szimmetrikus csoport részcsoportjával, mint például a hatelemű ${\displaystyle S_{3}}$ nem csak ${\displaystyle S_{6}}$ egy részcsoportjával izomorf, hanem triviálisan önmagának részcsoportja is.^[9] Egy adott csoportra megtalálni a legkisebb szimmetrikus csoportot, melynek egy részcsoportjával izomorf egy önmagában nehéz feladat.^[10][11]

A tétel értelmezhető a ${\displaystyle G}$ csoporthatásának önmagának elemeire,^[12] továbbá kiterjeszthető végtelen csoportokra is.

A Burnside-tétel kimondja, hogy amennyiben ${\displaystyle G}$ egy ${\displaystyle p^{a}q^{b}}$ elemszámú csoport, ahol ${\displaystyle p}$ és ${\displaystyle q}$ prímszámok, ${\displaystyle a}$ és ${\displaystyle b}$ pedig nemnegatív egész számok, akkor ${\displaystyle G}$ feloldható. A tételből következik, hogy bármely nem-Abel véges egyszerű csoport rendje osztható legalább három egymástól különböző prímszámmal.^[13]

Bővebben: Feit–Thompson-tétel

A Feit–Thompson-tétel szerint bármely páratlan rendű csoport feloldható. A tételt Walter Feit és John G. Thompson bizonyította.^[14]

A véges egyszerű csoportok osztályozásának tétele szerint minden véges egyszerű csoport a következők egyikébe tartozik:

• Olyan ciklikus csoport, melynek rendje prímszám,
• Legalább ötödfokú alternáló csoport,
• Egyszerű Lie-típusú csoport,
• A 26 sporadikus egyszerű csoport egyike,
• A Tits-csoport (esetenként a 27. sporadikus csoportnak tekinthető)

A véges egyszerű csoportok olyan értelemben alkotják bármely véges csoport alapköveit, ahogy a prímszámok "építik fel" a természetes számok bármelyikét. A Jordan–Hölder-tétel precízen megfogalmazza ezt az elképzelést, azonban fontos megjegyezni, hogy véges egyszerű csoportok "összerakása" nem határoz meg egyértelműen egy véges csoportot, ugyanis létezhetnek nem-izomorf csoportok, melyeknek egyezik a kompozíciólánca.

Adott ${\displaystyle n}$ pozitív egész számra nem mindig magától értetődő, hogy hány ${\displaystyle n}$ elemszámú csoport létezik izomorfiáig bezárólag. A következő esetek azonban megkönnyítik a klasszifikációt:

• A Lagrange-tételből következik, hogy minden olyan csoport ciklikus, melynek rendje egy prímszám, ugyanis a csoport bármely nemneutrális eleme olyan részcsoportot generál, mely egyenlő az egész csoporttal.
• Ha ${\displaystyle n}$ egy prímszám négyzete, akkor pontosan kettő nem-izomorf ${\displaystyle n}$-edrendű csoport van, és mindkettő Abel.

Ez a szócikk részben vagy egészben a Finite group című angol Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.