Sophie Germain-prím

A számelméletben Sophie Germain-prímnek nevezzük azokat a p prímszámokat, amelyekre 2p + 1 szintén prímszám. Ezeket a számokat a francia matematikusról, Marie-Sophie Germainről nevezték el. A Sophie Germain-prímből számított 2p+1 számot nevezzük biztonságos prímnek is. Létezik egy sejtés, hogy végtelen sok Sophie Germain-prím létezik, de mint az ikerprím-sejtés, ez sem bizonyított.

Az első néhány Sophie Germain-prím (1000-nél kisebb):

2, 3, 5, 11, 23, 29, 41, 53, 83, 89, 113, 131, 173, 179, 191, 233, 239, 251, 281, 293, 359, 419, 431, 443, 491, 509, 593, 641, 653, 659, 683, 719, 743, 761, 809, 911, 953 ... OEIS A005384

Sophie Germain-prímek keresése

A matematika megoldatlan problémája:
Létezik-e végtelen sok Sophie Germain-prím?
(A matematika további megoldatlan problémái)

A PrimeGrid, valamint Twin Prime Search elosztott számítási projektek futtatnak keresést, több egyéb mellett a Sophie Germain-prímek megtalálására is.

Az ismert legnagyobb Sophie Germain-prímek (2018. novemberi állapot):

Szám Számjegyek száma Megtalálás ideje Megtaláló és módszere
2618163402417 × 21290000 − 1 388342 2016. február Scott Brown: PrimeGrid [1]
18543637900515 × 2666667 − 1 200701 2012. április Philipp Bliedung: elosztott PrimeGrid kereséssel, valamint TwinGen és LLR[2] használatával
183027 × 2265440 − 1 79911 2010. március Tom Wu: LLR használatával[3]
648621027630345 × 2253824 − 1 és 620366307356565 × 2253824 − 1 76424 2009. november Járai Zoltán, Farkas Gábor, Csajbók Tímea, Kasza János és Járai Antal[4][5]
607095 × 2176311 − 1 53081 2009. szeptember Tom Wu[6]
48047305725 × 2172403 − 1 51910 2007. január David Underbakke: TwinGen és LLR használatával[7]
137211941292195 × 2171960 − 1 51780 2006. május Járai Zoltán, Farkas Gábor, Csajbók Tímea, Kasza János és Járai Antal[8]

Alkalmazása

Jelentős szerepe van a különböző kriptográfiai megoldásokban, ahol -nél nagyobb számokra, erős prímekre van szükség. Mivel a p Sophie Germain-prímből származtatható 2p + 1 számot "biztonságos" prímnek tekintjük, ahhoz hogy "erős" prím legyen, a p - 1 és a p + 1 is nagy prímtényezőkkel kell hogy rendelkezzen. Ezekre az "erős" prímekre van szükség például az RSA algoritmusnál, hogy ne lehessen bizonyos faktorizáló eljárásokkal, mint például a Pollard (p – 1) vagy Williams (p+1) algoritmussal feltörni.

Jegyzetek

  1. ↑ The Prime Database: 2618163402417×21290000 - 1 (angol nyelven). primes.utm.edu. (Hozzáférés: 2017. január 9.)
  2. ↑ PrimeGrid’s Sophie Germain Prime Search (PDF). PrimeGrid. (Hozzáférés: 2017. január 9.)
  3. ↑ The Prime Database: 183027*2^265440 (angol nyelven). primes.utm.edu. (Hozzáférés: 2017. január 9.)
  4. ↑ The Prime Database: 648621027630345*2^253824-1 (angol nyelven). primes.utm.edu. (Hozzáférés: 2017. január 9.)
  5. ↑ The Prime Database: 620366307356565*2^253824-1 (angol nyelven). primes.utm.edu. (Hozzáférés: 2017. január 9.)
  6. ↑ The Prime Database: 607095*2^176311-1 (angol nyelven). primes.utm.edu. (Hozzáférés: 2017. január 9.)
  7. ↑ The Prime Database: 48047305725*2^172403-1 (angol nyelven). primes.utm.edu. (Hozzáférés: 2017. január 9.)
  8. ↑ The Prime Database: 137211941292195*2^171960-1 (angol nyelven). primes.utm.edu. (Hozzáférés: 2017. január 9.)

Kapcsolódó szócikkek

Ez a matematikai tárgyú lap egyelőre csonk (erősen hiányos). Segíts te is, hogy igazi szócikk lehessen belőle!