Burkinshaw a fél-profi Denaby United csapatában futballozott, mielőtt 1953-ban a Liverpool csapatához szerződött; a vörösöknél egyetlen mérkőzésen lépett pályára, 1955 áprilisában egy Port Vale elleni bajnoki mérkőzésen.[1] 1957 és 1965 között a Workington csapatában futballozott. 1968-ban a Scunthorpe United csapatától vonult vissza a labdarúgói pályafutásától.