עזר כתב שירים וסיפורים באתר "במה חדשה" ובראשית דרכו בתקשורת, הנחה בתוכנית האינטרנט "KIK", אם כי, שידורה הסתיים בתום חצי שנה בלבד.
בשנת 2004 השתתף בתחרות בחירת מנחה שותף בתוכנית "אקזיט", ובאפריל נבחר על ידי צופי התוכנית להצטרף אל המנחים לאחר פרישתו של מיכאל הנגבי. בסיומה של העונה השלישית של "אקזיט", פרש מהתוכנית יחד עם שירי מימון ומלי לוי.
בשנת 2006 השתתף בתוכנית המציאות "The Show" בערוץ 10, אשר נכשלה והורדה לאחר שתי תוכניות. באותה שנה החל לשמש ככתב שטח בתוכנית הערב בכבלים "ערב טוב עם גיא פינס" והגיש במקביל את התוכנית "האלופה חדר הלבשה" (עונה שנייה), אשר ליוותה את הטלנובלה "האלופה". בהמשך הגיש את תוכנית הסאטירה "מלכוד 24" בערוץ 24. לאחר שבערוץ הוחלט להוריד את התוכנית, היא עברה באביב 2008 לערוץ ביפ בשינויים קלים. בביפ התוכנית נקראה "דבר עם הסוכן שלי" והיא שודרה בערוץ במשך עונה אחת (18 תוכניות), אך הוחלט להורידה בעקבות נתוני צפייה נמוכים.
באוגוסט 2010 החל להגיש את תוכנית התרבות הלילית "בואו נדבר על זה" בערוץ 2. בסתיו 2011 החל להנחות את תוכנית השידוכים הדוקומנטרית "שלוש" בערוץ 2.
בהמשך חתם עזר על חוזה טאלנט בזכיינית "שידורי קשת", והנחה מספר שידורים. בין השנים 2008–2015 הנחה את תוכנית הריאליטי "האח הגדול" לצדו של ארז טל. ב-2015 פרש עזר מהתוכנית לטובת הנחיית "הכוכב הבא" ששודרה בסמיכות.[2][3]
בחודש דצמבר 2008 העלתה "רשת" את השעשועון "תשיר את זה" בהנחייתו, אשר צולם בטרם נחתם חוזה הטאלנט עם "שידורי קשת". בחודש יוני 2009 שב לערוץ 24 והנחה את התוכנית "מה ש'תה שומע" (אשר שבה לעונה נוספת במאי 2013).
בינואר 2022 פורסם בוואלה כי השחקן יהודה נהרי טוען כי עזר הטריד אותו מינית לפני עשור, כשבחן אפשרות ללהקו לסדרת הטלוויזיה "להיות איתה".[5] טענותיו של נהרי הוכחשו על ידי עזר, ותלונתו במשטרה נסגרה ללא חקירה.[6]
קריירת יצירה
עזר כתב ויצר את הסדרה "להיות איתה", בכיכובם של אביב אלוש ורותם סלע. הסדרה שודרה לראשונה בנובמבר 2013 בשידורי "קשת". הסדרה מבוססת על חיי הנעורים של עזר בעיר חולון. בהקרנת הבכורה אמר "גדלתי בחולון לאבא אופה ואמא שיש לה מינימרקט. מי חלם בכלל שאני אעמוד פה עם סדרה שכתבתי, זה מטורף בעיני. נראה שאם אתה מאמין מספיק ורוצה מספיק זה קורה".[7]
בעקבות הצלחת הסדרה באוקטובר 2015 נמכרה לארצות שונות ביניהן הולנד ורוסיה שכל אחת מהן העלתה גרסה מקומית לסדרה.[8] בינואר 2014, "קשת" אישרה הפקת עונה שנייה לסדרה, ששידורה החל בחודש מאי 2017.
עזר יצר וכתב את סדרת הנוער "מתוקים" בה הוא משחק בתפקיד משנה בתור ארז כרמי, עובד סוציאלי מלשכת הרווחה.[9] במקור, בכורת העונה הראשונה של הסדרה הייתה אמורה להיות משודרת באוקטובר 2023, אך עקב פרוץמלחמת חרבות ברזל, הבכורה נדחתה ל-29 בינואר 2024.
באפריל 2005יצא מהארון כהומוסקסואל בריאיון למגזין "ידיעות אחרונות".[12][13] מאז, הפך לפעיל מרכזי למען שוויון זכויות לקהילה הלהט"בית בישראל. באוקטובר 2009 הכתיר המגזין האמריקאי "אאוט", מגזין התרבות לקהילה ההומו-לסבית הנחשב והנפוץ בעולם, את אסי עזר כאחד ממאה הלהט"בים המשפיעים ביותר בעולם לשנת 2009[14] בשל העובדה כי תרומתו מכרעת כהומו מוצהר המגיש תוכנית מרכזית בפריים טיים של ערוץ שידור מרכזי בישראל.
בשנת 2010 הגיש בערוץ 2 את הסרט הדוקומנטרי הקצר "אמא, אבא, יש לי משהו לספר לכם", המספר את סיפורו האישי ביציאה מהארון.
ב-2011 החל עזר במסע הסברה לקידום הקהילה ההומו-לסבית הישראלית בארצות הברית מטעם ארגון "הלל" העולמי.[15] במסע מעביר עזר הרצאות על סרטו "אמא, אבא, יש לי משהו לספר לכם" ועל הקהילה הלהט"בית בישראל בקמפוסים שונים ברחבי ארצות הברית.[16]
ב-25 ביוני 2020 נבחר כדמות להט"בית משפיעה בטקס פרסי הנוער הגאה "איגי LOVE", בו זכה גם בתואר "המנחה האהוב" יחד עם רותם סלע.[17]
חיים אישיים
ביוני 2016 נישא עזר בברצלונה לאדריכל הספרדי אלברט אסקולה-בנט.[18] באוקטובר אותה שנה שודר סרט תיעודי שיצר עזר בשם "הוא גם האלוהים שלי", המספר את סיפור נישואיו עם בן זוגו ומביא את רגשותיו הדתיים בהקשר זה.[19]
באוקטובר 2021 פרסם עזר בחשבון האינסטגרם שלו כי הוא ואלברט בתהליכי פונדקאות. במרץ 2022 נולדה בתם.[20] באפריל 2024 נולד בנם. הם מתגוררים בתל אביב-יפו.[21]