באסט נולדה בשכונת הארלם שבניו יורק וגדלה בסיינט פיטרסברג ביחד אחותה ד'ניטי אצל אמה בטי, עובדת סוציאלית במקצועה. באסט למדה ב"תיכון בוקה סייגה" בו הייתה מעודדת והשתתפה בחוג דיבייט, במועצת התלמידים הבית ספרית ובחוג דרמה. באסט למדה באוניברסיטת ייל שם סיימה תואר ראשון בשנת 1980 ב"לימודים אפרו-אמריקאים". ב-1983 קיבלה באסט תואר בוגר נוסף כשסיימה את לימודיה בהצלחה ב"בית ספר לדרמה של ייל" שבחסות האוניברסיטה. במהלך לימודיה פגשה את מי שמאוחר יותר יהיה בעלה.
לאחר לימודיה עבדה באסט כפקידת קבלה בסלון יופי ובחיפוש תמונות.
בניסיון לממש את יכולת המשחק שלה נסעה באסט לניו יורק והופיעה ב-1985 במחזה "נערה שחורה". בנוסף הופיעה בשתי הצגות של המחזאיאוגוסט וילסון - "Ma Rainey's Black Bottom" ו-"Joe Turner's Come and Gone".
את ההופעה הקולנועית הראשונה שלה ערכה באסט ב-1986 ובהמשך הופיעה בסרטים רבים בקולנוע ובטלוויזיה. בשנת 2015 אף התנסתה לראשונה בתחום הבימוי.
בשנת 1993 גילמה באסט את דמותה של זמרת הפופ טינה טרנר בדרמה המוזיקלית "מה זה בכלל קשור לאהבה", הסרט מתאר פגישתה הראשונה עם המוזיקאי וכותב השירים אייק טרנר (לורנס פישבורן) ואת קריירת הסולו המצליחה שלה בתחילת שנות השמונים.
על משחקה בסרט קיבלה באסט את פרס גלובוס הזהב ובכך הפכה לשחקנית האפרו-אמריקאית הראשונה שזוכה בפרס בקטגוריית השחקנית הטובה ביותר בסרט מוזיקלי-קומי.
בשנת 2000 הייתה באסט שותפה להפקה המדע בדיונית לה היה שותף פרנסיס פורד קופולה, "סופרנובה"; בסרט גילמה את ד"ר אברס, אחת מששת אנשי צוות של ספינת ה"נייטינגייל 229", ספינת חלל רפואית היוצאת למבצע חיפוש והצלה בתחילת המאה ה-22.
ב-2001 שיחקה באסט במותחן "הפריצה", בו הופיעה בתור דיאן, חברתו של הדמות המרכזית בסרט ניק וולש, גנב בינלאומי מצליח וקפדן.
החל משנת 2018 מככבת באסט בסדרת הטלוויזיה המשטרתית של רשת FOX "מוקד 911" מבית היוצר של ראיין מרפי ובראד פלצ'וק. היא מגלמת את אתנה קרטר גרנט, מפקדת יחידת הסיור במשטרת לוס אנג'לס. בנוסף למשחקה בסדרה, באסט היא גם המפיקה של הסדרה. בספטמבר 2021 עלתה העונה החמישית בכיכובה.