קאבסון נולד בקסטריו מוטה דה חודיוס, יישוב הסמוך לבורגוס, בצפון ספרד. היה עיוור מילדותו, ככל הנראה מגיל שמונה. גילה מוקדם כישורים מוזיקליים מיוחדים ולכן, בזמן ששרת בחצרו של הבישוף חואן דה סרמיינטו, נשלח לפאלנסיה ללימודים אצל נגן העוגב גרסיה דה באאֶסה (García de Baeza) של הקתדרלה המקומית. השתלם בעיקר בנגינה בעוגב ובכלי מקלדת.
בתקופה זו, תחילת תור הזהב של ספרד, הוכתר קרלוס הראשון כמלך קסטיליה ואראגון, ובהמשך ירש גם את כס המלכות של בית הבסבורג תחת השם קרל החמישי, ושלטונו התפשט על מרחבים עצומים באירופה ובאמריקה. ב-1526, שנה לאחר נישואיה למלך קרלוס, קיבלה המלכה איסבלה את אנטוניו דה קבסון לעבודה בחצרה. בתפקידו נדרש לנגן בקלאוויקורד ובעוגב ולהיות נגן העוגב של קפלת המלכה.
המלחין נשאר אצל המשפחה המלכותית עד מותו. בחצר פגש מלחינים חשובים כמו נגן הויהואלה לואיס דה נרוואאס (Luis de Narváez), הידוע כיום בפנטאזיות הפוליפוניות שלו, ותומאס דה סנטה מריה, מוזיקאי ותאורטיקאן שספר הלימוד שכתב על מוזיקה כלית Arte de tañer fantasía זכה לבדיקתו ולאישורו של קבסון.
קבסון הועסק מאוחר יותר כנגן עוגב בשרותו של קרל החמישי. בימי מלוכתו של המלך היורש, פליפה השני, מלך ספרד, קבסון ליווה את האחרון במסעותיו באירופה בשנים 1548-1551 וב-1554-1556, והכיר בהזדמנות זו מוזיקאים חשובים בני זמנו. ב-1554, יחד עם פיליפ דה מונט, ליווה את המלך פליפה לאנגליה לטקס חתונתו עם מרי טיודור, מלכת אנגליה.
החל משנת 1538, אחרי נישואיו, התגורר קבסון באבילה, מקום הולדתה של אשתו, לואיסה נונייס דה מוקוס . לזוג נולדו חמישה ילדים, שתפסו מאוחר יותר משרות חשובות בחצר המלך פיליפה השני. אחד מבניו, הרננדו דה קבסון (1602-1541) היה גם כן מלחין. בן אחר, אגוסטין דה קבסון (מת לפני 1564) היה מנצח מקהלת הקפלה המלכותית.
כשמדריד הפכה לבירת ספרד ולמושב המלך, גם קבסון עבר לגור לשם. הוא מת במדריד בשנת 1566.
פעילותו המוזיקלית
קבסון הלחין מספר רב של טבלטורות לכלי מקלדת, כמו גם עיבודים - הקרויים "גלוסאס" (glosas) של מוזיקה רב-קולית (פוליפונית) עממית עבור כלי מקלדת (במיוחד יצירות של ז'וסקן דה פרה). כן הלחין לעוגב מספר טיינטוס (tientos) - מוטטים כליים מבוססים על חיקוי, וווריאציות (הקרויות "דיפרנסיאס" - diferencias) על נושאים של שירי עם וריקודים ספרדיים וצרפתיים פופולרים בזמנו.
את כלל יצירותיו פרסם בנו, הרננדו דה קבסון, בשנת 1578, יותר מעשור אחרי מות אביו, תחת הכותרת "יצירות מוזיקליות לכלי מקלדת, נבל וויהואלה" (Obras de musica para tecla, arpa y vihuela). 40 מיצירותיו פורסמו עוד לפני כן, בשנת 1557, באלקלה דה אנארס, ב"ספר טבלטורה לכלי מקלדת, נבל וויהואלה".
בשנת 1966 פורמה בברצלונה מהדורה חדשה של יצירותיו של קבסון, בעריכתו של היחיניו אנגלס. כעבור שנים אחדות המוזיקולוגית מריה אסונסיון אסתר סאלאס הוסיפה לה עוד כרך עם יצירות שחסרו.
הנצחה
בככר המרכזית (Plaza Mayor) של כפר הולדתו, קסטריליו מאטאחודיוס, הוצב לוח זיכרון המוקדש לקבסון. ניתן לבקר בביתו שנשמר עד היום.