Denomínase xeometría non euclidiana, a calquera forma de xeometría cuxos postulados e propiedades difiren nalgún punto dos establecidos por Euclides nos seus tratado Elementos. Non existe un só tipo de xeometría non euclidiana, senón moitos, aínda que se se restrinxe a discusión a espazos homoxéneos, nos que a curvatura do espazo é a mesma en cada punto, nos que os puntos do espazo son indistinguibles poden distinguirse tres tipos de xeometrías:

• A xeometría euclidiana satisfai o cinco postulados de Euclides e ten curvatura cero (é dicir suponse nun espazo plano polo que a suma do tres ángulos interiores dun triángulo é sempre 180°.).
• A xeometría hiperbólica satisfai só o catro primeiros postulados de Euclides e ten curvatura negativa (nesta xeometría, por exemplo, a suma dos tres ángulos interiores dun triángulo é inferior a 180°).
• A xeometría elíptica satisfai só os catro primeiros postulados de Euclides e ten curvatura positiva (nesta xeometría, por exemplo, a suma do tres ángulos interiores dun triángulo é maior a 180°).

Todos estes son casos particulares de xeometrías riemannianas, nos que a curvatura é constante; se se admite a posibilidade de que a curvatura intrínseca da xeometría varíe dun punto a outro tense un caso de xeometría riemanniana xeral, como sucede na teoría da relatividade xeral, onde a gravidade causa unha curvatura non homoxénea no espazo-tempo, sendo maior a curvatura preto das concentracións de masa, o cal se percibe como un campo gravitatorio atractivo.

A xeometría euclideana fora desenvolvida polos gregos e exposta por Euclides na obra Elementos. Xa dende a antigüidade considerouse que o quinto postulado do libro de Euclides non era tan evidente como os outros catro pois, ao afirmar que certas rectas (as paralelas) non se cortarán ao prolongalas indefinidamente, fala dunha construción mental un tanto abstracta. Por iso durante moitos séculos tentouse sen éxito demostralo a partir dos outros catro. A principios do século XIX, tentouse demostralo por redución ao absurdo, supondo que é falso e tratando de obter unha contradición. Con todo, lonxe de chegar a un absurdo atopouse que existían xeometrías coherentes diferentes da euclidiana.

Os desenvolvementos de xeometrías non euclidianas xestáronse nos seus comezos co obxectivo de construír modelos explícitos nos que non se cumprise o quinto postulado de Euclides. O primeiro exemplo de xeometría non euclidiana foi a hiperbólica, teorizada inicialmente por Immanuel Kant.^[1] Na súa primeira obra publicada, Gedanken von der wahren Schätzung der lebendigen Kräfte und Beurteilung der Beweise derer sich Herr von Leibniz und anderer Mechaniker in dieser Streitsache bedient haben ("Pensamentos sobre a verdadeira estimación das forzas vivas", 1746), Immanuel Kant considerou espazos de máis de tres dimensións e afirmou:

Unha ciencia de todas estas posibles clases de espazo sería sen dúbida a empresa máis elevada que un entendemento finito podería acometer no campo da Xeometría... Se é posible que existan extensións con outras dimensións, tamén é moi probable que Deus as trouxese á existencia, porque as súas obras teñen toda a magnitude e variedade de que son capaces.

Esas posibles xeometrías que Kant entreviu son as que hoxe se chaman xeometrías euclidianas de dimensión maior que 3.

A xeometría hiperbólica foi formalizada posterior e independentemente por varios autores a principios do século XIX tales como Carl Friedrich Gauss, Nikolái Lobachevski, János Bolyai e Ferdinand Schweickard.

A principios do século XIX, e de xeito independente, Gauss (1777-1855), Lobachevski (1792-1856), János Bolyai e Ferdinand Schweickard lograron construír a xeometría hiperbólica, a partir do intento de negar o quinto postulado de Euclides e tratar de obter unha contradición. En lugar de obter unha contradición o que obtiveron foi unha curiosa xeometría na que os tres ángulos dun triángulo sumaban menos de 180º sexaxesimais (na xeometría euclidiana os ángulos de calquera triángulo suman sempre exactamente 180º).

A naturalidade desta xeometría quedou confirmada a finais do século, cando Beltrami demostrou que a xeometría hiperbólica coincide coa xeometría intrínseca de certa superficie e Klein deu a interpretación proxectiva da xeometría hiperbólica. Ambos os resultados proban que é tan consistente como a xeometría euclidiana (é dicir, se a xeometría hiperbólica leva a algunha contradición, entón a xeometría euclidiana tamén).

Algúns afirman que Gauss foi o primeiro en considerar a posibilidade de que a xeometría do Universo non fose a euclidiana. Sabendo que na xeometría hiperbólica a suma dos ángulos de calquera triángulo é menor que dous rectos, dise que subiu á cima de tres montañas cun teodolito, aínda que a precisión dos seus instrumentos non foi suficiente para decidir a cuestión con ese experimento. Con todo, outros afirman que cando escribiu que trataba de corrixir os efectos de posibles curvaturas se refería a corrixir o efecto da curvatura terrestre nos estudos cartográficos que estaba a realizar.

A xeometría elíptica é o segundo tipo de xeometría non euclidiana homoxénea, é dicir, onde calquera punto do espazo resulta indistinguible de calquera outro. Unha variedade de Riemann de curvatura positiva constante é un exemplo de xeometría elíptica. Un modelo clásico de xeometría elíptica n-dimensional é a n-esfera.

Na xeometría elíptica as liñas xeodésicas teñen un papel similar ás liñas rectas da xeometría euclídea, con algunhas importanes diferenzas. Aínda que a mínima distancia posible entre dous puntos vén dada por unha liña xeodésica, que ademais son liñas de curvatura mínima, o quinto postulado de Euclídes non é válido para a xeometría elíptica, xa que dada unha "recta" desta xeometría (é dicir, unha liña xeodésica) e un punto non contido na mesma non se pode trazar ningunha xeodésica que non corte a primeira.

A xeometría euclidiana é claramente un caso límite intermedio entre a xeometría elíptica e a xeometría hiperbólica. De feito a xeometría euclídea é unha xeometría de curvatura nula. Pode demostrarse que calquera espazo xeométrico ou variedade de Riemann cuxa curvatura é nula é localmente isométrico ao espazo euclidiano e polo tanto é un espazo euclidiano ou idéntico a unha porción do mesmo.

Os espazos de curvatura constante o tensor de curvatura de Riemann vén dado en compoñentes pola seguinte expresión:

${\displaystyle R_{ijkl}=C(g_{il}g_{jk}-g_{ik}g_{jl})\,}$

onde ${\displaystyle g_{ij}}$ é o tensor métrico expresado en coordenadas curvilíneas calquera. O tensor de Ricci ${\displaystyle R_{ij}}$ e a curvatura escalar ${\displaystyle S}$ son proporcionais respectivamente ao tensor métrico e á curvatura:

${\displaystyle R_{ij}=(n-1)Cg_{ij},\qquad S=n(n-1)C}$

onde ${\displaystyle n}$ é a dimensión do espazo.

Outro aspecto interesante é que tanto na xeometría hiperbólica, como na xeometría elíptica homoxéneas o grupo de isometría do espazo completo é un grupo de Lie de dimensión ${\displaystyle n(n+1)/2}$, que coincide coa dimensión do grupo de isometría dun espazo euclidiano de dimensión ${\displaystyle n}$ (aínda que os tres grupos son diferentes).

A proposta de Gauss, a disertación de Riemann versou sobre a hipótese da Xeometría. Na súa tese, Riemann considera as posibles xeometrías que infinitesimalmente (é dicir, en rexións moi pequenas) sexan euclidianas, cuxo estudo se coñece hoxe en día como xeometrías riemannianas. Estas xeometrías resultan en xeral non homoxéneas: algunhas das propiedades do espazo poden diferir dun punto a outro, en particular o valor da curvatura.

Para o estudo destas xeometrías Riemann introduciu o formalismo do tensor de curvatura e demostrou que a xeometría euclidiana, a xeometría hiperbólica e a xeometría elíptica son casos particulares de xeometrías riemanninanas, caracterizadas por valores constantes do tensor de curvatura. Nunha xeometría riemanninana xeral, o tensor de curvatura terá valores variables ao longo de diferentes puntos de devandita xeometría.

Iso fai que a xeometría non sexa homoxénea, e permite distinguir uns puntos doutros. Isto é relevante na teoría da relatividade xeral, xa que en principio é posible facer experimentos de medición de distancias e ángulos que permitan distinguir uns puntos do espazo doutros, tal como especifican numerosos experimentos mentais imaxinados por Einstein e outros nos que un experimentador encerrado nunha caixa pode realizar experimentos para decidir a natureza do espazo-tempo que lle rodea.

Finalmente un aspecto interesante da xeometría riemanniana é que se a curvatura non é constante entón o grupo de isometría do espazo ten dimensión estritamente menor que ${\displaystyle n(n+1)/2}$, sendo ${\displaystyle n}$ a dimensión do espazo. En concreto segundo a relatividade xeral un espazo-tempo cunha distribución moi irregular da materia podería ter un grupo de isometría trivial de dimensión 0.

Baseándose nas ideas e resultados de Riemann, contra 1920 Einstein abordou na súa Teoría da Relatividade xeral a cuestión da estrutura xeométrica do Universo. Nela mostra como a xeometría do espazo-tempo ten curvatura, que é precisamente o que se observa como campo gravitatorio, e como, baixo a acción da gravidade, os corpos seguen as liñas máis rectas posibles dentro de dita xeometría, liñas que se denominan xeodésicas.

Ademais, a ecuación de Einstein afirma que para cada observador, a curvatura media do espazo coincide, salvo un factor constante, coa densidade observada, dando cumprimento así á fantástica visión de Gauss: a xeometría desentrañada polos gregos é a estrutura infinitesimal do espazo; ao xeneralizar dita estrutura xeométrica, ten curvatura.

• N. A'Campoy A. Papadopoulos (2012) Notes on hyperbolic geometry, in: Strasbourg Master class on Geometry, pp. 1–182, IRMA Lectures in Mathematics and Theoretical Physics, Vol. 18, Zürich: European Mathematical Society (EMS), 461 pages, SBN ISBN 978-3-03719-105-7, DOI 10.4171/105.
• Anderson, James W. Hyperbolic Geometry, 2ª edición, Springer, 2005
• Blumenthal, Leonard M. (1980). A Modern View of Geometry. Nova York: Dover. ISBN 0-486-63962-2.   
• H. S. M. Coxeter (1942) Non-Euclidean Geometry, University of Toronto Press, reissued 1998 by Mathematical Association of America, ISBN 0-88385-522-4 .
• Jeremy Gray (1989) Ideas of Space: Euclidean, Non-Euclidean, and Relativistic, 2ª edición, Clarendon Press.
• Manning, Henry Parker (1963). Introductory Non-Euclidean Geometry. Nova York: Dover. 
• Milnor, John W. (1982) Hyperbolic geometry: The first 150 years, Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.) Volume 6, Número 1, páx. 9–24.
• John Stillwell (1996) Sources of Hyperbolic Geometry, American Mathematical Society ISBN 0-8218-0529-0 .

• Xeometría euclidiana
• Xeometría hiperbólica
• Xeometría de Riemann
• Xeometría elíptica