Variedade topolóxica

En topoloxía, unha rama das matemáticas, unha variedade topolóxica é un espazo topolóxico que localmente se asemella ao espazo euclidiano real de n dimensións. As variedades topolóxicas son unha clase importante de espazos topolóxicos, con aplicacións en todas as matemáticas. Todas as variedades son variedades topolóxicas por definición. Outros tipos de variedades fórmanse engadindo estrutura a unha variedade topolóxica (por exemplo, as variedeades diferenciabeis son variedades topolóxicas equipadas cunha estrutura diferencial). Cada variedade ten unha variedade topolóxica "subxacente", obtida simplemente "esquecendo" a estrutura engadida.[1] Porén, non todas as variedades topolóxicas poden estar dotadas dunha estrutura adicional particular. Por exemplo, a variedade E8 é unha variedade topolóxica que non se pode dotar dunha estrutura diferenciable.

Definición formal

Un espazo topolóxico X chámase localmente euclidiano se hai un número enteiro non negativo n tal que cada punto de X ten unha veciñanza que é homeomórfica ao n-espazo real Rn .[2]

Unha variedade topolóxica é un espazo de Hausdorff localmente euclidiano. É normal poñer requisitos adicionais en variedades topolóxicas. En particular, moitos autores as definen como paracompactas[3] ou segundos numerábeis.[2]

No resto deste artigo unha variedade significará unha variedade topolóxica. Unha n-variedade significará unha variedade topolóxica tal que cada punto teña unha veciñanza homeomórfica a Rn.

Exemplos

n-variedades

Variedades proxectivas

Outras variedades

  • As variedades diferenciabeis son unha clase de variedades topolóxicas equipadas cunha estrutura diferencial.
  • Os espazos de Lens son unha clase de variedades diferenciables que son cocientes de esferas de dimensións impares.
  • Os grupos de Lie son unha clase de variedades diferenciabeis equipadas cunha estrutura compatíbel a un grupo.
  • A variedade E8 é unha variedade topolóxica á que non se lle pode dar unha estrutura diferenciable.

Propiedades

A propiedade de ser localmente euclidiana é preservada polos homeomorfismos locais. É dicir, se X é localmente euclidiana de dimensión n e f : YX é un homeomorfismo local, entón Y é localmente euclidiana de dimensión n. En particular, ser localmente euclidiana é unha propiedade topolóxica.

As variedades herdan moitas das propiedades locais do espazo euclidiano. En particular, son localmente compactas, espazo localmente conexo, primeiro numerabeis, localmente contraibeis e localmente metrizables. Sendo espazos de Hausdorff localmente compactos, as variedades son necesariamente espazos de Tychonoff.

Unha variedade non necesita ser conexa, mais toda variedade M é unha unión disxunta de variedades conexas. Estas son só as compoñentes conexas de M, que son conxuntos abertos xa que as variedades son conexas localmente. Sendo conexas localmente por camiños, unha variedade é conexa por camiños se e só se é conexa. Polo tanto, as compoñentes por camiños son o mesmo que as compoñentes.

O axioma de Hausdorff

A propiedade de Hausdorff non é local; polo que aínda que o espazo euclidiano sexa Hausdorff, un espazo euclidiano localmente non ten por que selo. Porén, é certo que todo espazo localmente euclidiano é T<sub id="mwqA">1</sub> (dous puntos calquera poden ser separados por un aberto).

Un exemplo de espazo localmente euclidiano non Hausdorff é a liña con dúas orixes. Este espazo créase substituíndo a orixe da liña real por dous puntos, un contorno aberto de calquera dos cales inclúe todos os números distintos de cero nalgún intervalo aberto centrado en cero. Este espazo non é Hausdorff porque non se poden separar as dúas orixes.

Axiomas de compactidade e numerabilidade

Unha variedade é metrizable se e só se é paracompacto. A liña longa é un exemplo dunha variedade topolóxica unidimensional normal de Hausdorff que non é metrizable nin paracompacto. Dado que a metrizabilidade é unha propiedade moito desexable para un espazo topolóxico, é común engadir paracompactidade á definición dunha variedade. En calquera caso, as variedades non paracompactas considéranse xeralmente como patolóxicas. Un exemplo de variedade non paracompacta vén dado pola liña longa. As variedades paracompactas teñen todas as propiedades topolóxicas dos espazos métricos. En particular, son espazos de Hausdorff perfectamente normais.

Tamén se require habitualmente que as variedades sexan segundo numerabeis. Esta é precisamente a condición necesaria para asegurar que a variedade mergúllase nalgún espazo euclidiano de dimensións finitas. Para calquera variedade, as propiedades de ser segundo numeráble, Lindelöf e σ-compacto son todas equivalentes.

Toda variedade compacta é segundo numerábel e paracompacta.

Dimensionalidade

Por invariancia do dominio, unha variedade n non baleira non pode ser unha variedade m para nm.[4] A dimensión dunha n-variedade non baleira é n. Ser unha n-variedade é unha propiedade topolóxica, o que significa que calquera espazo topolóxico homeomórfico a unha n-variedade tamén é unha n-variedade.[5]

A esfera é unha 2-variedade.

Construcións

Existen varios métodos para crear variedades a partir doutras variedades.

Produto de variedades

Se M é unha m-variedade e N é unha -variedade, o produto cartesiano M × N é unha (m + n)-variedade cando se dá a topoloxía do produto.[6]


Unión disxunta

A unión disxunta dunha familia numerábel de n-variedades é unha n-variedade (as pezas deben ter todas a mesma dimensión).[5]

Suma conexa

A suma conexa de dúas n-variedades defínese eliminando unha bola aberta de cada variedade e tomando o cociente da unión disxunta das variedades resultantes con límite, sendo este cociente respecto dun homeomorfismo entre as esferas límite das bólas eliminadas. Isto resulta noutra n-variedade. [5]

Subvariedade

Calquera subconxunto aberto dunha n-variedade é unha n-variedade coa topoloxía relativa ou inducida.[6]

Notas

  1. Rajendra Bhatia (6 June 2011). Proceedings of the International Congress of Mathematicians: Hyderabad, August 19-27, 2010. World Scientific. pp. 477–. ISBN 978-981-4324-35-9. 
  2. 2,0 2,1 John M. Lee (6 April 2006). Introduction to Topological Manifolds. Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-387-22727-6. 
  3. Thierry Aubin (2001). A Course in Differential Geometry. American Mathematical Soc. pp. 25–. ISBN 978-0-8218-7214-7. 
  4. Tammo tom Dieck (2008). Algebraic Topology. European Mathematical Society. pp. 249–. ISBN 978-3-03719-048-7. 
  5. 5,0 5,1 5,2 John Lee (25 December 2010). Introduction to Topological Manifolds. Springer Science & Business Media. pp. 64–. ISBN 978-1-4419-7940-7. 
  6. 6,0 6,1 Jeffrey Lee; Jeffrey Marc Lee (2009). Manifolds and Differential Geometry. American Mathematical Soc. pp. 7–. ISBN 978-0-8218-4815-9. 

Véxase tamén

Bibliografía



Read other articles:

Eparki Santo Vladimir-Le-Grand de ParisEparchia Sancti Vladimiri Magni in urbe Parisiensi pro Ucrainis ritus ByzantiniDiocèse de Saint-Vladimir-le-Grand de ParisGereja Katolik Yunani Ukraina Katedral St. VladimirLokasiNegara PrancisMetropolitSubyek langsung Tahta SuciStatistikPopulasi- Katolik(per 2013)25,400Paroki16InformasiDenominasiGereja Katolik Yunani UkrainaGereja sui iurisGereja Katolik Yunani UkrainaRitusRitus BizantiumPendirian22 Juli 1960KatedralKatedral St. Vladimir...

 

Finnish ice hockey player (born 1989) Ice hockey player Antti Raanta Raanta with the Carolina Hurricanes in 2023Born (1989-05-12) 12 May 1989 (age 34)Rauma, FinlandHeight 6 ft 0 in (183 cm)Weight 193 lb (88 kg; 13 st 11 lb)Position GoaltenderCatches LeftNHL team (P)Cur. teamFormer teams Carolina HurricanesChicago Wolves (AHL)LukkoÄssätChicago BlackhawksNew York RangersArizona CoyotesNational team  FinlandNHL Draft UndraftedPlaying caree...

 

ساراتوف    علم شعار الاسم الرسمي (بالروسية: Саратов)‏  الإحداثيات 51°32′00″N 46°00′00″E / 51.533333333333°N 46°E / 51.533333333333; 46  تاريخ التأسيس 1590  تقسيم إداري  البلد روسيا (26 ديسمبر 1991–) الاتحاد السوفيتي (30 ديسمبر 1922–25 ديسمبر 1991) جمهورية روسيا الاتحادية الاشت�...

كانت الأناركية الأرجنتينية أقوى حركة من هذا النوع في أمريكا الجنوبية.[1] كانت أقوى حركة بين عام 1890 وبداية سلسلة من الحكومات العسكرية عام 1930. سيطر عليها الشيوعيون الأناركيون والنقابيون الأناركيون خلال هذه الفترة. تُعد نظريات الحركة مزيجًا من الفكر الأناركي الأوروبي وا�...

 

Ne doit pas être confondu avec Frédéric-Guillaume Ier de Brandebourg. Si ce bandeau n'est plus pertinent, retirez-le. Cliquez ici pour en savoir plus. Cet article ne cite pas suffisamment ses sources (novembre 2013). Si vous disposez d'ouvrages ou d'articles de référence ou si vous connaissez des sites web de qualité traitant du thème abordé ici, merci de compléter l'article en donnant les références utiles à sa vérifiabilité et en les liant à la section « Notes et réf�...

 

Federalist Paper by John Jay Federalist No. 2 John Jay, author of Federalist No. 2AuthorJohn JayOriginal titleConcerning Dangers from Foreign Force and InfluenceCountryUnited StatesLanguageEnglishSeriesThe FederalistPublisherThe Independent JournalPublication dateOctober 31, 1787Media typeNewspaperPreceded byFederalist No. 1 Followed byFederalist No. 3 TextFederalist No. 2 at Wikisource Federalist No. 2, titled Concerning Dangers From Foreign Force and Influence...

Questa voce sugli argomenti allenatori di calcio svizzeri e calciatori svizzeri è solo un abbozzo. Contribuisci a migliorarla secondo le convenzioni di Wikipedia. Segui i suggerimenti dei progetti di riferimento 1, 2. Fernand Jaccard Nazionalità  Svizzera Altezza 176 cm Calcio Ruolo Allenatore (ex Centrocampista) Carriera Squadre di club1 1924-1927 La Chaux-de-Fonds? (?)1934-1936 Montreux-Sports? (?)1936-1940 Basilea? (?) Nazionale 1934-1936 Svizzera12 (0) Carriera...

 

This article needs additional citations for verification. Please help improve this article by adding citations to reliable sources. Unsourced material may be challenged and removed.Find sources: Maizerets – news · newspapers · books · scholar · JSTOR (December 2016) (Learn how and when to remove this template message) Church in Québec ville, Québec, Cánada Maizerets is a neighbourhood of the la Cité-Limoilou borough of Quebec City, Quebec, Canada t...

 

County in Michigan, United States County in MichiganKeweenaw CountyCountyKeweenaw County Courthouse (built 1866) in Eagle RiverLocation within the U.S. state of MichiganMichigan's location within the U.S.Coordinates: 47°29′N 88°10′W / 47.48°N 88.16°W / 47.48; -88.16Country United StatesState MichiganFoundedMarch 11, 1861[1][2]Named forKeweenaw BaySeatEagle RiverLargest settlementMohawk (CDP)Ahmeek (village)Area • Total5,966...

Railway station in Liège, Belgium Liège station redirects here. For the Paris Métro station, see Liège station (Paris Métro). Liège-GuilleminsRailway StationLiège-Guillemins railway stationGeneral informationLocationPlace des Guillemins,4000 LiègeBelgiumCoordinates50°37′29″N 5°34′01″E / 50.62472°N 5.56694°E / 50.62472; 5.56694Owned bySNCB/NMBSOperated bySNCB/NMBSLine(s)4, 34, 36, 37, 40, 43, 125Platforms5Tracks10ConstructionArchitectSantiago Calatra...

 

Enzyme Not to be confused with polynucleotide phosphorylase. This article includes a list of general references, but it lacks sufficient corresponding inline citations. Please help to improve this article by introducing more precise citations. (September 2017) (Learn how and when to remove this message)purine-nucleoside phosphorylasepurine-nucleoside phosphorylase. PDB 1rct.[1]IdentifiersEC no.2.4.2.1CAS no.9030-21-1 DatabasesIntEnzIntEnz viewBRENDABRENDA entryExPASyNiceZyme viewKEGGK...

 

Holding company Pacific Premier Bancorp, Inc.Company typePublicTraded asNasdaq: PPBIS&P 600 componentIndustryFinancial servicesFounded1983; 41 years ago (1983)HeadquartersIrvine, California[1], U.S.Key peopleM. Christian Mitchell (Lead Director)Steven Gardner (chairman & CEO)Operating income US$ 180.03  million (2022)[2]Net income US$ 73.363 billion (2022)[2]Total assets US$ 21.62  billion (2022)[2]Total equity US$ ...

Mariotto di Nardo Mariotto di Nardo (1365 circa – 1424) è stato un pittore italiano. Indice 1 Biografia 2 Vita e opere 3 Opere 4 Note 5 Bibliografia 6 Altri progetti 7 Collegamenti esterni Biografia I primi documenti che riguardano Mariotto di Nardo di Cione, probabilmente figlio del pittore trecentesco Nardo di Cione e dunque nipote di Andrea Orcagna, risalgono al 1389 (iscrizione all'arte dei medici e degli speziali), ma i primi dipinti a lui riferibili su base stilistica possono porsi a...

 

Questa voce sull'argomento società calcistiche faroesi è solo un abbozzo. Contribuisci a migliorarla secondo le convenzioni di Wikipedia. NSÍ RunavíkCalcio Segni distintiviUniformi di gara Casa Trasferta Colori socialiGiallo, nero Dati societariCittàRunavík Nazione Fær Øer ConfederazioneUEFA Federazione FSF CampionatoFormuladeildin Fondazione1957 Presidente Kinna F. Olsen Allenatore Glenn Ståhl StadioStadio Runavík(4.000 posti) Sito webwww.nsi.fo PalmarèsTitoli nazionali...

 

ГородДартмутангл. Dartmouth 50°21′03″ с. ш. 3°34′44″ з. д.HGЯO Страна  Великобритания Регион Юго-Западная Англия Графство Девон Неметрополитенский район Саут-Хэмс Мэр Роб Лайон История и география Часовой пояс UTC±0:00, летом UTC+1:00 Население Население 5064 человека (201...

This article relies largely or entirely on a single source. Relevant discussion may be found on the talk page. Please help improve this article by introducing citations to additional sources.Find sources: Folk play – news · newspapers · books · scholar · JSTOR (May 2024) A mummers play in Poland Folk plays such as Hoodening, Guising, Mummers Play and Soul Caking are generally verse sketches performed in countryside pubs in European countries, private h...

 

Indian-born Canadian-British director, photographer, artivist and lecturer Indrani Pal-ChaudhuriIndrani receiving a 2019 Tribeca Disruptive Innovation AwardBorn1983 (age 40–41)Kolkata, West Bengal, IndiaNationalityJamaicanCanadianBritishEducationPrinceton University (Cultural Anthropology)OccupationsFilm directorphotographerwriterproducerDirector of education foundationformer model and actresspublic speakeracademic lecturerAwardsMax Mark-Cranbrook 2019 Global Peace MakerUnited Nati...

 

French cyclist Emmanuel MagnienEmmanuel Magnien at the 1997 Paris–ToursPersonal informationBorn (1971-05-07) 7 May 1971 (age 53)Sedan, Ardennes, FranceTeam informationCurrent teamRetiredDisciplineRoadCyclo-crossRoleRiderAmateur teams1992VC Nouzonville1992Castorama (stagiaire) Professional teams1993–1995Castorama1996–1997Festina–Lotus1998–2001Française des Jeux2002–2003Bonjour Major wins Tour de l'Avenir (1995) Tour Méditerranéen (1997) Grand Prix d'Ouverture La Marsei...

経済学者の「黒川俊雄」とは別人です。 東北大学学長時代 黒川 利雄(くろかわ としお、1897年〈明治30年〉1月15日 - 1988年〈昭和63年〉2月21日)は、日本の内科学者、医学博士。東北大学医学部教授・学部長、同大学第10代総長。専門は内科学、消化器病学、臨床放射線学、特に消化管のレントゲン診断学。財団法人宮城県対がん協会を設立、日本初のがん集団検診(胃�...

 

English-based creole spoken in Hawaiʻi Not to be confused with Pidgin Hawaiian. This article needs additional citations for verification. Please help improve this article by adding citations to reliable sources. Unsourced material may be challenged and removed.Find sources: Hawaiian Pidgin – news · newspapers · books · scholar · JSTOR (September 2024) (Learn how and when to remove this message) Hawaiian PidginHawaiʻi Creole EnglishNative toHawai...