En matemáticas, un polinomio cadrático é un polinomio de grao dous nunha ou máis variables. Unha función cadrática é a función polinómica definida por un polinomio cadrático.

Por exemplo, unha función cadrática cun unha única variábel ten a forma ^[1]

${\displaystyle f(x,y,z)=ax^{2}+by^{2}+cz^{2}+dxy+exz+fyz+gx+hy+iz+j,}$

onde x é a súa variable. A gráfica dunha función cadrática univariada é unha parábola, unha curva que ten un eixe de simetría paralelo ao eixe y.

O caso bivariábel en termos de variabeis x e y ten a forma

${\displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c,\quad a\neq 0,}$

con polo menos un de a, b, c non igual a cero. Os ceros desta función cadrática son, en xeral, unha sección cónica (un círculo ou outra elipse, unha parábola ou unha hipérbole ).

Unha función cadrática en tres variabeis x, y, e z contén exclusivamente termos x², y², z², xy, xz, yz, x, y, z e unha constante:

${\displaystyle f(x,y)=ax^{2}+bxy+cy^{2}+dx+ey+f,}$

Unha función cadrática pode ter un número arbitrariamente grande de variabeis.

Os coeficientes dunha función cadrática adoitan ser números reais ou complexos, mais pódense tomar en calquera anel, nese caso o dominio e o codominio son ese anel (ver avaliación polinomial).

Cando se usa o termo "polinomio cadrático", os autores normalmente queren dicir "ter o grao exactamente 2", mais ás veces pode ser "ter o grao como máximo 2". Se o grao é inferior a 2, pódese denominar como un " caso dexenerado ". Normalmente o contexto establecerá cal dos dous quere dicir.

Un polinomio cadrático pode implicar unha única variábel x (o caso univariábel) ou varias variabeis como x, y e z (o caso multivariábel).

Calquera polinomio cadrático dunha soa variábel pódese escribir como

${\displaystyle ax^{2}+bx+c,}$

onde x é a variábel e a, b e c representan os coeficientes. Tales polinomios xorden a miúdo nunha ecuación de segundo grao ${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0.}$ As solucións desta ecuación chámanse raíces e pódense expresar en termos de coeficientes como a fórmula cadrática. Cada polinomio cadrático ten asociada unha función cadrática, cuxa gráfica é unha parábola.

Calquera polinomio cadrático con dúas variabeis pódese escribir como

${\displaystyle ax^{2}+by^{2}+cxy+dx+ey+f,}$

onde x e y son as variabeis e a, b, c, d, e, f son os coeficientes, e un de a, b e c é distinto de cero. Estes polinomios son fundamentais para o estudo das seccións cónicas, xa que a ecuación implícita dunha sección cónica obtense igualando a cero un polinomio cadrático, e os ceros dunha función cadrática forman unha sección cónica (posiblemente dexenerada).

Do mesmo xeito, os polinomios cadráticos con tres ou máis variabeis corresponden a superficies cádricas ou hipersuperficies.

Os polinomios cadráticos que só teñen termos de grao dous chámanse formas cadráticas.

Unha función cadrática univariábel pódese expresar en tres formatos:^[2]

• ${\displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c}$ chámase forma estándar ,
• ${\displaystyle f(x)=a(x-r_{1})(x-r_{2})}$ chámase forma factorizada, onde r₁ e r₂ son as raíces da función cadrática e as solucións da ecuación cadrática correspondente.
• ${\displaystyle f(x)=a(x-h)^{2}+k}$ chámase forma de vértice, onde h e k son as coordenadas x e y do vértice, respectivamente.

O coeficiente a é o mesmo valor nas tres formas. Para converter a forma estándar en forma factorizada só se necesita a fórmula cadrática para determinar as dúas raíces r₁ e r₂. Para converter a forma estándar en forma de vértice, necesítase un proceso chamado completar o cadrado. Para converter a forma factorizada (ou forma de vértice) a forma estándar, hai que multiplicar, expandir e/ou distribuír os factores.

Independentemente do formato, a gráfica dunha función cadrática univariábel ${\displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c}$ é unha parábola (como se mostra á dereita). De forma equivalente, esta é a gráfica da ecuación cadrática bivariábel ${\displaystyle y=ax^{2}+bx+c}$ .

• Se a > 0, a parábola ábrese cara arriba.
• Se a < 0, a parábola ábrese cara abaixo.

O coeficiente a controla o grao de curvatura da gráfica; unha maior magnitude de a dálle á gráfica unha aparencia máis pechada (con curvas pronunciadas).

Os coeficientes b e a controlan xuntos a localización do eixe de simetría da parábola (tamén a coordenada x do vértice e o parámetro h na forma do vértice) que está en

${\displaystyle x=-{\frac {b}{2a}}.}$

O coeficiente c controla a altura da parábola; máis concretamente, é a altura da parábola onde intercepta o eixe y.

O vértice dunha parábola é o lugar onde xira; polo tanto, tamén se lle chama punto de inflexión. Se a función cuadrática está en forma de vértice, o vértice é (h, k).

Usando o cálculo, o punto vértice, como é un máximo ou mínimo da función, pódese obter atopando as raíces da derivada:

${\displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c\quad \Rightarrow \quad f'(x)=2ax+b}$

x é a raíz de f '(x) if f '(x) = 0 resultando en

${\displaystyle x=-{\frac {b}{2a}}}$

co valor da función correspondente

${\displaystyle f(x)=a\left(-{\frac {b}{2a}}\right)^{2}+b\left(-{\frac {b}{2a}}\right)+c=c-{\frac {b^{2}}{4a}},}$

polo que as coordenadas do punto vértice, (h, k), pódense expresar como

${\displaystyle \left(-{\frac {b}{2a}},c-{\frac {b^{2}}{4a}}\right).}$

As raíces (ou ceros), r₁ e r₂, da función cadrática univariábel

${\displaystyle {\begin{aligned}f(x)&=ax^{2}+bx+c\\&=a(x-r_{1})(x-r_{2}),\\\end{aligned}}}$

son os valores de x para os que f(x) = 0.

Cando os coeficientes a, b e c, son reais ou complexos, as raíces o son

${\displaystyle r_{1}={\frac {-b-{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}},}$

${\displaystyle r_{2}={\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}.}$

Unha función cadrática bivariábel é un polinomio de segundo grao da forma

${\displaystyle f(x,y)=Ax^{2}+By^{2}+Cx+Dy+Exy+F,}$

onde A, B, C, D e E son coeficientes fixos e F é o termo constante. Tal función describe unha superficie cadrática. Se facemos ${\displaystyle f(x,y)}$ igual a cero describe a intersección da superficie co plano ${\displaystyle z=0,}$ que é un lugar xeométrico de puntos equivalente a unha sección cónica.

Wikimedia Commons ten máis contidos multimedia na categoría:  Función cadrática

• Forma cadrática
• Ecuación de segundo grao
• Cádrica

• Weisstein, Eric W. "Quadratic". MathWorld.