Unha curva é unha liña continua, que cambia paulatinamente de dirección. Exemplos de curvas pechadas son a elipse ou a circunferencia, e de curvas abertas a parábola, a hipérbole ou a catenaria. A recta sería o caso límite dun círculo de raio de curvatura infinito. Todas as curvas teñen dimensión igual a 1.

Un conxunto ${\displaystyle \gamma }$ de puntos do espazo chámase curva elemental se é a imaxe obtida no espazo por unha aplicación continua dun segmento aberto de recta.^[1]

Sendo ${\displaystyle \gamma }$ unha curva elemental e sendo ${\displaystyle a<t<b}$ o segmento aberto no que está definida a aplicación ${\displaystyle f=(f_{1},f_{2},f_{3})}$ que determina a curva, ao sistema de igualdades

${\displaystyle x=f_{1}(t),y=f_{2}(t),z=f_{3}(t)}$

chámanselle ecuacións paramétricas da curva ${\displaystyle \gamma }$.^[1]

Unha curva plana é aquela que reside nun só plano e pode ser aberta ou pechada. A representación gráfica dunha función real dunha variable real é unha curva plana.

Unha curva é diferenzable cando a función ${\displaystyle \mathbf {x} \colon [a,b]\subset \mathrm {I} \to \mathbb {R} ^{n}}$ é diferenciable. Se ademais a función anterior é inxectiva no intervalo ${\displaystyle (a,b)\,}$ entón a curva admite un vector tanxente único en cada punto i é rectificable, o que significa que a súa lonxitude de arco está ben definida i é posible calcular a súa lonxitude. A curva ${\displaystyle \mathbf {x} \colon [0,\infty )\to \mathbb {R} ^{n}}$ :

${\displaystyle \mathbf {x} (t)={\begin{cases}(t,t\sin \left({\frac {1}{t}}\right))&t>0\\(0,0)&t=0\end{cases}}}$

é continua pero non diferenciable, polo que a súa lonxitude entre o punto (0,0) e calquera outro punto da mesma non pode calcularse.

Unha curva diferenciable es pechada cando ${\displaystyle \mathbf {x} \colon [a,b]\to \mathbb {R} ^{n}}$ cando ${\displaystyle \mathbf {x} (a)=\mathbf {x} (b)}$. Se ademais, a función ${\displaystyle \mathbf {x} }$ é inxectiva no intervalo ${\displaystyle (a,b)\,}$ entón dise que a curva é unha curva pechada simple. Unha curva pechada simple é homeomorfa ao círculo ${\displaystyle S^{1}}$, é dicir, ten a mesma topoloxía dun anel. A curva ${\displaystyle \mathbf {x} \colon [0,1]\to \mathbb {R} ^{n}}$ dada por:

${\displaystyle \mathbf {x} (t)=(a\cos(2\pi t),b\sin(2\pi t))}$

é unha curva diferenciable pechada, que resulta ser unha elipse de semieixos a e b.

Chámase curva suave á curva que non posúe puntos angulosos, coma por exemplo o círculo, a elipse ou a parábola.

Formalmente, dada unha curva C representada pola ecuación paramétrica:

${\displaystyle {\begin{cases}x=f(t)\\y=g(t)\end{cases}}}$

nun intervalo I calquera, é suave se as súas derivadas son continuas no intervalo I e non son simultaneamente nulas, excepto posiblemente nos puntos terminais do intervalo.

Wikimedia Commons ten máis contidos multimedia na categoría:  Curvas

Este artigo sobre matemáticas é, polo de agora, só un bosquexo. Traballa nel para axudar a contribuír a que a Galipedia mellore e medre.  Existen igualmente outros artigos relacionados con este tema nos que tamén podes contribuír.