Na xeometría, arco é calquera curva continua que une dous puntos.^[1] Existen arco de circunferencia, de elipse, de parábola e outras figuras xeométricas.

O arco circunferencia fica definido por tres puntos, ou dous puntos extremos e o raio ou a corda da circunferencia. A corda une os dous extremos do arco, estando a frecha unindo os puntos medios.

No longo da historia das matemáticas moitos grandes pensadores consideraron imposible calcular a lonxitude dun arco irregular. Arquimedes ideou un método por aproximación de rectángulos para calcular a área dun polígono curvilíneo mediante o método de exhaustión, aínda que poucos creron que era posible que unha curva tivese unha lonxitude medible como as da liñas rectas.

As primeiras medicións fixéronse a través de métodos de aproximación. Os matemáticos da época empezaron a trazar polígonos dentro da curva, e calculando a lonxitude dos lados destes, obtendo así a lonxitude aproximada da curva. Cantos máis segmentos se usasen, máis diminuía a lonxitude de cada segmento, e obtíñase unha aproximación cada vez mellor.

Nesta época, o método de esgotamento levou á rectificación por métodos xeométricos de moitas curvas transcendentais: a espiral logarítmica por Torricelli en 1645 (algúns pensan que foi John Wallis en 1650); o cicloide por Christopher Wren en 1658, e a catenaria por Gottfried Leibniz en 1691.

Determinar a lonxitude dun arco dun segmento irregular, facer a rectificación dunha curva, historicamente foi difícil. Aínda que foron utilizados varios métodos para curvas específicas, a chegada do cálculo trouxo consigo fórmulas xerais que daban solucións concretas para algúns casos.

A lonxitude dun arco de circunferencia de radio r e ángulo θ (medido en radiáns), con centro na orixe, é igual a θr. Para un ángulo α, medido en graos, a lonxitude en radiáns é α/180° × π, sendo a lonxitude de arco igual a (α/180°)πr.

Ao considerar unha función ${\displaystyle f\left(x\right)}$ e a súa respectiva derivada ${\displaystyle f'\left(x\right)}$, que son continuas nun intervalo [a, b], a lonxitude do arco delimitado por a e b vén dada pola fórmula:

${\displaystyle s=\int _{a}^{b}{\sqrt {1+\left[f'\left(x\right)\right]^{2}}}\,dx}$

Se a función está definida parametricamente, onde ${\displaystyle x=f\left(t\right)}$ e ${\displaystyle y=g\left(t\right)}$:

${\displaystyle s=\int _{a}^{b}{\sqrt {\left[f'\left(t\right)\right]^{2}+\left[g'\left(t\right)\right]^{2}}}\,dt}$

Se a función está en coordenadas polares, onde a coordenada radial e o ángulo están relacionados ${\displaystyle r=f(\theta )}$, a lonxitude dunha curva redúcese a:

${\displaystyle s=\int _{a}^{b}{\sqrt {r^{2}+\left[{\frac {dr}{d\theta \ }}\right]^{2}}}\,d\theta \ }$

Na maioría dos casos non hai unha solución dispoñible e será necesario usar métodos de integración. Por exemplo, aplicar esta fórmula a unha elipse levaría a unha integral elíptica de segunda orde.

Entre as curvas con solucións coñecidas están a circunferencia, catenaria, cicloide, espiral logarítmica e parábola.

A lonxitude de arco é unha medida da lonxitude dun arco dunha curva calquera, se vén dada en coordenadas cartesianas, a lonxitude de arco pode calcularse como:

${\displaystyle L_{a}=\int _{x_{1}}^{x_{2}}{\sqrt {1+f'(x)^{2}}}\ dx}$

Se a curva vén especificada en coordenadas polares, a lonxitude entre o ángulo ${\displaystyle \phi _{1}}$ e ${\displaystyle \phi _{2}}$ vén dada por:

${\displaystyle L_{a}=\int _{\phi _{1}}^{\phi _{2}}{\sqrt {\rho '(\phi )^{2}+\rho (\phi )^{2}}}\ d\phi }$

Desta última dedúcese que para unha circunferencia, dado que ${\displaystyle \scriptstyle \rho (\phi )=R}$ e ${\displaystyle \scriptstyle \rho '(\phi )=0}$, a lonxitude de arco pode expresarse simplemente como:

${\displaystyle L_{a}=R(\phi _{2}-\phi _{1})\,}$

• Spiegel, Murray R.; Abellanas, Lorenzo (1992). Fórmulas y tablas de matemática aplicada. Aravaca (Madrid): McGraw-Hill. ISBN 84-7615-197-7. 

• Arc, en mathworld