En astrophysique, dans le cadre de la relativité générale, la métrique de Schwarzschild est une solution des équations d'Einstein.

La métrique s'interprète comme décrivant le champ gravitationnel au voisinage^[1],[2],[3] externe^[4] d'un corps isolé^[4], à symétrie sphérique^[4], statique^[4] (sans rotation), non chargé et entouré de vide. Cette masse peut être une étoile, une planète ou un trou noir de Schwarzschild.

On ne prend pas en compte ici le rayon de la sphère, ni même sa densité, on considère seulement que la masse est concentrée en dessous de r (distance radiale), la métrique est donc valide uniquement à l’extérieur de la sphère.

La plupart des tests de la relativité générale dans le Système solaire sont basés sur l'étude des géodésiques de cette métrique^[5].

La métrique de Schwarzschild est l'analogue, en relativité générale, du champ gravitationnel d'une masse ponctuelle en gravitation newtonienne^{[6],[7],[8],[9],[10],[11]}.

L'équation d'Einstein, dont la métrique est une solution, est l'équation pour le vide ${\displaystyle \left(T_{\mu \nu }=0\right)}$^[12] et en l'absence de constante cosmologique ${\displaystyle \left(\Lambda =0\right)}$^[12].

L'espace-temps, dont la métrique décrit la géométrie, a quatre dimensions^{[12],[13],[14]} ; il est vide^[13] mais courbe^{[13],[N 1]} ; sa courbure n'est pas constante^[16] et il est asymptotiquement plat^[17],[18] ; il est à symétrie sphérique^{[14],[17],[19]} et stationnaire^[17],[20] ; il est statique^[17],[20] à l'extérieur d'un rayon critique : le rayon de Schwarzschild ${\displaystyle \left(R_{\mathrm {S} }\right)}$^[21] ; et, lorsque le vide s'étend au-delà de ce rayon, la métrique met en évidence un trou noir^[22] : le trou noir de Schwarzschild^[23].

L'éponyme^[24] de la métrique de Schwarzschild est l'astronome allemand Karl Schwarzschild (1873-1916) qui l'a découverte en décembre 1915^[25]. Elle est la première^{[26],[24],[27]} solution exacte^{[N 2]} à l'équation du champ gravitationnel d'Albert Einstein^{[29],[30],[28],[31]} comprenant une masse. Schwarzschild l'a obtenue à partir de la version de l'équation énoncée par Einstein dans son article sur l'avance du périhélie de Mercure, publié le 25 novembre 1915^[28].

La métrique de Schwarzschild est parfois dite « extérieure » afin de la distinguer de celle, dite « intérieure », qui est la seconde solution exacte à l'équation d'Einstein découverte par Schwarzschild^{[32],[33],[34]}.

En 1859, Urbain Le Verrier (1811-1877) présente une étude de l'orbite de Mercure qui montre que l'avance de son périhélie ne peut pas s'expliquer par les perturbations causées par les autres planètes connues du Système solaire^[35]. En 1882, Simon Newcomb (1835-1909) obtient les mêmes résultats^[36]. En 1889, Félix Tisserand (1845-1896) conclut son Traité de mécanique céleste en écrivant que l'anomalie de l'avance du périhélie de Mercure est la plus grande énigme astronomique de l'époque^[36]. Dès 1907, Albert Einstein (1879-1955) envisage d'y répondre dans le cadre d'une théorie relativiste de la gravitation qui deviendra la relativité générale^[37],[38]. En 1915, il publie un article dans lequel il retrouve le résultat^[38]. C'est le « premier triomphe » de sa théorie^[38].

La motivation de Karl Schwarzschild est de trouver une solution exacte de l'équation d'Einstein qui décrive l'orbite d'une planète autour du Soleil^[39].

Schwarzschild annonce sa découverte par deux lettres datées du 22 décembre 1915 : l'une adressée à Einstein^[28] ; et l'autre, à Arnold Sommerfeld (1868-1951)^{[40],[N 3]}. Sa solution est présentée le 13 janvier 1916 à l'Académie royale des sciences de Prusse qui, le 3 février 1916, la publie dans ses comptes rendus^[41].

Peu de temps après Schwarzschild et indépendamment^[42] de lui, Johannes Droste (1886-1963), mathématicien néerlandais alors étudiant d'Hendrik Lorentz à l'université de Leyde, découvre la solution^[28],[43]. Le 27 mai 1916, il communique ses résultats à l'Académie royale néerlandaise des arts et des sciences^[44],[45].

La métrique de Schwarzschild permet de décrire la géométrie de l'espace-temps (sa courbure), et donc le champ gravitationnel, en donnant l'expression de l'intervalle d'espace-temps en tout point, dans des coordonnées sphériques centrée sur la sphère massive. Cet intervalle, qui a la dimension d'une longueur, est représentatif de la courbure de l'espace temps en donnant la longueur d'un déplacement infinitésimal à partir d'un point considéré. Cette longueur est égale à celle du théorème de Pythagore quand la courbure est nulle (espace euclidien), et en diffère quand la courbure est non nulle.

La métrique de Schwarzschild s'exprime dans un système de coordonnées d'espace-temps dites coordonnées de Schwarzschild^{[4],[46],[47],[48],[N 4]} et notées (x^μ) = (ct, r, θ, φ)^[4],[52] où t est la coordonnée de temps d'un point-évènement et r, θ et φ ses trois coordonnées d'espace :

• ${\displaystyle t}$ est la coordonnée de temps^{[N 5]} auquel on considère le point (mesuré par une horloge située à une distance infinie de l'objet massif) ;
• ${\displaystyle r}$ est la coordonnée radiale^{[N 6]} du point (mesurée comme la circonférence, divisée par 2π, de la sphère centrée sur l'objet massif et passant par le point) ;
• ${\displaystyle \theta }$ et ${\displaystyle \varphi }$ sont les deux coordonnées angulaires du point sur la sphère^[59] :
  • ${\displaystyle \theta }$ est la colatitude^{[60],[N 7]} du point (en radians)^[62] ;
  • ${\displaystyle \varphi }$ est la longitude^{[60],[N 8]} du point (en radians)^[62].

Dans ce système de coordonnées, la métrique de Schwarzschild a la forme^{[63],[64],[65]} :

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {d} s^{2}=-\,c^{2}\mathrm {d} \tau ^{2}&=-\left(1-{\frac {2GM}{c^{2}r}}\right)c^{2}\mathrm {d} t^{2}+{\frac {\mathrm {d} r^{2}}{1-{\frac {2GM}{c^{2}r}}}}+r^{2}\left(\mathrm {d} \theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \,\mathrm {d} \varphi ^{2}\right)\\&=-\left(1-{\frac {2GM}{c^{2}r}}\right)c^{2}\mathrm {d} t^{2}+\left(1-{\frac {2GM}{c^{2}r}}\right)^{-1}\mathrm {d} r^{2}+r^{2}\left(\mathrm {d} \theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \,\mathrm {d} \varphi ^{2}\right)\\&=-\left(1-{\frac {R_{\mathrm {S} }}{r}}\right)c^{2}\mathrm {d} t^{2}+\left(1-{\frac {R_{\mathrm {S} }}{r}}\right)^{-1}\mathrm {d} r^{2}+r^{2}\mathrm {d} \Omega ^{2},\end{aligned}}}$

où :

• ${\displaystyle \mathrm {d} s}$ est l'intervalle d'espace-temps d'un déplacement infinitésimal (dt, dr, dθ, dφ) à partir du point P ;
• ${\displaystyle G}$ est la constante gravitationnelle ;
• ${\displaystyle c}$ est la vitesse de la lumière ;
• ${\displaystyle M}$ est la masse de l'objet ;
• ${\displaystyle R_{\mathrm {S} }={\frac {2GM}{c^{2}}}}$ est le rayon de Schwarzschild associé à l'objet massif ;
• ${\displaystyle \mathrm {d} \Omega ^{2}=\mathrm {d} \theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \,\mathrm {d} \varphi ^{2}}$.

L'intervalle de temps propre s'écrit^[66] :

${\displaystyle \mathrm {d} \tau ^{2}=-{\frac {\mathrm {d} s^{2}}{c^{2}}}=\left(1-{\frac {R_{\mathrm {S} }}{r}}\right)\mathrm {d} t^{2}-{\frac {1}{c^{2}}}\left[\left(1-{\frac {R_{\mathrm {S} }}{r}}\right)^{-1}\mathrm {d} r^{2}+r^{2}\mathrm {d} \Omega ^{2}\right]}$.

En unités géométriques, la métrique s'écrit^[67],[68] :

${\displaystyle \mathrm {d} s^{2}=-\,\mathrm {d} \tau ^{2}=-\left(1-{\frac {2m}{r}}\right)\mathrm {d} t^{2}+\left(1-{\frac {2m}{r}}\right)^{-1}\mathrm {d} r^{2}+r^{2}\mathrm {d} \Omega ^{2}.}$

Si M = 0, la métrique de Schwarzschild se réduit à celle de Minkowski^[69].

Si M ≠ 0, la métrique est singulière en r = 0^[69].

Si M < 0, la singularité de la métrique en r = 0 est une singularité nue^[70].

Si M > 0, la métrique est singulière en r = 2GM/c².

L'espace-temps de Schwarzschild^[69] est une variété d'espace-temps dont la topologie, définie à partir du domaine de validité de la métrique pour ${\displaystyle M>0}$, est le produit^[69] :

${\displaystyle \left(\mathbb {R} ^{3}\cap \left\{r>a>{\frac {2GM}{c^{2}}}\right\}\right)\times \mathbb {R} \cong S^{2}\times \mathbb {R} _{+}\times \mathbb {R} }$,

où ${\displaystyle a}$ est le rayon du corps de masse ${\displaystyle M}$^[69].

Ainsi défini, l'espace-temps de Schwarzschild est une variété à bord^[71]. Son complément^[71] pour ${\displaystyle r<{\frac {2GM}{c^{2}}}}$ est le trou noir de Schwarzschild^[72].

L'absence du paramètre t dans l'expression de la métrique signifie que celle-ci ne varie pas avec le temps et est statique. La courbure en un point de l'espace temps reste la même quel que soit t. De même, l'absence de termes mixtes avec le temps (comme ${\displaystyle \mathrm {d} \varphi \mathrm {d} t}$ par exemple) indique que le champ gravitationnel ne provoque pas de mise en rotation de l'espace temps (comme dans l'effet Lense-Thirring), ce qui est cohérent avec la supposition initiale que l'astre n'est pas en rotation^[73].

Si on prend dr = 0 et dt = 0 (r constant et t constant), alors la métrique se réduit à ${\displaystyle r^{2}\left(\mathrm {d} \theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \,\mathrm {d} \varphi ^{2}\right)}$ qui n'est autre que le carré de la distance sur une sphère de rayon r dans un espace euclidien. Il s'ensuit que r doit être par définition mesuré de telle manière que cette expression soit vraie, et non pas par une mesure de la véritable distance entre le centre de la masse et le point^[73]. Pour donner une mesure à la coordonnée de Schwarzschild r en un point, il faut partir de la mesure de la circonférence de la sphère centrée sur l'objet massif, et passant par le point, et diviser par 2π. Dans l'espace-temps déformé de la relativité générale, on ne retombe pas forcément par ce calcul sur la distance radiale R entre le centre et le point, où la circonférence d'un cercle peut être supérieure ou inférieure à 2πR, selon que la courbure est positive ou négative^[73].

On pourrait donner une expression de la même métrique utilisant la distance radiale, mais elle serait plus compliquée et moins utilisable. La relativité générale permettant l'utilisation de n'importe quel référentiel, aucun n'étant physiquement supérieur à un autre, on est libre d'utiliser n'importe quel système de coordonnées pour décrire la métrique, où le critère de choix sera plutôt le caractère utilisable de la métrique. D'ailleurs, d'autres systèmes de coordonnées existent pour décrire cette métrique, comme les coordonnées de Kruskal-Szekeres, décrites plus loin, qui choisit de mélanger même l'espace et le temps dans ses coordonnées.

r croît de manière monotone avec la distance radiale l, distance propre au centre de l'objet massif, dans le référentiel de l'objet massif. C'est-à-dire que si l est distance radiale correspondant à r et l′ correspondant à r′ alors ${\displaystyle r>r'\Leftrightarrow l>l'}$. Mais r croit plus lentement que l^{[TWM 1]}.

La relation qui relie les deux coordonnées est ${\displaystyle \mathrm {d} r=\pm (1-{\frac {2m(r)}{r}})\mathrm {d} l}$^{[TWM 1]}.

${\displaystyle m(r)}$ est la masse de l'objet incluse dans une sphère de rayon r (en coordonnées de Schwarzschild). ${\displaystyle m(r)\propto r^{3}}$ tant que r est inférieur au rayon de l'objet, et ${\displaystyle m(r)=M}$, masse de l'objet, si r est supérieur au rayon de l'objet. Pour un trou noir ${\displaystyle m(r)=M}$ pour tout r > 0.

La fonction est monotone tant que ${\displaystyle {\frac {2m(r)}{r}}<1}$, ce qui est assuré pour un objet statique, ce qui est un des prérequis pour la métrique de Schwarzschild^{[TWM 1]}. Le facteur ${\displaystyle (1-{\frac {2m(r)}{r}})}$ n'a pas de singularité à r = 2M, car m(r) décroit beaucoup plus vite que r^{[TWM 2]}.

L'espace-temps représenté par cette métrique est asymptotiquement plat. Lorsque ${\displaystyle r\rightarrow \infty }$, la métrique s'approche de celle de Minkowski, et la variété de l'espace-temps ressemble à celle de l'espace de Minkowski (on retrouve seulement le terme en ${\displaystyle r^{2}}$ qui est, comme on l'a vu au paragraphe précédent, la longueur sur une sphère dans un espace plat).

La coordonnée temporelle t est choisie dans cette métrique de manière à être toujours orthogonales avec les dimensions spatiales (les coefficients affectés à ${\displaystyle \mathrm {d} r\mathrm {d} t}$, ${\displaystyle \mathrm {d} \theta \mathrm {d} t}$ et ${\displaystyle \mathrm {d} \varphi \mathrm {d} t}$ sont toujours nuls), pour représenter une véritable coordonnée temporelle. Par conséquent, le temps est forcément le temps Minkowskien, défini par une horloge située à l'infini de l'objet massif^{[TWM 3]}.

Physiquement, on peut mesurer le temps de Schwarzschild t en n'importe quel point, en procédant de la manière suivante. On place une horloge en chaque point de l'espace-temps, et une horloge "maître" est placée à r=infini. Ces horloges suivent des lignes d'univers telles qu'elles sont immobiles les unes par rapport aux autres (photons reçus d'une horloge distante sans décalage vers le rouge). On règle (en rythme et en décalage) les horloges de proche en proche, par rapport à l'horloge "maître" par une synchronisation d'Einstein^{[TWM 3]}.

Cela signifie que le temps de Schwarzschild t a tendance à s'accélérer à mesure qu'on s'approche de ${\displaystyle r_{s}}$ (le temps de l'horloge lointaine tourne de plus en plus vite).

Le théorème de Birkhoff est le théorème d'unicité en vertu duquel la métrique de Schwarzschild est l'unique solution exacte de l'équation d'Einstein décrivant le champ gravitationnel engendré par une distribution de masse de taille finie, à symétrique sphérique et dénuée de charge électrique, dans le vide^[74].

Le scalaire de Kretschmann ${\displaystyle K}$ associé à la métrique de Schwarzschild est égal à^{[75],[76],[77],[78]} :

${\displaystyle K={\frac {48G^{2}M^{2}}{c^{4}r^{6}}}={\frac {12}{r^{6}}}R_{\mathrm {S} }^{2}}$.

${\displaystyle K}$ est proportionnel à ${\displaystyle 1/r^{6}}$^[79] et tend vers zéro lorsque ${\displaystyle r}$ tend vers l'infini.

${\displaystyle K}$ diverge à ${\displaystyle r=0}$ : la singularité en ${\displaystyle r=0}$ est une vraie singularité de courbure^[80] et correspond à une singularité gravitationnelle^[78].

${\displaystyle K}$ a une valeur finie pour ${\displaystyle r=R_{\mathrm {S} }}$ : la singularité en ${\displaystyle r=R_{\mathrm {S} }}$ n'est qu'apparente — c'est une singularité de coordonnées^[80] — qui correspond pas à une singularité gravitationnelle^[78] ; et la métrique est extensible^[76].

L'extension de Kruskal-Szekeres est l'extension analytique^[81] maximale^[82] de la métrique de Schwarzschild. Elle met en évidence que le trou noir de Schwarzschild est un trou noir éternel^[83],[84] — c'est-à-dire qui n'est pas né d'un effondrement gravitationnel^[84].

La métrique de Schwarzschild a été généralisée afin de prendre en compte la constante cosmologique, des paramètres supplémentaires ainsi que des dimensions supplémentaires.

L'horizon de Schwarzschild^[85] est l'horizon des événements du trou noir homonyme.

Lorsque ${\displaystyle r=r_{s}={\frac {2GM}{c^{2}}}}$, le coefficient en ${\displaystyle dr^{2}}$ de la métrique tend vers l'infini. On nomme ce rayon l'horizon des événements. Lorsque ${\displaystyle r<r_{s}}$ on peut voir que le rôle de ${\displaystyle r}$ et ${\displaystyle t}$ comme coordonnée spatiale et temporelle est inversé. Dans la région ${\displaystyle r>r_{s}}$, la direction de ${\displaystyle t}$ est du type temps et celle de ${\displaystyle r}$ de type espace. La direction s'inverse lorsqu'un observateur franchit l'horizon des événements. Cela signifie qu'à l'intérieur du rayon de Schwarzschild, la distance d'un observateur à ${\displaystyle r}$ est une mesure temporelle !

Cette singularité de la métrique quand ${\displaystyle r=r_{s}}$ n'est qu'apparente car il s'agit d'une pathologie du système de coordonnées utilisé. Si nous étions en présence d'une véritable singularité, c'est-à-dire une région de l'espace-temps où les quantités physiques telles que l'énergie, la pression… deviennent infinies, alors la courbure de la métrique exprimée par le tenseur de Riemann serait elle-même infinie. Or cette courbure est parfaitement déterminée lorsqu'un observateur franchit le rayon de Schwarzschild. L'invariant de courbure ${\displaystyle K=M/r^{3}}$ est régulier. Les composantes du tenseur de courbure de Riemann sont infinies uniquement lorsque ${\displaystyle r=0}$.

Il est possible d'établir un jeu de coordonnées, plus adaptées pour un observateur comobile s'approchant du corps céleste, dans lequel la métrique est parfaitement régulière au niveau de l'horizon. Un observateur traversant l'horizon ne détecterait donc pas d'évènement particulier. Un exemple est fourni par les coordonnées de Kruskal-Szekeres. Dans le cas idéalisé où le corps céleste est ponctuel au centre de la région interne à l'horizon, on peut montrer qu'il y existe une singularité réelle. À cet endroit un observateur détecterait nécessairement une divergence de toutes les quantités physiques observables.

Puisque l'horizon des événements dépend uniquement de la masse ${\displaystyle M}$, on peut déterminer les rayons de Schwarzschild des différents corps célestes usuels.

Paramètres physiques et rayon de Schwarzschild approximatif de quelques corps célestes.

Objet céleste	Masse	Rayon	Rayon de Schwarzschild
Terre	${\displaystyle 6.10^{24}}$ kg	${\displaystyle 6.10^{3}}$ km	0,9 cm
Jupiter	${\displaystyle 2.10^{27}}$ kg	${\displaystyle 7.10^{4}}$ km	3 m
Soleil	${\displaystyle 2.10^{30}}$ kg	${\displaystyle 7.10^{5}}$ km	3 km
Pulsar	${\displaystyle 2.10^{30}}$ kg	10 km	3 km
Sirius A	2 ${\displaystyle M_{\odot }}$	1,75 ${\displaystyle R_{\odot }}$	6 km

Les équations d'Einstein étant covariantes, les physiciens et mathématiciens ont cherché de nouveaux systèmes de coordonnées sans singularité et surtout plus susceptibles de représenter la totalité de la géométrie de Schwarzschild. Paul Painlevé et Allvar Gullstrand ou encore Georges Lemaître ont publié plusieurs tentatives dans ce domaine. Mais c'est au physicien Arthur Eddington que l'on crédite l'ébauche de la création du premier système de coordonnées non singulier à ${\displaystyle r_{g}={2GM \over c^{2}}}$ en 1924^[86]. En 1938, Georges Lemaître élabora une métrique synchrone (métrique de Lemaître) ; Finkelstein en découvre une autre, non synchrone, en 1958^[87], et nommée aujourd'hui coordonnées d'Eddington-Finkelstein : toutes deux permettent d'étudier l'entrée d'un corps de faible masse dans un trou noir de Schwarzschild, et ne présentent aucune singularité au rayon de Schwarzschild. Synge démontrera que la métrique d'Eddington–Finkelstein ne recouvre qu'une partie de la géométrie de l'espace-temps de Schwarzschild^[88], tout comme celle de Lemaître.

Il faudra attendre les années 1960, pour qu'indépendamment l'un de l'autre, Martin Kruskal et George Szekeres réussissent à établir des coordonnées où les géodésiques peuvent traverser dans les deux sens la singularité apparente. Ce système est très souvent étudié car la variété de Kruskal-Szekeres est l'extension analytique maximale de la variété de Schwarzschild^[89].

La métrique de Schwarzschild peut être dérivée à partir du théorème de Birkhoff ou celui d'Israel^[90].

Ce paragraphe montre comment la métrique de Schwarzschild est obtenue, à partir d'hypothèses mathématiques et physiques.

On utilise le système de coordonnées ${\displaystyle \left(t,r,\theta ,\phi \right)}$ désignant respectivement le temps, la distance radiale, la colatitude et la longitude. Ces variables peuvent prendre les valeurs suivantes.

${\displaystyle {\begin{cases}t\in \mathbb {R} \\r\in \mathbb {R} ^{+}\\\theta \in \left[0,\pi \right]\\\phi \in \left[0,2\pi \right]\end{cases}}}$

Le cas considéré par Karl Schwarzschild est celui d'un espace symétrique, sphérique, statique, non chargé et vide à l'extérieur du corps central. Mathématiquement, cela signifie que :

1. Un espace-temps avec symétrie sphérique, on dit aussi isotrope, est un espace-temps où toutes les composantes de la métrique sont inchangées lors d'une opération de rotation. Mathématiquement, les transformations ${\displaystyle \theta \rightarrow -\theta }$ et ${\displaystyle \phi \rightarrow -\phi }$ laissent la métrique inchangée.
2. Un espace-temps est statique lorsque les composantes de la métriques sont indépendants du temps. Mathématiquement, la transformation ${\displaystyle t\rightarrow t+a}$ n'a pas d'incidence sur la métrique. Cela implique que ${\displaystyle \partial _{t}g_{\mu \nu }=0\,}$, où l'on a utilisé la convention ${\displaystyle \partial _{t}\equiv {\frac {\partial }{\partial t}}}$.
3. Une solution dans le vide est une solution pour laquelle le tenseur énergie-impulsion de l'équation d'Einstein est nul : ${\displaystyle T_{\mu \nu }=0\,}$ en dehors du corps central. Pour le cas d'une constante cosmologique nulle, cela implique que ${\displaystyle R_{\mu \nu }=0\,}$, où ${\displaystyle R_{\mu \nu }\,}$ est le tenseur de Ricci.

On utilise par défaut la signature métrique LLSC^[91] suivante (— + + +)^{[réf. nécessaire]}.

${\displaystyle +\mathbf {g} =-(\mathbf {x} ^{0})^{2}+(\mathbf {x} ^{1})^{2}+(\mathbf {x} ^{2})^{2}+(\mathbf {x} ^{3})^{2}}$

Les conditions sur l'espace-temps décrites plus haut permettent de simplifier la métrique. Par exemple, la condition d'un espace-temps statique impose que si l'on applique la transformation de coordonnées ${\displaystyle (t,r,\theta ,\phi )\rightarrow (-t,r,\theta ,\phi )}$, les coefficients de la métrique changent de la manière suivante :

${\displaystyle g_{\mu t}'={\frac {\partial x^{\alpha }}{\partial x^{'\mu }}}{\frac {\partial x^{\beta }}{\partial x^{'t}}}g_{\alpha \beta }=-g_{\mu t}}$ (${\displaystyle \mu \neq t}$).

Mais, on a imposé que ${\displaystyle g'_{\mu t}=g_{\mu t}}$. Ce qui implique que :

${\displaystyle g_{\mu t}=\,0}$ (${\displaystyle \mu \neq t}$).

De manière similaire, les transformations de coordonnées ${\displaystyle (t,r,\theta ,\phi )\rightarrow (t,r,-\theta ,\phi )}$ et ${\displaystyle (t,r,\theta ,\phi )\rightarrow (t,r,\theta ,-\phi )}$ donnent respectivement :

${\displaystyle g_{\mu \theta }=\,0}$ (${\displaystyle \mu \neq \theta }$) ;

${\displaystyle g_{\mu \phi }=\,0}$ (${\displaystyle \mu \neq \phi }$).

En combinant tous ces résultats, on obtient :

${\displaystyle g_{\mu \nu }=\,0}$ (${\displaystyle \mu \neq \nu }$).

En conséquence, la métrique a la forme suivante :

${\displaystyle ds^{2}=\,g_{tt}dt^{2}+g_{rr}dr^{2}+g_{\theta \theta }d\theta ^{2}+g_{\phi \phi }d\phi ^{2}}$

où les quatre composantes de la métrique (${\displaystyle g_{tt}}$, ${\displaystyle g_{rr}}$, ${\displaystyle g_{\theta \theta }}$ et ${\displaystyle g_{\phi \phi }}$) sont indépendantes de la coordonnée de temps.

Sur chaque hypersurface où ${\displaystyle t}$, ${\displaystyle \theta }$ et ${\displaystyle \phi }$ sont constants (i.e. sur chaque ligne radiale), ${\displaystyle g_{rr}}$ ne doit dépendre que de ${\displaystyle r}$ (par la condition de symétrie sphérique). Donc ${\displaystyle g_{rr}}$ est une fonction d'une seule variable :

${\displaystyle g_{rr}=A\left(r\right)}$.

Un argument similaire appliqué à ${\displaystyle g_{tt}}$ implique que :

${\displaystyle g_{tt}=B\left(r\right)}$.

Sur les hypersurfaces où ${\displaystyle t}$ et ${\displaystyle r}$ sont constants, on impose à la métrique d'être celle d'une 2-sphère et d'être indépendante du temps :

${\displaystyle dl^{2}=r_{0}^{2}(r)(d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta d\phi ^{2})}$.

En choisissant une de ces hypersurfaces (celle avec un rayon ${\displaystyle r}$), les composantes de la métrique restreintes à cette surface (que l'on dénotera ${\displaystyle {\tilde {g}}_{\theta \theta }}$ et ${\displaystyle {\tilde {g}}_{\phi \phi }}$) doivent être inchangées sous les opérations de rotation de ${\displaystyle \theta }$ et ${\displaystyle \phi }$ (de nouveau, par symétrie sphérique). Ainsi, comparant les formes de la métrique de cette hypersurface, on obtient :

${\displaystyle {\tilde {g}}_{\theta \theta }\left(d\theta ^{2}+{\frac {{\tilde {g}}_{\phi \phi }}{{\tilde {g}}_{\theta \theta }}}d\phi ^{2}\right)=r_{0}^{2}(r)(d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta d\phi ^{2})}$

ce qui implique immédiatement :

${\displaystyle {\tilde {g}}_{\theta \theta }=r_{0}^{2}(r)}$ et ${\displaystyle {\tilde {g}}_{\phi \phi }=r_{0}^{2}(r)\sin ^{2}\theta }$.

Classiquement on effectue le changement de variable ${\displaystyle r\rightarrow r_{0}(r)}$ et, pour ne pas surcharger la notation, on continue de noter ${\displaystyle r}$ cette nouvelle variable ${\displaystyle r_{0}}$; on conserve aussi la même notation pour les fonctions ${\displaystyle A}$ et ${\displaystyle B}$.

Ainsi, la métrique peut être écrite sous la forme :

${\displaystyle ds^{2}=B\left(r\right)dt^{2}+A\left(r\right)dr^{2}+r^{2}d\theta ^{2}+r^{2}\sin ^{2}\theta d\phi ^{2}}$

où ${\displaystyle A}$ et ${\displaystyle B}$ sont des fonctions de ${\displaystyle r}$ encore à déterminer. ${\displaystyle A}$ et ${\displaystyle B}$ doivent être non nulles partout (ou alors la métrique serait singulière en ces points).

Afin de déterminer les fonctions ${\displaystyle A}$ et ${\displaystyle B}$, on utilise l'équation d'Einstein dans le vide mentionnée plus haut :

${\displaystyle R_{\mu \nu }=\,0}$

où ${\displaystyle R_{\mu \nu }}$ est le tenseur de Ricci. Parmi ces équations, seules quatre sont non triviales, et après simplification, on obtient :

• ${\displaystyle 4\partial _{r}(A)B^{2}-2r\partial _{r}^{2}(B)AB+r\partial _{r}(A)\partial _{r}(B)B+r\partial _{r}(B)^{2}A=0}$

• ${\displaystyle r\partial _{r}(A)B+2A^{2}B-2AB-r\partial _{r}(B)A=0\,}$

• ${\displaystyle -2r\partial _{r}^{2}(B)AB+r\partial _{r}(A)\partial _{r}(B)B+r\partial _{r}(B)^{2}A-4\partial _{r}(B)AB=0}$

La quatrième équation est simplement la deuxième multipliée par ${\displaystyle \sin ^{2}\theta }$. En soustrayant la première et la troisième, on obtient :

${\displaystyle \partial _{r}(A)B+A\partial _{r}(B)=0\rightarrow A(r)B(r)=K\,}$

où ${\displaystyle K}$ est une constante non nulle. En remplaçant ${\displaystyle A(r)B(r)\,=K}$ dans la deuxième équation, et en simplifiant, on a :

${\displaystyle r\partial _{r}(A)=A(1-A)\,}$

dont la solution générale est :

${\displaystyle A(r)=\left(1+{\frac {1}{Sr}}\right)^{-1}\,}$

avec une constante réelle non nulle ${\displaystyle S}$. En conséquence, la métrique pour une solution statique, symétriquement sphérique et dans le vide, s'écrit :

${\displaystyle ds^{2}=K\left(1+{\frac {1}{Sr}}\right)dt^{2}+\left(1+{\frac {1}{Sr}}\right)^{-1}dr^{2}+r^{2}(d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta d\phi ^{2})}$.

La communauté scientifique considère qu'elle est adaptée aux problèmes astrophysiques où le champ gravitationnel et le moment angulaire de la masse centrale sont faibles. Dans le système solaire par exemple, on peut parfaitement considérer la masse totale des planètes comme négligeable par rapport au Soleil. La vitesse de rotation du Soleil est elle-même quasiment nulle si on la compare à la vitesse de la lumière.

Pour calculer les constantes ${\displaystyle K}$ et ${\displaystyle S}$, on utilise l'« approximation du champ faible ». C'est-à-dire que l'on se place loin du centre, là où le champ de gravitation est faible. On considère donc une condition aux limites. À l'infini, la métrique de Schwarzschild doit être identique à l'espace plat de Minkowski. En partant des résultats généraux de la relativité restreinte, toutes les composantes de la métrique peuvent être déterminées sans faire appel au calcul tensoriel^[92].
${\displaystyle G}$ est la constante gravitationnelle, ${\displaystyle M}$ est la masse de l'objet central, et ${\displaystyle c}$ est la vitesse de la lumière.

• Estimation de la première fonction ${\displaystyle g_{tt}}$.

On considère un événement fixe : ${\displaystyle dr=d\theta =d\phi =0}$. Le temps propre est alors donné par :

${\displaystyle ds^{2}\equiv d\tau ^{2}}$ ${\displaystyle d\tau ^{2}=g_{tt}c^{2}dt^{2}}$

Le principe d'équivalence nous donne l'expression entre la coordonnée temporelle et le temps propre mesuré dans l'entourage de la distribution de masse.

${\displaystyle d\tau \simeq {\frac {cdt}{(1+{\frac {GM}{c^{2}r}})}}={\frac {cdt}{(1+{\frac {\Delta U}{c^{2}}})}}}$ ${\displaystyle d\tau ^{2}\simeq (1-{\frac {2GM}{c^{2}r}})c^{2}dt^{2}}$

On considère maintenant une expérience de chute libre. Une particule tombe lorsqu'elle est soumise au champ de gravitation. Elle possède les vitesses ${\displaystyle v_{A}}$ et ${\displaystyle v_{B}}$ lorsqu'elle se situe aux points A et B. On applique la loi de conservation de l'énergie.

${\displaystyle {\frac {E}{M}}={\frac {1}{2}}v_{A}^{2}+U_{A}={\frac {1}{2}}v_{B}^{2}+U_{B}}$ ${\displaystyle {\frac {1}{2}}({\frac {v_{A}^{2}}{c^{2}}}-{\frac {v_{B}^{2}}{c^{2}}})={\frac {U_{B}-U_{A}}{c^{2}}}=-{\frac {\Delta U}{c^{2}}}}$.

En relativité restreinte, si ${\displaystyle \tau }$ représente le temps propre de notre particule, on a :

${\displaystyle {\frac {t_{B}}{t_{A}}}={\frac {\tau {\sqrt {1-{\frac {v_{B}^{2}}{c^{2}}}}}}{\tau {\sqrt {1-{\frac {v_{A}^{2}}{c^{2}}}}}}}\simeq 1+{\frac {1}{2}}\left({\frac {v_{A}^{2}}{c^{2}}}-{\frac {v_{B}^{2}}{c^{2}}}\right)=1-{\frac {\Delta U}{c^{2}}}}$.

Avec les estimations précédentes, dans le cas où le champ est faible, on a : ${\displaystyle g_{tt}\simeq \left(1-{\frac {2GM}{c^{2}r}}\right)}$.

• Estimation des fonctions ${\displaystyle g_{rr}}$.

Faisons l'hypothèse que le déterminant du tenseur métrique est approximativement minkowskien.

Dans ce cas, il est diagonal et nous avons : ${\displaystyle {\begin{cases}g=-1&{\text{en coordonnees cartesiennes}}\\g=-r^{4}sin^{2}\theta &{\text{en coordonnees spheriques}}\end{cases}}}$.

Puisque la métrique est lorentzienne à l'infini, nous avons : ${\displaystyle g_{tt}g_{rr}=-1}$. L'approximation de ${\displaystyle g_{tt}}$ fournit celle de ${\displaystyle g_{rr}}$ ${\displaystyle g_{rr}=-(g_{tt})^{-1}\simeq -\left(1-{\frac {2GM}{c^{2}r}}\right)^{-1}}$.

En utilisant par convention la signature (— + + +) les deux premières composantes du tenseur métrique sont :

${\displaystyle g_{rr}=-(g_{tt})^{-1}\simeq \left(1-{\frac {2GM}{c^{2}r}}\right)^{-1}}$.

• Estimation des fonctions ${\displaystyle g_{\theta \theta }}$ et ${\displaystyle g_{\phi \phi }}$.

Puisqu'en coordonnées sphériques : ${\displaystyle g=g_{tt}g_{rr}g_{\theta \theta }g_{\phi \phi }=-r^{4}sin^{2}\theta }$ , avec la même convention pour la signature métrique et les résultats obtenus pour les premières composantes, on déduit la relation : ${\displaystyle g_{\theta \theta }g_{\phi \phi }=r^{4}sin^{2}\theta }$

${\displaystyle g_{\theta \theta }=r^{2}}$ et ${\displaystyle g_{\phi \phi }=r^{2}sin^{2}\theta }$.

La métrique de Schwarzschild peut finalement s'écrire sous la forme suivante :

${\displaystyle ds^{2}=-\left(1-{\frac {2GM}{c^{2}r}}\right)c^{2}dt^{2}+\left(1-{\frac {2GM}{c^{2}r}}\right)^{-1}dr^{2}+r^{2}(d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta d\phi ^{2})}$.

En utilisant la convention ${\displaystyle G=c=1}$ :

${\displaystyle ds^{2}=-\left(1-{\frac {2M}{r}}\right)dt^{2}+\left(1-{\frac {2M}{r}}\right)^{-1}dr^{2}+r^{2}(d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta d\phi ^{2})}$.

Une singularité est atteinte lorsque ${\displaystyle \left(1-{\frac {2M}{r}}\right)=0}$, c'est-à-dire lorsque la coordonnée du rayon ${\displaystyle r}$ vaut : ${\displaystyle 2M}$.

Ce rayon est appelé le rayon de Schwarzschild, le rayon gravitationnel, la surface de Schwarzschild, l'horizon de Schwarzschild, la sphère de Schwarzschild ou encore la singularité de Schwarzschild. Cette dernière expression, maintenant désuète, est surtout utilisée dans l'ancienne littérature scientifique car il a été montré que ce n'est pas une singularité physique.

Dans sa publication originale de février 1916, Schwarzschild a donné l'expression suivante de sa métrique^[93] :

${\displaystyle \mathrm {d} s^{2}=\left(1-{\frac {\alpha }{R}}\right)\mathrm {d} t^{2}-{\frac {\mathrm {d} R^{2}}{1-{\dfrac {\alpha }{R}}}}-R^{2}\left(\mathrm {d} \vartheta ^{2}+\sin ^{2}\vartheta \;\mathrm {d} \phi ^{2}\right)}$,

avec^[93] :

${\displaystyle R=\left(r^{3}+\alpha ^{3}\right)^{\frac {1}{3}}}$.

En mai 1921, lors d'une de ses quatre conférences à l'université de Princeton, Einstein a donné l'expression suivante de la métrique de Schwarzschild^[94] :

${\displaystyle \mathrm {d} s^{2}=\left(1-{\frac {A}{r}}\right)\mathrm {d} l^{2}-\left[{\frac {\mathrm {d} r^{2}}{1-{\dfrac {A}{r}}}}+r^{2}\left(\sin ^{2}\theta \;\mathrm {d} \phi ^{2}+\mathrm {d} \theta ^{2}\right)\right]}$,

avec^[95] :

${\displaystyle {\begin{cases}x_{1}=r\sin \theta \sin \phi \\x_{2}=r\sin \theta \cos \phi \\x_{3}=r\cos \theta \\x_{4}=l\end{cases}}}$

et^[95] :

${\displaystyle A={\frac {\kappa M}{4\pi }}}$,

où :

• ${\displaystyle \kappa }$ est la constante (dite « d'Einstein ») de l'équation tensorielle fondamentale^[96] de la relativité générale, définie par^[97] :

${\displaystyle \kappa ={\frac {8\pi K}{c^{2}}}}$, où ${\displaystyle K}$ est la constante de Newton^[96] et ${\displaystyle c}$ est la vitesse de la lumière dans le vide ;

• ${\displaystyle M}$ est la masse du corps^[98].

Remarques

Einstein travaille en ${\displaystyle -\mathrm {d} s^{2}=\mathrm {d} \tau ^{2}}$^[99].

Expressions de la métrique Schwarzschild dans d'autres systèmes de coordonnées d'espace-temps

Coordonnées	Métrique
Eddington-Finkelstein entrantes	${\displaystyle \mathrm {d} s^{2}=-\left(1-{\frac {R_{\mathrm {S} }}{r}}\right)\mathrm {d} v^{2}+2\,\mathrm {d} v\,\mathrm {d} r+r^{2}\mathrm {d} \Omega ^{2}}$[100],[101]
Eddington-Finkelstein sortantes	${\displaystyle \mathrm {d} s^{2}=-\left(1-{\frac {R_{\mathrm {S} }}{r}}\right)\mathrm {d} u^{2}-2\,\mathrm {d} u\,\mathrm {d} r+r^{2}\mathrm {d} \Omega ^{2}}$[102],[103]
isotropes	${\displaystyle \mathrm {d} s^{2}=-{\frac {\left(1-{\frac {M}{2{\bar {r}}}}\right)^{2}}{\left(1+{\frac {M}{2{\bar {r}}}}\right)^{2}}}\mathrm {d} t^{2}+\left(1+{\frac {M}{2{\bar {r}}}}\right)^{4}\left(\mathrm {d} {\bar {r}}^{2}+{\bar {r}}^{2}\mathrm {d} \Omega ^{2}\right)}$[104]
Kerr-Schild	${\displaystyle \mathrm {d} s^{2}=-\left(1-{\frac {2M}{R}}\right)\mathrm {d} {\tilde {t}}^{2}+{\frac {4M}{R}}\mathrm {d} {\tilde {t}}\mathrm {d} R+\left(1+{\frac {2M}{R}}\right)\mathrm {d} R^{2}+R^{2}\mathrm {d} \Omega ^{2}}$[105]
Kruskal-Szekeres	${\displaystyle \mathrm {d} s^{2}=-{\frac {32M^{3}}{R}}e^{\frac {-R}{2M}}\mathrm {d} U\mathrm {d} V+R^{2}\mathrm {d} \Omega ^{2}}$[106]
Novikov	${\displaystyle \mathrm {d} s^{2}=-\,\mathrm {d} \tau ^{2}+\left({\frac {1+R_{*}^{2}}{R_{*}2}}\right)\left({\frac {\partial {R}}{\partial {R_{*}}}}\right)^{2}\mathrm {d} R^{2}+R^{2}\mathrm {d} \Omega ^{2}}$[107]
Painlevé-Gullstrand	${\displaystyle \mathrm {d} s^{2}=-\left(1-{\frac {R_{\mathrm {S} }}{r}}\right)c^{2}\,\mathrm {d} T^{2}+2{\sqrt {\frac {R_{\mathrm {S} }}{R}}}\,c\,\mathrm {d} T\,\mathrm {d} r+r^{2}\mathrm {d} \Omega ^{2}}$[108],[109]

• Kip Thorne, John Archibal Wheeler, Charles Misner Gravitation W.H Freeman & Co, 1973 :

• Lev Landau et Evgueni Lifchits, Physique théorique [détail des éditions], chapitres X à XII.
• [Andrillat 1970] H. Andrillat (préf. de J.-C. Pecker), Introduction à l'étude des cosmologies, Paris, A. Colin, coll. « Intersciences », 1970, 1 vol., 223, ill., 21 cm (OCLC 300091140, BNF 35372807, SUDOC 002174170).
• [Baumgarte 2006] (en) Thomas W. Baumgarte, « Black holes : from speculations to observations », AIP Conf. Proc., vol. 861, n^o 1 : « Albert Einstein century international conference : Paris, France, 18-22 july 2005 »,‎ novembre 2006, p. 161-175 (OCLC 9742671091, DOI 10.1063/1.2399576, Bibcode 2006AIPC..861..161B, arXiv astro-ph/0604304, S2CID 117222366, résumé).
• [Bona, Palenzuela-Luque et Bona-Casas 2009] (en) Carles Bona, Carlos Palenzuela-Luque et Carles Bona-Casas, Elements of numerical relativity and relativistic hydrodynamics : from Einstein's equations to astrophysical simulations, Berlin et Heidelberg, Springer, coll. « Lecture notes in physics » (n^o 783), juin 2009 (réimpr. novembre 2011), 2^e éd. (1^re éd. juillet 2005), XIV-214 p., 15,6 × 23,4 cm (ISBN 978-3-642-01163-4 et 978-3-642-24250-2, EAN 9783642011634, OCLC 495270284, DOI 10.1007/978-3-642-01164-1, Bibcode 2009LNP...783.....B, S2CID 117415442, SUDOC 137528566, présentation en ligne, lire en ligne).
• [Choquet-Bruhat 2008] Y. Choquet-Bruhat, General relativity and the Einstein equations [« Relativité générale et équations d'Einstein »], Oxford, OUP, coll. « Oxford mathematical monographs », déc. 2008, 1^re éd., 1 vol., XXIV-785, fig., 24 cm (ISBN 978-0-19-923072-3, EAN 9780199230723, OCLC 493785270, DOI 10.1093/acprof:oso/9780199230723.001.0001, SUDOC 130297577, présentation en ligne, lire en ligne), chap. IV (« Schwarzschild spacetime and black holes ») [« Espace-temps de Schwarzschild et trous noirs »], p. 72-105.
• [Damour 2004] (en) Thibault Damour, « The entropy of black holes : a primer », dans Jean Dalibard, Bertrand Duplantier et Vincent Rivasseau (éd.), Poincaré seminar 2003 : Bose-Einstein condensation – entropy, Bâle, Boston et Berlin, Birkhäuser, coll. « Progress in mathematical physics » (n^o 38), mai 2024, 1^re éd., V-264 p., 15,6 × 23,4 cm (ISBN 978-3-7643-7106-7 et 978-3-7643-7116-6, EAN 9783764371067, OCLC 470669804, BNF 40937728, DOI 10.1007/978-3-0348-7932-3, Bibcode 2004poin.book.....D, S2CID 124423284, SUDOC 08376030X, présentation en ligne, lire en ligne), partie II, chap. 5, p. 227-264.
• [Damour 2005] Th. Damour, « Relativité générale », dans A. Aspect, F. Bouchet, É. Brunet et al. (av.-prop. de M. Leduc et M. Le Bellac), Einstein aujourd'hui, Les Ulis et Paris, EDP Sciences et CNRS, coll. « Savoirs actuels / Physique », janv. 2005, 1^re éd., 1 vol., VIII-417, ill. et portr., 24 cm (ISBN 2-86883-768-9 et 2-271-06311-6, EAN 9782868837684, OCLC 61336564, BNF 39916190, SUDOC 083929657, présentation en ligne, lire en ligne), chap. 6, p. 267-320.
• [Deruelle et Uzan 2018] (en) N. Deruelle et J.-Ph. Uzan (trad. du fr. par P. de Forcrand-Millard), Relativity in modern physics [« Théories de la relativité »] [« La relativité en physique moderne »], Oxford, OUP, coll. « Oxford graduate texts », août 2018, 1^re éd., 1 vol., XI-691, ill., 17,1 × 24,6 cm (ISBN 978-0-19-878639-9, EAN 9780198786399, OCLC 1078374303, BNF 45570670, DOI 10.1093/oso/9780198786399.001.0001, SUDOC 229944329, présentation en ligne, lire en ligne).
• [d'Inverno et Vickers 2022] (en) Ray d'Inverno et James Vickers (avant-propos de Roger Penrose), Introducing Einstein's relativity : a deeper understanding, Oxford, OUP, hors coll., juin 2022, 2^e éd. (1^re éd. juin 1992), XIV-605 p., 18,9 × 24,6 cm (ISBN 978-0-19-886202-4 et 978-0-19-886203-1, EAN 9780198862024, OCLC 1362982638, DOI 10.1093/oso/9780198862024.001.0001, SUDOC 255388101, présentation en ligne, lire en ligne).
• [Earman et Janssen 1993] (en) J. Earman et M. Janssen, « Einstein's explanation of the motion of Mercury's perihelion », dans J. Earman, M. Janssen et J. D. Norton (éd.), The attraction of gravitation : new studies in the history of general relativity [« L'attraction de la gravitation : nouvelles études dans l'histoire de la relativité générale »], Boston, Bâle et Berlin, Birkhäuser, coll. « Einstein studies » (n^o 5), déc. 1993, 1^re éd., 1 vol., X-432, 24 cm (ISBN 0-8176-3624-2 et 3-7643-3624-2, OCLC 468313142, BNF 37536464, Bibcode 1993agns.book.....E, SUDOC 017407214, lire en ligne), 2^e part. (« The empirical basis of general relativity ») [« Les bases empiriques de la relativité générales »], chap. 1^er [« Explication d'Einstein du mouvement du périhélie de Mercure »], p. 129-172 (Bibcode 1993agns.book..129E).
• [Eisenstaedt 1982] J. Eisenstaedt, « Histoire et singularités de la solution de Schwarzschild (1915-1923) », Arch. Hist. Exact Sci., vol. 27, n^o 2,‎ juin 1982, art. n^o 4, p. 157-198 (DOI 10.1007/BF00348347, JSTOR 41133669, Bibcode 1982AHES...27..157E).
• [Eisenstaedt 1993] (en) J. Eisenstaedt, « Dark bodies and black holes, magic circles and montgolfiers : light and gravitation from Newton to Einstein », dans M. Beller, J. Renn et R. S. Cohen (éd.), Einstein in context, Cambridge et New York, CUP (Science in context, vol. 6, n^o 1), nov. 1993, 1^re éd., 1 vol., 368, ill., 24 cm (ISBN 0-521-44834-4, EAN 9780521448345, OCLC 30817497, SUDOC 017997518, présentation en ligne, lire en ligne), 2^e part. (« The context of reception »), chap. 2, p. 83-106 (DOI 10.1017/S0269889700001320)
• [Eisenstaedt 2002] J. Eisenstaedt (préf. de Th. Damour), Einstein et la relativité générale : les chemins de l'espace-temps, Paris, CNRS, coll. « Histoire des sciences », avr. 2002, 1^re éd., 1 vol., 344, ill., 24 cm (ISBN 978-2-271-05880-5, EAN 9782271058805, OCLC 300489860, BNF 38820881, SUDOC 061123226, présentation en ligne, lire en ligne).
• [Faraoni 2015] (en) V. Faraoni, Cosmological and black hole apparent horizons, Cham, Springer, coll. « LNP » (n^o 907), juill. 2015, 1^re éd., 1 vol., XVI-199, ill., 24 cm (ISBN 978-3-319-19239-0, EAN 9783319192390, OCLC 920717522, DOI 10.1007/978-3-319-19240-6, Bibcode 2015LNP...907.....F, SUDOC 187688281, présentation en ligne, lire en ligne), chap. 1^er (« Stationary black holes in general relativity ») [« Trous noirs stationnaires en relativité générale »], sect. 1.3 (« Schwarzschild spacetime ») [« Espace-temps de Schwarzschild »], p. 5-13.
• [Fatibene et Francaviglia 2003] (en) Lorenzo Fatibene et Mauro Francaviglia, Natural and gauge natural formalism for classical field theories : a geometric perspective including spinors and gauge theories, Dordrecht, Kluwer Academic, hors coll., novembre 2003 (réimpr. décembre 2010), 1^re éd., XIX-365 p., 16,5 × 24,1 cm (ISBN 978-1-4020-1703-2 et 978-90-481-6461-5, EAN 9781402017032, OCLC 491620210, DOI 10.1007/978-94-017-2384-8, S2CID 118376391, SUDOC 079856691, présentation en ligne, lire en ligne).
• [Heinicke et Hehl 2017] (en) Ch. Heinicke et F. W. Hehl, « Schwarzschild and Kerr solutions of Einstein's field equation : an introduction », dans Ni W.-T. (éd.), One hundred years of general relativity : from genesis and empirical foundations to gravitational waves, cosmology and quantum gravity [« Cents ans de relativité générale : de la genèse et des bases empiriques aux ondes gravitationnelles, à la cosmologie et à la gravité quantique »], t. I^er, Singapour, World Scientific, hors coll., juill. 2017, 1^re éd., 1 vol., 719, ill., 25 cm (ISBN 978-981-4678-48-3, EAN 9789814678483, OCLC 1002304256, DOI 10.1142/9389-vol1, Bibcode 2017ohy1.book.....N, SUDOC 203795857, présentation en ligne, lire en ligne), 1^re part. (« Genesis, solutions and energy ») [« Genèse, solutions et énergie »], chap. 3 [« Les solutions de Schwarzschild et de Kerr de l'équation du champ d'Einstein : une introduction »], p. 109-185 (DOI 10.1142/9789814635134_0003, résumé) :
  Réimpression de l'article publié dans Int. J. Mod. Phys. D, vol. 24, n^o 2, déc. 2015, id. 1530006-214 (DOI 10.1142/S0218271815300062, Bibcode 2015IJMPD..2430006H, arXiv 1503.02172, résumé).
• [Israel 1987] (en) W. Israel, « Dark stars : the evolution of an idea », dans S. Hawking et W. Israel (éd.), Three hundred years of gravitation [« Trois cents ans de gravitation »], Cambridge, CUP, hors coll., sept. 1987 (réimpr. mars 1989), 1^re éd., 1 vol., XIII-690, ill., 26 cm (ISBN 0-521-34312-7 et 0-521-37976-8, EAN 9780521379762, OCLC 299412629, BNF 35046285, Bibcode 1987thyg.book.....H, SUDOC 020207778, présentation en ligne, lire en ligne), chap. 7 [« Étoiles noires : l'évolution d'une idée »], p. 199-276 (Bibcode 1987thyg.book..199I).
• [Landsman 2022] (en) Klaas Landsman, Foundations of general relativity : from Einstein to black holes, Nimègue, RUP, hors coll., octobre 2022, 2^e éd. (1^re éd. octobre 2021), XIV-389 p., 17 × 24,4 cm (ISBN 978-90-831-789-29, EAN 9789083178929, OCLC 1355836940, DOI 10.54195/EFVF4478, JSTOR j.ctv2k88tfk, présentation en ligne, lire en ligne [PDF]).
• [Mavridès 1973] Stamatia Mavridès (préf. de G. C. Mc Vittie), L'univers relativiste, Paris, Masson, fév. 1973, 1^re éd., 1 vol., XIX-383, ill., 16 × 24 cm (ISBN 2-225-36080-7 (édité erroné), EAN 9782225360800, OCLC 465790240, BNF 35398161, Bibcode 1973unre.book.....M, SUDOC 002236877, lire en ligne).
• [Natário 2021] (en) José Natário, An introduction to mathematical relativity, Champ, Springer, coll. « Latin american mathematics series / UFSCar subseries », mars 2021 (réimpr. mars 2022), 1^re éd., VIII-186 p., 15,6 × 23,4 cm (ISBN 978-3-030-65682-9 et 978-3-030-65685-0, EAN 9783030656829, OCLC 1252699216, DOI 10.1007/978-3-030-65683-6, S2CID 234215469, SUDOC 254723756, présentation en ligne, lire en ligne), chap. 2 (« Exacts solutions »), sec. 2.3 (« The Schwarschild solution »), p. 20-26.
• [Papapetrou et Hamoui 1968] A. Papapetrou et A. Hamoui, « Couches simples de matière en relativité générale », Annales de l’I. H. P., section A, t. IX, n^o 2,‎ 1968, p. 179-211 (lire en ligne).
• [Papapetrou 1976] A. Papapetrou, « Une perturbation à symétrie sphérique de la métrique d'un univers en expansion », Annales de l'I. H. P., section A, t. XXIV, n^o 2,‎ 1976, p. 165-170 (lire en ligne).
• [Petersen 1998] (en) Peter Petersen, Riemannian geometry, New York, Springer, coll. « Graduate texts in mathematics » (n^o 171), 1998, 1^re éd., XVI-432 p., 15,6 × 23,4 cm (ISBN 0-387-98212-4, EAN 9780387982120, OCLC 468883612, BNF 37529084, DOI 10.1007/978-1-4757-6434-5, SUDOC 027822885, présentation en ligne, lire en ligne).
• [Ryder 2009] (en) Lewis H. Ryder, Introduction to general relativity, Cambridge, CUP, hors coll., juin 2009 (réimpr. janvier 2020), 1^re éd., XV-441 p., 18,7 × 24,5 cm (ISBN 978-0-521-84563-2, EAN 9780521845632, OCLC 495312563, DOI 10.1017/CBO9780511809033, Bibcode 2009igr..book.....R, SUDOC 136399819, présentation en ligne, lire en ligne).
• [Sachs 2004] (en) M. Sachs, Quantum mechanics and gravity, Berlin et Heidelberg, Springer, coll. « The frontiers collection », janv. 2004, 1^re éd., 1 vol., XIV-191, ill., 24 cm (ISBN 978-3-540-00800-2 et 978-3-642-05641-3, OCLC 442210204, BNF 39994566, DOI 10.1007/978-3-662-09640-6, SUDOC 084371331, présentation en ligne, lire en ligne).
• [Stephani, Kramer, MacCallum et al. 2003] H. Stephani, D. Kramer, M. A. H. MacCallum, C. Hoenselaers et E. Herlt, Exact solutions of Einstein's field equations [« Solutions exactes des équations de champ d'Einstein »], Cambridge et New York, CUP, coll. « Cambridge monographs on mathematical physics », 2003, 2^e éd. (1^re éd. 1980), 1 vol., XIX-701, ill., 26 cm (ISBN 978-0521-46702-5, EAN 9780521467025, OCLC 470528966, BNF 38966860, DOI 10.1017/CBO9780511535185, SUDOC 076433722, présentation en ligne, lire en ligne).
• [Susskind et Lindesay 2004] (en) L. Susskind et J. Lindesay, An introduction to black holes, information and the string theory revolution : the holographic universe [« Une introduction aux trous noirs, à l'information et à la révolution de la théorie des cordes : l'univers holographique »], Hackensack, World Scientific, déc. 2004, 1^re éd., 1 vol., XV-183, ill., 24 cm (ISBN 978-981-256-083-4 et 978-981-256-131-2, OCLC 228785721, BNF 42042361, DOI 10.1142/5689, Bibcode 2005bhis.book.....S, SUDOC 094474664, présentation en ligne, lire en ligne).
• [Weinstein 2015] (en) G. Weinstein, General relativity conflict and rivalries : Einstein's polemics with physicists [« Conflits et rivalités de relativité générale : polémiques d'Einstein avec les physiciens »], Newcastle upon Tyne, Cambridge Scholars, déc. 2015, 1 vol., XVI-421, ill., 21 cm (ISBN 978-1-4438-8362-7, OCLC 936302001, présentation en ligne, lire en ligne).
• [Snygg 2011] (en) John Snygg, A new approach to differential geometry using Clifford's geometric algebra [« Une nouvelle approche de la géométrie différentielle, avec l'algèbre géométrique de Clifford »], Bâle, Birkhäuser, hors coll., déc. 2011, 1^re éd., 1 vol., XVII-465, ill. et fig., 15,6 × 23,4 cm (ISBN 978-0-8176-8282-8, OCLC 800297357, DOI 10.1007/978-0-8176-8283-5, SUDOC 158717376, présentation en ligne, lire en ligne).
• [Terzić 2024] (en) Balša Terzić, Relativity and cosmology : from first principles to interpretations, Londres, Academic Press, hors coll., janvier 2024, 1^re éd., XVI-239 p., 19,1 × 22,9 cm (ISBN 978-0-443-23542-9, EAN 9780443235429, OCLC 1405365635, DOI 10.1016/C2023-0-00782-8, SUDOC 280103409, présentation en ligne, lire en ligne).

• [Anderson 2001] (en) James L. Anderson, « Relativity, general », dans Robert A. Meyers (éd. et préf.), Encyclopedia of physical science and technology, t. XIV : Rar – Sm, San Diego, Academic Press, coll. « Reference work », octobre 2001, 3^e éd. (1^re éd. 1983), XVI-893 p. (ISBN 978-0-12227424-4, EAN 9780122274244, OCLC 492812559, BNF 38909366, SUDOC 058872051, présentation en ligne), p. 93-116.
• [Taillet, Villain et Febvre 2013] R. Taillet, L. Villain et P. Febvre, Dictionnaire de physique, Bruxelles, De Boeck Univ., hors coll., fév. 2013, 3^e éd. (1^re éd. mai 2008), 1 vol., X-899, ill. et fig., 24 cm (ISBN 978-2-8041-7554-2, EAN 9782804175542, OCLC 842156166, BNF 43541671, SUDOC 167932349, lire en ligne), s.v.« métrique de Schwarzschild », p. 434.

• [Collion 2019] S. Collion, Voyage dans les mathématiques de l'espace-temps : trous noirs, big-bang, singularités, Les Ulis, EDP Sci., coll. « Une introd. à... », janv. 2019, 1^re éd., 1 vol., VIII-200, ill., 17 × 24 cm (ISBN 978-2-7598-2279-9, EAN 9782759822799, OCLC 1085244403, BNF 45568170, SUDOC 233873899, présentation en ligne, lire en ligne).
• [Deruelle et Lasota 2018] N. Deruelle et J.-P. Lasota, Les ondes gravitationnelles, Paris, O. Jacob, coll. « Sciences », fév. 2018, 1^re éd., 1 vol., 325, ill., 14,5 × 22 cm (ISBN 978-2-7381-4334-1, EAN 9782738143341, OCLC 1029842061, BNF 45489870, SUDOC 225473925, présentation en ligne, lire en ligne).
• [Hakim 2001] R. Hakim, Gravitation relativiste, Les Ulis et Paris, EDP Sci. et CNRS, coll. « Savoirs actuels / Astrophysique », 1994 (réimpr. 2001), 1^re éd., 1 vol., XV-310, ill., 24 cm (ISBN 2-86883-370-5 et 2-271-05198-3, EAN 9782868833709, OCLC 50236119, BNF 39918721, SUDOC 060559675, présentation en ligne, lire en ligne), chap. 8, § 3 (« La solution de Schwarzschild »), p. 219-225.
• [Lasota 2010] J.-P. Lasota, La science des trous noirs, Paris, O. Jacob, coll. « Sciences », fév. 2010, 1^re éd., 1 vol., 192, ill., 14,5 × 22 cm (ISBN 978-2-7381-2008-3, EAN 9782738120083, OCLC 656362604, BNF 42143103, SUDOC 142276332, présentation en ligne, lire en ligne).
• [Le Bellac 2015] M. Le Bellac (préf. de Th. Damour), Les relativités : espace, temps, gravitation, Les Ulis, EDP Sci., coll. « Une introd. à... », avr. 2015, 1^re éd., 1 vol., XIV-218, ill., 17 × 24 cm (ISBN 978-2-7598-1294-3, EAN 9782759812943, OCLC 910332402, BNF 44362603, SUDOC 229944329, présentation en ligne, lire en ligne).
• [Spagnou 2017] P. Spagnou, Les mystères du temps : de Galilée à Einstein, Paris, CNRS, coll. « Le Banquet scientifique », janv. 2017, 1^re éd., 1 vol., 277, ill. et fig., 15 × 23 cm (ISBN 978-2-271-08911-3, EAN 9782271089113, OCLC 973489513, SUDOC 198491859, présentation en ligne, lire en ligne), 4^e part. (« Le temps de la relativité générale »), chap. 3 (« La métrique de Schwarzschild »).
• [Trilles et Spagnou 2020] S. Trilles et P. Spagnou, Le temps dans la géolocalisation par satellites, Les Ulis et Paris, EDP Sci. et CNRS, coll. « Savoirs actuels / phys. », 1^er oct. 2020, 1^re éd., 1 vol., XIV-419, ill. et fig., 15,5 × 22,8 cm, br. (ISBN 978-2-7598-2434-2 et 978-2-271-13542-1, EAN 9782759824342, OCLC 1202412260, BNF 46587400, SUDOC 249923122, présentation en ligne, lire en ligne).
• [Zeh 1999] (en) H. Dieter Zeh, The physical basis of the direction of time, Berlin, Heidelberg et New York, Springer, hors coll., juin 1999, 3^e éd. (1^re éd. 1989), XII-228 p., 15,6 × 23,7 cm (ISBN 3-540-64865-8, EAN 9783540648659, OCLC 40990090, BNF 37553726, DOI 10.1007/978-3-662-03805-5, Bibcode 1999pbdt.book.....Z, SUDOC 051900742, présentation en ligne, lire en ligne).

• [Bambi 2018] (en) C. Bambi, Introduction to general relativity : a course for undergraduate students of physics [« Introduction à la relativité générale : un cours pour étudiants de premier cycle en physique »], Singapour, Springer, coll. « Undergraduate Lecture Notes in Physics », juin 2018, 1^re éd., 1 vol., XVI-335, ill., 24 cm (ISBN 978-981-13-1089-8, EAN 9789811310898, OCLC 1042158863, DOI 10.1007/978-981-13-1090-4, SUDOC 229495745, présentation en ligne, lire en ligne), chap. 8 (« Schwarzschild spacetime ») [« Espace-temps de Schwarzschild »], p. 141-161.
• [Barrau et Grain 2016] A. Barrau et J. Grain, Relativité générale : cours et exercices corrigés, Malakoff, Dunod, coll. « Sciences Sup. », août 2016, 2^e éd. (1^re éd. août 2011), 1 vol., VIII-231, 17 × 24 cm (ISBN 978-2-10-074737-5, EAN 9782100747375, OCLC 958388884, BNF 45101424, SUDOC 195038134, présentation en ligne, lire en ligne).
• [Ferrari, Gualtieri et Pani 2020] (en) Valeria Ferrari, Leonardo Gualtieri et Paolo Pani, General relativity and its applications : black holes, compact stars, and gravitational waves [« La relativité générale et ses applications : trous noirs, étoiles compactes, et ondes graviationnelles »], Boca Raton, CRC Press, décembre 2020, 1^re éd., XVIII-475 p., 26 cm (ISBN 978-1-138-58977-3 et 978-0-367-62532-0, EAN 9781138589773, OCLC 1247682853, DOI 10.1201/9780429491405, SUDOC 255050844, présentation en ligne, lire en ligne).
• [Gialis et Désert 2015] D. Gialis et F.-X. Désert, Relativité générale et astrophysique : problèmes et exercices corrigés, Les Ulis, EDP Sci., coll. « Grenoble Sci. », nov. 2015, 1^re éd., 1 vol., X-353, ill., 24 cm (ISBN 978-2-7598-1749-8, EAN 9782759817498, OCLC 920911577, BNF 44394347, SUDOC 188192891, présentation en ligne, lire en ligne).
• [Hobson, Efstathiou et Lasenby 2010] Michael Paul Hobson, George Efstathiou et Anthony N. Lasenby (trad. de l'anglais par Loïc Villain, révision scientifique par Richard Taillet), Relativité générale [« General relativity : an introduction for physicists »], Bruxelles, De Boeck Université, hors coll., fév. 2010, 1^re éd., 1 vol., XX-554, ill., 28 cm (ISBN 978-2-8041-0126-8, EAN 9782804101268, OCLC 690272413, BNF 42142174, SUDOC 140535705, présentation en ligne, lire en ligne), chap. 9 (« Géométrie de Schwarzschild »), p. 193-225.
• [Lambourne 2010] (en) Robert J. A. Lambourne, Relativity, gravitation and cosmology [« Relativité, gravitation et cosmologie »], Cambridge et Milton Keynes, CUP et OU, hors coll., juillet 2010, 1^re éd., 310 p., 20,9 × 26,3 cm (ISBN 978-0-521-76119-2 et 978-0-521-13138-4, EAN 9780521761192, OCLC 690873048, Bibcode 2010rgc..book.....L, SUDOC 145497909, présentation en ligne, lire en ligne). 
• [Peacok 1999] (en) John A. Peacock, Cosmological physics, Cambridge, CUP, hors coll., janvier 1999, 1^re éd., XI-682 p., 17,5 × 24,6 cm (ISBN 0-521-41072-X et 0-521-42270-1, EAN 9780521422703, OCLC 490424451, BNF 37548014, DOI 10.1017/CBO9780511804533, Bibcode 1999coph.book.....P, S2CID 269840159, SUDOC 04557331X, présentation en ligne, lire en ligne [PDF]), 1^re partie (« Gravitation and relativity »), chap. 2 (« Astrophysical relativity »), sec. 2.5 (« Black holes »), p. 51-60.
• [Peter et Uzan 2012] P. Peter et J.-Ph. Uzan (préf. de Th. Damour), Cosmologie primordiale, Paris, Belin, coll. « Échelles », fév. 2012, 2^e éd. (1^re éd. sept. 2005), 1 vol., 816, ill., 24 cm (ISBN 978-2-7011-6244-7, EAN 9782701162447, OCLC 793482816, BNF 42616501, SUDOC 158540697, présentation en ligne, lire en ligne).

• [Misner, Thorne et Wheeler 1973] (en) Ch. W. Misner, K. S. Thorne et J. A. Wheeler, Gravitation [« Gravitation »], San Francisco, W. H. Freeman, hors coll., 1973, 1^re éd., 1 vol., XXVI-1279, ill., 26 cm (ISBN 0-7167-0334-3 et 0-7167-0344-0, EAN 9780716703440, OCLC 300307879, BNF 37391055, Bibcode 1973grav.book.....M, SUDOC 004830148, lire en ligne).
• [Wald 1984] (en) R. M. Wald, General relativity [« Relativité générale »], Chicago et Londres, UCP, hors coll., juin 1984, 1^re éd., 1 vol., XIII-491, ill., 24 cm (ISBN 0-226-87032-4 et 0-226-87033-2, EAN 9780226870335, OCLC 300307884, DOI 10.7208/chicago/9780226870373.001.0001, Bibcode 1984ucp..book.....W, SUDOC 011892242, présentation en ligne, lire en ligne).

• [Capderou 2014] (en) Michel Capderou (trad. du français par Stephen Lyle), Handbook of satellite orbits : from Kepler to GPS [« Satellites : de Kepler au GPS »], Cham, Springer, hors coll., mai 2014 (réimpr. septembre 2016), 1^re éd., XXIV-922 p., 15,5 × 23,5 (ISBN 978-3-319-03415-7 et 978-3-319-34421-8, EAN 9783319034157, OCLC 861323340, DOI 10.1007/978-3-319-03416-4, Bibcode 2014hso..book.....C, SUDOC 187624097, présentation en ligne, lire en ligne). 
• [Chandrasekhar 1980] (en) Subrahmanyan Chandrasekhar, « The general theory of relativity : the first thirty years », Contemp. Phys., vol. 21, n^o 5,‎ septembre 1980, p. 429-449 (OCLC 4642428431, DOI 10.1080/00107518008210969, Bibcode 1980ConPh..21..429C, résumé, lire en ligne).
• [Gutfreund et Renn 2017] (en) Hanoch Gutfreund et Jürgen Renn (avant-propos de Diana Kormos-Buchwald), The formative years of relativity : the history and meaning of Einstein's Princeton lectures, Princeton et Oxford, PUP, hors coll., septembre 2017, 1^re éd., XIV-415 p., 21,1 × 25,7 cm (ISBN 978-0-691-17463-1, EAN 9780691174631, OCLC 1007738553, BNF 45599430, DOI 10.23943/princeton/9780691174631.001.0001, SUDOC 19670455, présentation en ligne, lire en ligne).

Schwarzschild

• [Schwarzschild 1916a] (de) K. Schwarzschild, « Über das Gravitationsfeld eines Massenpunktes nach der Einsteinschen Theorie » [« Sur le champ gravitationnel d'une masse ponctuelle selon la théorie d'Einstein »], Sitzungsberichte der Königlich Preußischen Akademie der Wissenschaften,‎ 3 fév. 1916, p. 189-196 (Bibcode 1916SPAW.......189S, lire en ligne) :
  • (en) Karl Schwarzschild, On the gravitational field of a mass point according to Einstein's theory, traduction anglaise de l'article originel de janvier 1916.
• [Schwarzschild 1916b] (de) K. Schwarzschild, « Über das Gravitationsfeld einer Kugel aus inkompressibler Flüssigkeit nach der Einsteinschen Theorie » [« Sur le champ gravitionnel d'une sphère de fluide incompressible selon la théorie d'Einstein »], Sitzungsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin,‎ mars 1916, p. 424-434 (Bibcode 1916skpa.conf..424S, lire en ligne) :
  • (en) Karl Schwarzschild, On the Gravitational Field of a Sphere of Incompressible Fluid according to Einstein’s Theory, traduction anglaise de l'article originel de février 1916.

Droste

• [Droste 1916] (nl) J. Droste, « Het veld van een enkel centrum in Einstein's theorie der zwaartekracht, en de beweging van een stoffelijk punt in dat veld », Verslagen van de gewone vergaderingen der Wis- en Natuurkundige Afdeeling, t. XXV, 1^re part., n^o 1,‎ 1916, p. 163-180 (lire en ligne) :
  • [Droste 1917] (en) J. Droste, « The field of a single centre in Einstein's theory of gravitation, and the motion of a particle in that field » [« Le champ d'un centre unique dans la théorie de la gravitation d'Einstein, et le mouvement d'une particule dans ce champ »], Koninklijke Nederlandsche Akademie van Wetenschappen Proceedings, vol. 19, n^o 1,‎ mars 1917, p. 197-215 (Bibcode 1917KNAB...19..197D, lire en ligne).

Einstein

• [Einstein 2003] (en) Albert Einstein (trad. de l'allemand par Edwin Plimpton Adams, avec l'appendice I par Ernst G. Straus et l'appendice II par Sonja Bargmann), The meaning of relativity [« Vier Vorlesungen über Relativitätstheorie : gehalten im Mai 1921 an der Universität Princeton : mit vier Abbildungen »] [« Le sens de la relativité »], Londres et New York, Routledge, coll. « Routledge classics », février 2003, 1^re éd., 177 p., 20 cm (ISBN 0-415-28588-7, EAN 9780415285889, OCLC 455949174, BNF 39048473, DOI 10.4324/9780203449530, présentation en ligne, lire en ligne).

• Métrique intérieure de Schwarzschild (en)
• Singularité de Schwarzschild
• Métrique de Lemaître
• Trou noir

• (en) Schwarzschild Black Hole sur le site scienceworld.wolfram.com
• [Gourgoulhon 2014] É. Gourgoulhon, Relativité générale (cours d'introd. à la relativité générale donné en 2^de année du master-recherche Astronomie, astrophysique et ingénierie spatiale de la Fédération des enseignements d'astronomie et d'astrophysique d'Île-de-France (obs. de Paris, univ. Paris-VI, VII et XI, et ÉNS), année universitaire 2013-2014), Paris, obs. de Paris, mars 2014, 1 vol., 341, 30 cm (présentation en ligne, lire en ligne).

• Portail de la physique