La perturbation apportée au système est décrite par un champ de vitesse d'amplitude infiniment petite, ${\displaystyle (u'(x,z,t),w'(x,z,t)).\,}$ Comme on suppose le fluide incompressible, ce champ de vitesse est irrotationel et peut être décrit par des lignes de courant.

${\displaystyle {\textbf {u}}'=(u'(x,z,t),w'(x,z,t))=(\psi _{z},-\psi _{x}),\,}$

où les indices indiquent les dérivations partielles. En outre, dans un fluide incompressible initialement en mouvement stationnaire, il n'y a pas de tourbillon, et le champ de vitesse du fluide demeure irrotationnel, soit ${\displaystyle \nabla \times {\textbf {u}}'=0\,}$. En termes de ligne de courant, ${\displaystyle \nabla ^{2}\psi =0.\,}$ Ensuite, comme le système est invariant par toute translation dans la direction x, on peut chercher une solution sous la forme

${\displaystyle \psi \left(x,z,t\right)=e^{i\alpha \left(x-ct\right)}\Psi \left(z\right),\,}$

où ${\displaystyle \alpha \,}$ est le nombre d'onde spatial. Ainsi, le problème se ramène à la résolution de l'équation

${\displaystyle \left(D^{2}-\alpha ^{2}\right)\Psi _{j}=0,\,\,\,\ D={\frac {d}{dz}},\,\,\,\ j=L,G.\,}$

Le domaine sur lequel on résout le problème est le suivant : le fluide indexé « L » est confiné à la région ${\displaystyle -\infty <z\leq 0\,}$, tandis que le fluide indexé « G » se trouve dans le demi-plan supérieur${\displaystyle 0\leq z<\infty \,}$. Pour la détermination de la solution complète, il faut fixer les conditions aux limites et à l’interface. Cela détermine la célérité c, laquelle à son tour gouverne les propriétés de stabilité du système.

La première de ces conditions est fournie par les données aux limites. Les vitesses de perturbation ${\displaystyle w'_{i}\,}$ devraient satisfaire une condition d'imperméabilité (flux nul), interdisant au fluide de s'expandre en dehors du domaine d'étude ${\displaystyle z=\pm \infty .\,}$ Ainsi, ${\displaystyle w_{L}'=0\,}$ le long de ${\displaystyle z=-\infty \,}$, et ${\displaystyle w_{G}'=0\,}$ pour ${\displaystyle z=\infty \,}$. En termes de lignes de courant, cela s'écrit

${\displaystyle \Psi _{L}\left(-\infty \right)=0,\qquad \Psi _{G}\left(\infty \right)=0.\,}$

Les trois autres conditions sont fournies par le comportement de l’interface ${\displaystyle z=\eta \left(x,t\right)\,}$.

Continuité de la composante verticale de vitesse ; en ${\displaystyle z=\eta }$, les composantes verticales de vitesse doivent se raccorder : ${\displaystyle w'_{L}=w'_{G}\,}$. En termes de lignes de courant, cela s'écrit

${\displaystyle \Psi _{L}\left(\eta \right)=\Psi _{G}\left(\eta \right).\,}$

Par un développement limité en ${\displaystyle z=0\,}$ on obtient

${\displaystyle \Psi _{L}\left(0\right)=\Psi _{G}\left(0\right)+{\text{o(z)}},\,}$

C’est l’équation exprimant la condition d’interface.

Condition de surface libre : Le long de la surface libre ${\displaystyle z=\eta \left(x,t\right)\,}$, la condition cinématique suivante s'applique:

${\displaystyle {\frac {\partial \eta }{\partial t}}+u'{\frac {\partial \eta }{\partial x}}=w'\left(\eta \right).\,}$

Par linéarisation, on obtient simplement

${\displaystyle {\frac {\partial \eta }{\partial t}}=w'\left(0\right),\,}$

où la vitesse ${\displaystyle w'\left(\eta \right)\,}$ est linéarisée sur la surface ${\displaystyle z=0\,}$. En utilisant les représentations de mode normal et les lignes de courant, cette condition est ${\displaystyle c\eta =\Psi \,}$, deuxième condition d’interface.

Saut de pression à l'interface: Dans le cas où l'on prend en compte une tension superficielle, le saut de pression à travers l’interface en ${\displaystyle z=\eta }$ est donné par l’équation de Laplace :

${\displaystyle p_{G}\left(z=\eta \right)-p_{L}\left(z=\eta \right)=\sigma \kappa ,\,}$

où σ est la tension superficielle et κ est la courbure de l’interface, dont une approximation s'obtient en linéarisant :

${\displaystyle \kappa =\nabla ^{2}\eta =\eta _{xx}.\,}$

Ainsi,

${\displaystyle p_{G}\left(z=\eta \right)-p_{L}\left(z=\eta \right)=\sigma \eta _{xx}.\,}$

Toutefois, cette condition fait intervenir la pression totale (=pression de base+perturbation), c'est-à-dire

${\displaystyle \left[P_{G}\left(\eta \right)+p'_{G}\left(0\right)\right]-\left[P_{L}\left(\eta \right)+p'_{L}\left(0\right)\right]=\sigma \eta _{xx}.\,}$

(Comme d'habitude, on peut linéariser les perturbations des différentes grandeurs le long de la surface z=0.) En exprimant l’équilibre hydrostatique, sous la forme

${\displaystyle P_{L}=-\rho _{L}gz+p_{0},\qquad P_{G}=-\rho _{G}gz+p_{0},\,}$

on obtient

${\displaystyle p'_{G}-p'_{L}=g\eta \left(\rho _{G}-\rho _{L}\right)+\sigma \eta _{xx},\qquad {\text{on }}z=0.\,}$

L’altération du champ de pression est évaluée par les fonctions de courant, grâce à l’équation de l'impulsion horizontale tirée des équations d'Euler linéarisées pour les perturbations, ${\displaystyle {\frac {\partial u_{i}'}{\partial t}}=-{\frac {1}{\rho _{i}}}{\frac {p_{i}'}{\partial x}}\,}$ avec ${\displaystyle i=L,G,\,}$ qui donne

${\displaystyle p_{i}'=\rho _{i}cD\Psi _{i},\qquad i=L,G.\,}$

Reportant cette dernière équation avec la condition de saut,

${\displaystyle c\left(\rho _{G}D\Psi _{G}-\rho _{L}D\Psi _{L}\right)=g\eta \left(\rho _{G}-\rho _{L}\right)+\sigma \eta _{xx}.\,}$

En exploitant la deuxième condition d'interface ${\displaystyle c\eta =\Psi \,}$ et en utilisant la représentation de mode normal, cette relation devient

${\displaystyle c^{2}\left(\rho _{G}D\Psi _{G}-\rho _{L}D\Psi _{L}\right)=g\Psi \left(\rho _{G}-\rho _{L}\right)-\sigma \alpha ^{2}\Psi ,\,}$

où il est d'ailleurs inutile d'indexer ${\displaystyle \Psi \,}$ (seulement ses dérivées) puisque ${\displaystyle \Psi _{L}=\Psi _{G}\,}$ lorsque ${\displaystyle z=0.\,}$

Solution

À présent qu'on a décrit mathématiquement le modèle d'écoulement stratifié, la solution est à portée. L’équation des lignes de courant ${\displaystyle \left(D^{2}-\alpha ^{2}\right)\Psi _{i}=0,\,}$ avec les conditions aux limites ${\displaystyle \Psi \left(\pm \infty \right)\,}$ se résout selon

${\displaystyle \Psi _{L}=A_{L}e^{\alpha z},\qquad \Psi _{G}=A_{G}e^{-\alpha z}.\,}$

La première condition d’interface édicte que ${\displaystyle \Psi _{L}=\Psi _{G}\,}$ en ${\displaystyle z=0\,}$, ce qui impose ${\displaystyle A_{L}=A_{G}=A.\,}$ La troisième condition d’interface édicte que

${\displaystyle c^{2}\left(\rho _{G}D\Psi _{G}-\rho _{L}D\Psi _{L}\right)=g\Psi \left(\rho _{G}-\rho _{L}\right)+\sigma \alpha ^{2}.\,}$

Reportant la solution dans cette équation, on forme la relation

${\displaystyle Ac^{2}\alpha \left(-\rho _{G}-\rho _{L}\right)=Ag\left(\rho _{G}-\rho _{L}\right)+\sigma \alpha ^{2}.\,}$

Le A se simplifie de part et d'autre, et il reste

${\displaystyle c^{2}={\frac {g}{\alpha }}{\frac {\rho _{L}-\rho _{G}}{\rho _{L}+\rho _{G}}}+{\frac {\sigma \alpha }{\rho _{L}+\rho _{G}}}.\,}$

Pour interpréter complètement ce résultat, il est intéressant de considérer le cas où la tension superficielle est nulle. Dans ce cas,

${\displaystyle c^{2}={\frac {g}{\alpha }}{\frac {\rho _{L}-\rho _{G}}{\rho _{L}+\rho _{G}}},\qquad \sigma =0,\,}$

et il est ainsi clair que

• si ${\displaystyle \rho _{G}<\rho _{L}\,}$, ${\displaystyle c^{2}>0\,}$ et c est réel. C’est ce qui advient quand le fluide le plus léger est au-dessus;
• si ${\displaystyle \rho _{G}>\rho _{L}\,}$, ${\displaystyle c^{2}<0\,}$ et c est imaginaire pur : c’est ce qui advient quand le fluide le plus lourd est au-dessus.

Donc, lorsque le fluide le plus lourd est au-dessus, ${\displaystyle c^{2}<0\,}$, et

${\displaystyle c=\pm i{\sqrt {\frac {g{\mathcal {A}}}{\alpha }}},\qquad {\mathcal {A}}={\frac {\rho _{G}-\rho _{L}}{\rho _{G}+\rho _{L}}},\,}$

où ${\displaystyle {\mathcal {A}}\,}$ est le Nombre d'Atwood. En ne considérant que la solution positive, nous voyons que la solution est de la forme

${\displaystyle \Psi \left(x,z,t\right)=Ae^{-\alpha |z|}\exp \left[i\alpha \left(x-ct\right)\right]=A\exp \left(\alpha {\sqrt {\frac {g{\tilde {\mathcal {A}}}}{\alpha }}}t\right)\exp \left(i\alpha x-\alpha |z|\right)\,}$

et qu'elle est associée à la position η de l’interface par : ${\displaystyle c\eta =\Psi .\,}$ Posons à présent${\displaystyle B=A/c.\,}$