Les trois principales dimensions topologiques sont les deux dimensions inductivesind et Ind et la dimension de recouvrementdim. Les dimensions Ind et dim coïncident pour tout espace métrisable ; si l'espace est de plus séparable, ses trois dimensions topologiques sont égales[1]. Ces « bons espaces » incluent en particulier les variétés topologiques et a fortiori les variétés différentielles. La dimension topologique n'est pas vraiment l'outil adapté à des applications pratiques, pour lesquelles on lui préfère la notion de dimension fractale.
De même[N 3], la condition ci-dessus pour Ind(E) ≤ n peut être remplacée (pour E normal) par : pour tout fermé F, les ouverts U contenant F et tels que ind(∂U) < n forment une base de voisinages de F[5].
Espace de dimension zéro
Un espace topologique non vide est dit « de dimension zéro[9] » s'il possède une base d'ouverts-fermés ; un tel espace vérifie l'axiome T3[10].
Les espaces de dimension zéro sont donc exactement les espaces T3 pour lesquels ind = 0 (d'après la définition ci-dessus en termes de base d'ouverts).
Une partie non vide de R est de dimension zéro si et seulement si elle est d'intérieur vide[13] (comme Q, R\Q ou le compact de Cantor, ces deux derniers étant d'ailleurs homéomorphes à des produits d'espaces discrets : NN et {0, 1}N).
Il existe un espace compact de dimension zéro contenant un sous-espace M tel que dim(M) = Ind(M) = 1[15].
Exemples
La dimension de tout ouvert non vide de Rn est n[N 6].
Un arc de Jordan rectifiable dans Rn est de dimension 1, une portion de surface régulière est de dimension 2, etc.
Propriétés
Pour tout espace Ede Lindelöf, dim(E) ≤ ind(E) ≤ Ind(E) (inégalités d'Aleksandrov) et si ind(E) = 1 alors Ind(E) = 1[16],[17],[N 7]. À partir de 1, les trois dimensions peuvent être distinctes : pour tout entier i ≥ 1, il existe un compact Xi tel que dim(Xi) = 1, ind(Xi) = i et Ind(Xi) = 2i – 1[16].
Pour tout espace normal E, si F est fermé dans E alors Ind(F) ≤ Ind(E)[18], mais il existe des contre-exemples si F n'est pas fermé (cf. § « Espace de dimension zéro » ci-dessus).
Il existe un compact E réunion de deux fermés F1 et F2 tels que Ind(F1) = Ind(F2) = 1 mais Ind(E) = 2[19].
des compacts X et Y tels que Ind(X) = 1 et dim(Y) = Ind (Y) = 2 mais ind(X×Y) = 4[22] ;
un espace de Lindelöf X de dimension zéro tel que X2 soit normal et dim(X2) = 1[23].
Cependant, Ind(X×Y) ≤ Ind(X) + Ind (Y) (pour X et Y non tous deux vides) dès que X est parfaitement normal et Y est métrisable[24],[25] (mais l'inégalité peut être stricte : il existe même[26] un espace métrisable séparable X homéomorphe à X2 et de dimension 1).
La dimension de recouvrement de Lebesgue, dim, se définit de même par ses majorants mais sans récurrence : dim(E) ≤ n si tout recouvrement ouvert fini de E admet un recouvrement ouvert fini plus fin tel que chaque point de E appartient à au plus n + 1 ouverts de ce dernier recouvrement.
La dimension de Hausdorff d'un espace métrisable dépend spécifiquement de la distance utilisée. La dimension topologique d'un espace métrisable séparable E est le minimum des dimensions de Hausdorff de E pour toutes les distances sur E compatibles avec sa topologie[31].
La définition de fractale initialement donnée par Benoît Mandelbrot est celle d'un espace métrique dont la dimension topologique est strictement inférieure à la dimension de Hausdorff[32], mais il l'a rapidement remplacée par une définition plus vague, permettant d'inclure par exemple la courbe de Hilbert.
↑Ou (plus rarement) : pour tout espace vérifiant T4 mais pas nécessairement T1.
↑Rappelons que dans tout espace topologique, un ensemble de parties est une base si et seulement si pour tout point x, celles de ces parties qui contiennent x forment une base de voisinages de x.
↑Ceci complète deux résultats ci-dessus sur les espaces de dimension zéro.
↑Théorème dû à Dowker, qui suppose seulement que E est « totalement normal ». C'est un axiome de séparation intermédiaire entre « parfaitement normal » et « complètement normal ».
↑(en) J. M. Aarts et T. Nishiura, Dimension and Extensions, North-Holland, (lire en ligne), p. 5.
↑Ou « scattered space » dans (en) Michel Coornaert, Topological Dimension and Dynamical Systems, Springer, (DOI10.1007/978-3-319-19794-4, lire en ligne), p. 31, qui réserve le terme « dimension » à la dimension de recouvrement. Mais pour la plupart des auteurs, « scattered space » signifie « espace dispersé », qui est une autre notion (Steen et Seebach, p. 33).
↑ a et b(en) V. V. Filippov, « A survey of dimension theory », dans 20 Lectures Delivered at the ICM in Vancouver, 1974, AMS, (lire en ligne), p. 47-50.
↑Engelking 1978, p. 220 et 199, le démontre même pour les espaces « fortement paracompacts ».
↑Cité dans (en) Nobuo Kimura, « On a sum theorem in dimension theory », Proc. Japan Acad., vol. 43, no 2, , p. 98-102 (lire en ligne).
↑Preuve (en termes de ind) dans le cas où E est métrisable et séparable : Engelking 1978, p. 42.
↑V. V. Filippov (1972), cité dans (en) Eric K. van Douwen, « The small inductive dimension can be raised by the adjunction of a single point », Indag. Math., vol. 76, no 5, , p. 434-442 (DOI10.1016/1385-7258(73)90067-X) et dans (en) V. A. Chatyrko et K. L. Kozlov, « On (transfinite) small inductive dimension of products », Comment. Math. Univ. Carol., vol. 41, no 3, , p. 597-603 (lire en ligne).
↑(en) Teodor C. Przymusiński, « On the dimension of product spaces and an example of M. Wage », Proc. Amer. Math. Soc., vol. 76, , p. 315-321 (lire en ligne).
↑(en) Nobuo Kimura, « On the inductive dimension of product spaces », Proc. Japan Acad., vol. 39, no 9, , p. 641-646 (lire en ligne).
↑Engelking 1978, p. 202-203 et (en termes de ind) dans le cas particulier où X et Y sont métrisables et séparables p. 46.
↑(en) P. Erdős, « The dimension of the rational points in Hilbert space », Ann. Math., 2e série, vol. 41, , p. 734-736 (lire en ligne).
↑(en) Prabir Roy, « Failure of equivalence of dimension concepts for metric spaces », Bull. Amer. Math. Soc., vol. 68, no 6, , p. 609-613 (lire en ligne) et (en) Prabir Roy, « Nonequality of dimensions for metric spaces », Trans. Amer. Math. Soc., vol. 134, , p. 117-132 (lire en ligne).
