Soient ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ une base de ${\displaystyle E}$ vérifiant cette hypothèse et ${\displaystyle (U_{i})_{i\in I}}$ un recouvrement ouvert arbitraire de ${\displaystyle E}$. Notons ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ l'ensemble des ouverts ${\displaystyle O\in {\mathcal {B}}}$ inclus dans au moins un ${\displaystyle U_{i}}$:

${\displaystyle {\mathcal {C}}=\{O\in {\mathcal {B}}\quad \exists i\in I\quad O\subset U_{i}\}}$

et montrons que ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ recouvre ${\displaystyle E}$.

Puisque ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ est une base, chaque ${\displaystyle U_{i}}$ est une réunion d'ouverts ${\displaystyle O\in {\mathcal {B}}}$, et même ${\displaystyle O\in {\mathcal {C}}}$ puisque ${\displaystyle O\in U_{i}}$, donc chaque ${\displaystyle U_{i}}$ est inclus dans la réunion ${\displaystyle \bigcup _{O\in {\mathcal {C}}}O}$, si bien que la réunion ${\displaystyle E=\bigcup _{i\in I}U_{i}}$ l'est aussi, donc ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ recouvre bien ${\displaystyle E}$.

Par hypothèse sur ${\displaystyle B}$, ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ possède alors un sous-recouvrement fini ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$. Pour chaque ${\displaystyle O\in {\mathcal {F}}}$, si l'on note ${\displaystyle i_{O}}$ l'un des ${\displaystyle i\in I}$ pour lesquels ${\displaystyle O\subset U_{i}}$, la famille ${\displaystyle (U_{i_{O}})_{O\in {\mathcal {F}}}}$ est un sous-recouvrement fini de ${\displaystyle U_{i}}$.

• Seulement si : immédiat car toute chaîne est stable par intersections finies.
• Si : soient ${\displaystyle X}$ un espace dans lequel l'intersection de toute chaîne de fermés non vides est non vide, ${\displaystyle (F_{i})_{i\in I}}$ une famille non vide de fermés non vides de ${\displaystyle X}$ stable par intersections finies et ${\displaystyle F}$ son intersection. Il s'agit de montrer que ${\displaystyle F\neq \emptyset }$. Notons ${\displaystyle M}$ l'ensemble de tous les fermés non vides ${\displaystyle G}$ de ${\displaystyle X}$ tels que ${\displaystyle \forall i\in I,G\cap F_{i}\neq \emptyset }$ et ${\displaystyle F\subset G\cap F_{i}}$. Tous les ${\displaystyle F_{i}}$ appartiennent à ${\displaystyle M}$, qui est donc non vide. Par hypothèse sur ${\displaystyle X}$, toute chaîne non vide d'éléments de ${\displaystyle M}$ a pour intersection un élément de ${\displaystyle M}$. D'après le lemme de Zorn, ${\displaystyle M}$ possède donc au moins un élément ${\displaystyle G}$ minimal pour l'inclusion. Or ${\displaystyle M}$ est stable par intersection avec chaque ${\displaystyle F_{i}}$ donc il contient tous les ${\displaystyle G\cap F_{i}}$. Par minimalité, ${\displaystyle G}$ est par conséquent inclus dans tous les ${\displaystyle F_{i}}$ donc dans ${\displaystyle F}$, ce qui prouve que ${\displaystyle F}$ n'est pas vide.

1. ⇒ 2. Soit ℱ un filtre sur ${\displaystyle E}$. Alors ${\displaystyle \bigcap \nolimits _{F\in {\text{ℱ}}}\!{\bar {F}}\neq \varnothing }$.
En effet l'intersection d'un nombre fini d'éléments de ℱ étant non vide, toute intersection finie ${\displaystyle {\overline {F_{1}}}\cap \ldots \cap {\overline {F_{n}}}}$ est non vide (où ${\displaystyle F_{1},\ldots ,F_{n}\in {\text{ℱ}}}$). Par compacité de ${\displaystyle E}$ l'intersection ci-dessus est non vide et possède donc un élément ${\displaystyle a}$. Cet élément est adhérent à tout ${\displaystyle F\in {\text{ℱ}}}$, c'est-à-dire que tout voisinage de ${\displaystyle a}$ rencontre ${\displaystyle F}$ ; c'est la définition-même de l'adhérence d'un point à un filtre.

2. ⇒ 3. Soit 𝒰 un ultrafiltre sur ${\displaystyle E}$, et ${\displaystyle a}$ l'un de ses points adhérents, qui existe par hypothèse. Soit ${\displaystyle V}$ un voisinage quelconque de ${\displaystyle a}$ ; par maximalité de 𝒰 on a : ou bien ${\displaystyle V\in {\text{𝒰}}}$ ou bien ${\displaystyle E\smallsetminus V\in {\text{𝒰}}}$. Si cette dernière assertion était vérifiée, le fait que ${\displaystyle V\cap (E\setminus V)=\varnothing }$ contredirait l'adhérence de ${\displaystyle a}$ à 𝒰. C'est alors ${\displaystyle V}$ qui est élément de 𝒰, et donc 𝒰 converge vers ${\displaystyle a}$.

3. ⇒ 1. Considérons ${\displaystyle (F_{i})_{i\in I}}$, une famille de fermés de ${\displaystyle E}$ dont l'intersection de toute sous-famille finie est non vide.
L'ensemble des intersections ${\displaystyle \bigcap \nolimits _{1\leqslant k\leqslant n}\!F_{i_{k}}}$ (où ${\displaystyle i_{1},\ldots ,i_{n}\in I}$) constitue donc une base de filtre, laquelle engendre un filtre qui est lui-même inclus dans un ultrafiltre 𝒰. Par hypothèse 𝒰 converge vers un point ${\displaystyle a}$. Soit ${\displaystyle i\in I}$, et soit ${\displaystyle V}$ un voisinage quelconque de ${\displaystyle a}$, alors ${\displaystyle V\cap F_{i}\neq \varnothing }$ car ces deux ensembles sont éléments de 𝒰 ; on en déduit que ${\displaystyle a\in {\overline {F_{i}}}=F_{i}}$. Il en résulte que ${\displaystyle a\in \bigcap \nolimits _{i\in I}\!F_{i}}$ ; ce dernier ensemble est donc non vide et la propriété de Borel-Lebesgue (version en termes de fermés) est satisfaite pour ${\displaystyle E}$.

• dans la paire {0, 1} munie de la topologie grossière, {0} et {1} sont compacts mais pas fermés ;
• dans le produit de cette paire par ℝ (muni de sa topologie usuelle), {1}×[–1, 1] et ({0}×[–1, 0])∪({1}×]0, 1]) sont canoniquement homéomorphes à [–1, 1] donc compacts (mais non fermés) et leur intersection, {1}×]0, 1], n'est même pas quasi-compacte ;
• ce même exemple montre que la compacité n'est pas préservée par réunions finies (seule la quasi-compacité l'est).

• Un espace compact est normal : dans un espace compact E, soient A, B deux fermés disjoints. D'après les propriétés ci-dessus, A et B sont alors deux compacts disjoints et E est séparé, si bien que A et B sont inclus dans deux ouverts disjoints, ce qui prouve que E est normal.
• Toute intersection d'une suite décroissante de compacts connexes est connexe : soit (F_n) une suite décroissante de compacts ; supposons que son intersection K n'est pas connexe. Il existe donc deux fermés F et G de F₀ tels que F⋂K et G⋂K soient non vides et complémentaires dans K. Par normalité de F₀, il existe alors deux ouverts disjoints U et V de F₀ qui contiennent respectivement F⋂K et G⋂K. Notons W la réunion de ces deux ouverts et G_n le fermé F_n\W. Les G_n forment une suite décroissante de compacts d'intersection vide, donc l'un des G_n est vide. Le F_n correspondant est alors inclus dans la réunion disjointe W = U⋃V. Comme ce F_n rencontre chacun des deux ouverts U et V, il n'est pas connexe, ce qui démontre la contraposée de la proposition.

• Si X est quasi-compact alors la projection p_Y : X×Y → Y est fermée pour tout Y : voir « Lemme du tube ».
• Réciproquement, supposons que la projection p_Y : X×Y → Y est fermée pour tout Y et montrons que X est quasi-compact. Soit (U_i)_i∈I un recouvrement ouvert de X. Notons
  • ∞ un élément arbitraire n'appartenant pas à X,
  • Y l'union disjointe de X et du singleton {∞},
  • E l'ensemble des parties de X qui sont des réunions d'un nombre fini de U_i,
  • B l'ensemble des parties de Y qui ou bien ne contiennent pas ∞, ou bien sont complémentaires dans Y d'un élément de E,
  • ∆ la diagonale de X (c.-à-d. l'ensemble des couples (x, x) quand x parcourt X), qui est une partie de X×X donc de X×Y.

On vérifie sans peine que B constitue la base d'une topologie sur Y et on applique l'hypothèse à cet espace topologique Y : l'image par p_Y du fermé ∆ est un fermé de Y. De plus, p_Y(∆) (qui contient X) ne contient pas ∞ (car X×{∞} est inclus dans un ouvert disjoint de ∆ : la réunion des U_i×(Y\U_i)). Ceci prouve que {∞} est un ouvert de Y. On en déduit que X appartient à E, ce qui conclut.

Soit f : A → B avec B quasicompact et Gr(f) fermé dans A×B, et soit F un fermé de B. Alors f⁻¹(F) est un fermé de A, comme image du fermé (A×F)∩Gr(f) par l'application fermée p_A : A×B → A.