Χωρίς βλάβη της γενικότητας υποθέτουμε ότι ${\displaystyle r_{1}\geq r_{2}}$. Θεωρούμε την προβολή ${\displaystyle {\rm {E}}}$ του ${\displaystyle {\rm {O_{2}}}}$ στην ${\displaystyle {\rm {O_{1}A}}}$. Το τετράπλευρο ${\displaystyle {\rm {ABO_{2}E}}}$ είναι ορθογώνιο, επομένως

${\displaystyle {\rm {O_{2}E=AB}}}$ και ${\displaystyle {\rm {EO_{1}}}=r_{1}-r_{2}}$.

Εφαρμόζοντας το Πυθαγόρειο θεώρημα στο ορθογώνιο τρίγωνο ${\displaystyle {\rm {EO_{1}O_{2}}}}$, καταλήγουμε ότι

${\displaystyle {\rm {AB}}={\rm {EO_{1}}}={\sqrt {\delta ^{2}-(r_{1}-r_{2})^{2}}}}$.

Έστω ${\displaystyle {\rm {AB}}}$ η κοινή χορδή των δύο κύκλων και ${\displaystyle {\rm {M}}}$ το σημείο τομής της ${\displaystyle {\rm {AB}}}$ με την διάκεντρο ${\displaystyle {\rm {O_{1}O_{2}}}}$.

Η διάκεντρος ${\displaystyle {\rm {O_{1}O_{2}}}}$ είναι και μεσοκάθετος της ${\displaystyle {\rm {AB}}}$, άρα το ${\displaystyle {\rm {AM}}}$ είναι ύψος του τριγώνου ${\displaystyle {\rm {AO_{1}O_{2}}}}$. Από τον τύπο του Ήρωνα, έχουμε ότι το ύψος ισούται με

${\displaystyle {\rm {AM}}={\frac {2}{\delta }}\cdot {\sqrt {\tau \cdot (\tau -r_{1})\cdot (\tau -r_{2})\cdot (\tau -\delta )}}}$,

όπου ${\displaystyle \tau }$ είναι η ημιπερίμετρος του τριγώνου ${\displaystyle {\rm {AO_{1}O_{2}}}}$, δηλαδή:

${\displaystyle \tau ={\frac {r_{1}+r_{2}+\delta }{2}}}$.

Συνεπώς, καταλήγουμε ότι

${\displaystyle {\rm {AB}}=2{\rm {AM}}={\frac {1}{\delta }}\cdot {\sqrt {(r_{1}+r_{2}+\delta )\cdot (-r_{1}+r_{2}+\delta )\cdot (r_{1}-r_{2}+\delta )\cdot (r_{1}+r_{2}-\delta )}}}$.