Τα τρίγωνα ${\displaystyle \mathrm {AOB} }$ και ${\displaystyle \mathrm {AO\Gamma } }$ είναι ισοσκελή, καθώς ${\displaystyle \mathrm {OA} =\mathrm {OB} }$ και ${\displaystyle \mathrm {OA} =\mathrm {O\Gamma } }$ ως ακτίνες του ίδιου κύκλου. Επομένως, οι προσκείμενες στη βάση γωνίες είναι ίσες:

${\displaystyle {\widehat {\rm {ABO}}}={\widehat {\rm {BAO}}}}$ και ${\displaystyle {\widehat {\rm {\Gamma AO}}}={\widehat {\rm {A\Gamma O}}}}$.

Επομένως,

${\displaystyle {\hat {\rm {A}}}={\widehat {\rm {BA\Gamma }}}={\widehat {\rm {BAO}}}+{\widehat {\rm {OA\Gamma }}}={\hat {\rm {B}}}+{\hat {\rm {\Gamma }}}}$.

Στο τρίγωνο ${\displaystyle \mathrm {AB\Gamma } }$ έχουμε ότι το άθροισμα των γωνιών είναι ${\displaystyle 180^{\circ }}$ άρα

${\displaystyle {\hat {\rm {A}}}+{\hat {\rm {B}}}+{\hat {\rm {\Gamma }}}=180^{\circ }\Rightarrow 2\cdot {\hat {\rm {A}}}=180^{\circ }\Rightarrow {\hat {\rm {A}}}=90^{\circ }}$.

${\displaystyle \square }$

Έστω ${\displaystyle \mathrm {M} }$ το μέσο της ${\displaystyle \mathrm {B\Gamma } }$. Θα αποδείξουμε ότι ${\displaystyle \mathrm {AM} =\mathrm {BM} =\mathrm {\Gamma M} }$ και επομένως ο κύκλος με κέντρο ${\displaystyle {\rm {M}}}$ και ακτίνα ${\displaystyle {\rm {AM}}}$ διέρχεται από τα σημεία ${\displaystyle {\rm {A}}}$, ${\displaystyle {\rm {B}}}$ και ${\displaystyle {\rm {\Gamma }}}$.

Έστω ${\displaystyle {\rm {M\Delta }}}$ η κάθετη στην ${\displaystyle {\rm {AB}}}$ και ${\displaystyle {\rm {ME}}}$ η κάθετη στην ${\displaystyle {\rm {A\Gamma }}}$. Άρα το τετράπλευρο ${\displaystyle {\rm {A\Delta EM}}}$ είναι ορθογώνιο παραλληλόγραμμο και επομένως ${\displaystyle \mathrm {A\Delta } =\mathrm {ME} }$ (και ${\displaystyle \mathrm {AE} =\mathrm {M\Delta } }$.

Επίσης, ${\displaystyle {\widehat {\rm {\Delta MB}}}={\hat {\rm {\Gamma }}}}$ ως συμπληρωματικές γωνίες στην ${\displaystyle {\hat {\rm {B}}}}$ στα ορθογώνια τρίγωνα ${\displaystyle {\rm {\Delta MB}}}$ και ${\displaystyle {\rm {AB\Gamma }}}$. Ακόμα ${\displaystyle {\widehat {\rm {EM\Gamma }}}={\hat {\rm {A}}}}$ ως συμπληρωματικές γωνίες στην ${\displaystyle {\hat {\rm {\Gamma }}}}$ στα ορθογώνια τρίγωνα ${\displaystyle {\rm {EM\Gamma }}}$ και ${\displaystyle {\rm {AB\Gamma }}}$.

Επομένως, τα τρίγωνα ${\displaystyle {\rm {A\Delta M}}}$ και ${\displaystyle {\rm {ME\Gamma }}}$ είναι ίσα αφού έχουν μία πλευρά και τις δύο προκείμενες γωνίες ίσες (κριτήριο γωνίας-πλευράς-γωνίας). Επομένως, ${\displaystyle \mathrm {B\Delta } =\mathrm {ME} =\mathrm {A\Delta } }$, άρα η ${\displaystyle {\rm {M\Delta }}}$ είναι ύψος και διάμεσος στο τρίγωνο ${\displaystyle {\rm {ABM}}}$, άρα το τρίγωνο είναι και ισοσκελές με ${\displaystyle \mathrm {MA} =\mathrm {MB} }$. Αυτό ολοκληρώνει την ζητούμενο.${\displaystyle \quad \square }$