Chceme-li aproximovat funkci danou svými body ${\displaystyle x_{0}\cdots x_{n}}$ (tzv. uzly interpolace), a požadujeme aby interpolace procházela zadanými body, použijeme aproximaci interpolačním polynomem. Tato interpolace nám poslouží k získání přibližné hodnoty funkce v libovolném bodě intervalu ${\displaystyle <x_{0},x_{n}>}$.

Tvar Newtonova interpolačního polynomu:

$${\displaystyle N_{n}(x)=a_{0}+a_{1}(x-x_{0})+a_{2}(x-x_{0})(x-x_{1})+...+a_{n}(x-x_{0})(x-x_{1})...(x-x_{n-1})}$$

Koeficienty ${\displaystyle a_{0}\cdots a_{n}}$ lze vypočítat pomocí poměrných diferencí. (viz níže)

V každém sloupci tabulky se budou nacházet poměrné diference daného řádu. Diferencemi 0. řádu budou přímo funkční hodnoty v bodech ${\displaystyle x_{i}}$.

Poměrné diference 1. řádu vyjádříme:

${\displaystyle f[x_{i},x_{i+1}]={\frac {f(x_{i+1})-f(x_{i})}{x_{i+1}-x_{i}}}}$

Poměrné diference 2. řádu vyjádříme:

${\displaystyle f[x_{i},x_{i+1},x_{i+2}]={\frac {f[x_{i+1},x_{i+2}]-f[x_{i},x_{i+1}]}{x_{i+2}-x_{i}}}}$

Ostatní diference vyjádříme analogicky.

Hledáme polynom procházející body: ${\displaystyle [-2,-39],[0,3],[1,6],[3,36]}$

${\displaystyle x_{i}}$	${\displaystyle f(x_{i})}$	Diference 1. řádu	Diference 2. řádu	Diference 3. řádu
${\displaystyle x_{0}=-2}$	${\displaystyle f(x_{0})=-39=a_{0}}$
${\displaystyle x_{1}=0}$	${\displaystyle f(x_{1})=3}$	${\displaystyle {\frac {3-(-39)}{0-(-2)}}=21=a_{1}}$
${\displaystyle x_{2}=1}$	${\displaystyle f(x_{2})=6}$	${\displaystyle {\frac {6-3}{1-0}}=3}$	${\displaystyle {\frac {3-21}{1-(-2)}}=-6=a_{2}}$
${\displaystyle x_{3}=3}$	${\displaystyle f(x_{3})=36}$	${\displaystyle {\frac {36-6}{3-1}}=15}$	${\displaystyle {\frac {15-3}{3-0}}=4}$	${\displaystyle {\frac {4-(-6)}{3-(-2)}}=2=a_{3}}$

${\displaystyle P_{3}(x)=a_{0}+a_{1}(x-x_{0})+a_{2}(x-x_{0})(x-x_{1})+a_{3}(x-x_{0})(x-x_{1})(x-x_{2})}$

${\displaystyle P_{3}(x)=-39+21(x+2)-6(x+2)x+2(x+2)x(x-1)}$

Newtonův interpolační polynom má tu výhodu, že je pro něj oproti Lagrangeově interpolaci výpočetně méně náročné přidat jeden bod, protože některé výpočty zůstanou beze změny (například předchozí koeficienty ${\displaystyle a_{k}}$ se nezmění).

• Lagrangeova interpolace
• Metoda nejmenších čtverců
• Geometrie – více informací o křivkách

• Newtonův interpolační polynom: http://kfe.fjfi.cvut.cz/~limpouch/…