Geometrické útvary patří vedle čísel k nejstarším zkoumaným předmětům matematiky, jednoduchou představu o některých z nich měli lidé zřejmě již v paleolitu, starší době kamenné.[2] V neolitu se pak různé útvary staly základem geometrické ornamentiky na více místech světa.[3] Další rozvoj přišel s nástupem prvních států v Mezopotámii a Egyptě, kde se poznatky o útvarech využívaly v zeměměřičství a stavebnictví. Babylóňané již znali zvláštní případy Pythagorovy věty a egyptští geometři uměli počítat obsah trojúhelníka i kruhu, přičemž jejich odhad čísla pí byl asi 3,1605.[3] K řadě poznatků se dospělo také ve starověké Indii a Číně.[4]
Na vědeckou úroveň povznesli matematiku staří Řekové. Filozof, matematik a astronom Thalés z Milétu jako jeden z prvních zkoumal geometrické útvary pomocí dedukce a abstraktních úvah. Dokázal například změřit vzdálenost lodě na moři pomocí její relativní velikosti a předpověděl zatmění Slunce v roku 585 př. n. l.[5] Další známou postavou se stal Pythagoras, který žil v 6. století př. n. l. Působil na jihu Itálie a založil tam školu, která byla přístupná mužům i ženám. Na škole měl neomezenou autoritu. Z této doby pochází pravděpodobně formální důkazPythagorovy věty, ačkoliv nejstarší zachovalý formální důkaz známe až od Eucleida.[6]
Eukleida dnes považujeme za nejvýznamnějšího geometra starověku.[7] Jeho kniha zvaná Základy (Στοιχεῖα) se stala na dlouhou dobu základní učebnicí geometrie.[8] Eukleides v této knize zachytil abstraktní strukturu geometrických útvarů pomocí definic, axiomů a postulátů. Geometrie vycházející z těchto postulátů se nazývá Eukleidovská geometrie a v moderní formě se dnes učí na základních i středních školách.
Mnohé zajímavé geometrické útvary možno najít ve středověké islámské architektuře. Jako dekorace některých staveb se například používala dláždění skládající se z pěti typů dlaždiček (tzv. girih dlaždičky), z kterých je podle novějších výzkumů možné sestrojit i neperiodická dláždění.[15]
Arabští matematici také uměli algebraicky řešit jisté kubické rovnice a interpretovat výsledky geometricky.[16]
V Evropě se v té době na většinu starověkých znalostí zapomnělo a na nově zakládaných evropských univerzitách pak byla používána literatura, která vznikla překladem matematických
spisů z arabštiny do latiny, v geometrii hlavně Eukleidových Elementů.[17]
Évariste Galois popsal počátkem 19. století symetriipolynomů v jedné proměnné a ukázal, že polynom pátého a vyššího stupně není možné obecně řešit pomocí radikálů. Jeho ideje vedly přímo k teorii grup popsané Nielsem Henrikem Abelem. Teorie grup umožňuje analyzovat symetrie abstraktním způsobem a práce Évarista Galoise vedla k vyřešení starověkých problémů trisekce úhlu, zdvojení krychle a kvadratury kruhu. Ukázalo se, že tyto konstrukce obecně nelze vytvořit jenom za pomocí pravítka a kružítka.
[21][22]
Paralelně s tímto vývojem se od konce 19. století objevují různá axiomatická zavedení geometrie (David Hilbert, Alfred Tarski, George David Birkhoff), z nichž nejznámější je Hilbertova axiomatizace.[23] V těchto pojetích se definují základní objekty (obvykle bod, přímka a prostor), relace (například relace bod je mezi dvěma jinými body apod.) a soustava axiomů, ze kterých se dokazují všechna další tvrzení.
Další významné nové myšlenky do geometrie přinesl Felix Klein ve vlivném Erlangenském programu v roce 1872. Popsal geometrii pomocí grupy symetrií, které zachovávají nějakou strukturu. Pro Eukleidovskou geometrii je to grupa všech posunutí, otočení a zrcadlení, která zachovává vzdálenosti bodů a úhly vektorů. Podle Kleinova přístupu byla každá ze známých geometrií plně charakterizována grupou zachovávající strukturu, která je příslušné geometrii vlastní. Tento přístup vedl ke studiu tzv. Lieových grup, ke kterému výrazně přispěli Sophus Lie a Élie Cartan, který zavedl velmi obecnou definici geometrie, zahrnující všechny tehdy známé geometrické struktury.
Ve 20. století se geometrie nadále vyvíjela více paralelními směry. Geometrie jsou obvykle popisovány jako matematický prostor (hladká varieta nebo topologický prostor) a nějaká další struktura na něm. Převádění těchto struktur, které se často objevují v moderní fyzice, na univerzální Cartanovu definici geometrie, řeší tzv. problém ekvivalence, který se v různých podobách objevuje po celé dvacáté století. Od 50. let je populární podobor geometrie tzv. algebraická geometrie (významnými představiteli jsou například Jean-Pierre Serre a Alexander Grothendieck), která studuje vlastnosti algebraických variet.
Přestože je geometrie nejstarší oblastí matematiky, dodnes se vyvíjí. V roce 1995 dokázal Andrew Wiles slavnou velkou Fermatovu větu pomocí teorie eliptických křivek, což je jeden se současných geometrických oborů. Od konce 70. let je v matematice populární Langlandsův program, což je řada hypotéz, které dávají do souvislostí problémy Teorie čísel a reprezentace jistých grup. Geometrická reformulace tohoto programu byla navržena Gérarddem Laumonem a Vladimirem Drinfeldem.[24] Studium geometrických struktur má také úzkou souvislost s řešením parciálních diferenciálních rovnic a problém existence a počtu řešení takových soustav se dá studovat pomocí geometrických metod.
[25] Od 80. let 20. století se objevují pokusy studovat problémy pravděpodobnosti a matematické statistiky pomocí metod diferenciální geometrie, což vedlo k zavedení pojmu informační geometrie.
[26] V současnosti je také studována tzv. Finslerova geometrie, což je jisté zobecnění Riemannovy geometrie (umíme měřit vzdálenosti, ale úhly vektorů nikoliv).
[27]
Sférická geometrie[29] popisuje geometrii prostoru, který odpovídá sféře (povrchu koule). Je to geometrie metrická, dají se na ní definovat přímky a úsečky jako křivky, které jsou lokálně nejkratší spojnice bodů (tzv. geodetiky). Přímky na sféře jsou všechny hlavní kružnice a libovolné dvě přímky se protnou. Součet úhlů v každém trojúhelníku je větší než 180 stupňů. Sférická geometrie má aplikace v geodezii a astronomii.
Lobačevského geometrie se dá lokálně modelovat na plochách, které mají konstantní a zápornou Gaussovu křivost. V třírozměrném Eukleidovském prostoru to splňují pseudosféry, které jsou lokálně izometrické hyperbolické rovině. Plocha v třírozměrném Eukleidovském prostoru, která by byla modelem celé hyperbolické roviny ale neexistuje.[31]
Deskriptivní geometrie je věda o zobrazování prostorových útvarů do roviny.[32] Jejím obsahem je popis, jak přesně zakreslit různé prostorové útvary na dvourozměrný papír anebo zobrazit na monitor.
Za zakladatele analytické geometrie je považován René Descartes,[34] který publikoval základní metody v roce 1637. Analytická geometrie zkoumá geometrické problémy a geometrické útvary popisem jejich souřadnic v pevně zvolené soustavě souřadnic. Popis problému pomocí rovnic pak umožňuje řešit geometrické problémy algebraickými a analytickými prostředky.
Geometrické problémy a útvary, které se dají popsat ve vhodně zvolené souřadné soustavě lineární funkcí, jsou předmětem studia lineární algebry. Kuželosečky se v analytické geometrii popisují kvadratickým polynomem ve více proměnných.
Výuka analytické geometrie je dnes podstatnou součástí výuky matematiky na středních školách.
Axiomatické geometrie
Axiomatický přístup ke geometrii znamená budovat nějakou teorii z co nejmenšího počtu jednoduchých pravidel (axiomů). Tento přístup stojí v protikladu s geometrií analytickou, která reprezentuje objekty jako množiny bodů. Náznaky se objevily už u Eukleida, který formuloval slavných 5 postulátů. V průběhu 19. století se v souvislosti s objevením neeukleidovkých geometriíGausse, Lobačevského a Bolyaie obnovil zájem o axiomatizaci těchto struktur. David Hilbert v knize Grundlagen der Geometrie položil základy axiomatické geometrie.
Jiný název pro axiomatickou geometrii je syntetická geometrie.
Afinní geometrie
Afinní geometrie je typ geometrie, v které jsou definovány body, vektory a přímky, nikoliv ale úhly, vzdálenosti a kružnice. Afinní geometrie splňují první, druhý a pátý Eukleidův postulát. Název afinní zavedl Leonard Euler,[35] jako samostatní disciplína se afinní geometrie chápe od Kleinova Erlangenského programu.[36]
Model pro afinní geometrii je obvykle afinní prostor spolu s množinou afinních transformací. Afinní transformace převádí přímky na přímky a zachovávají poměr délek úseček na přímce. V reálné afinní rovině afinní transformace také zachovávají poměr obsahů těles, těžiště trojúhelníků, převádějí elipsy na elipsy, paraboly na paraboly a hyperboly na hyperboly.
Afinní geometrie v rovině je možné zadat také axiomaticky. Důležitou část axiomů tvoří axiomy o existenci rovnoběžek a tvrzení, že paralelnost přímek je relace ekvivalence.[37]
V abstraktnějším pojetí studuje projektivní geometrie struktury invariantní vůči projektivním transformacím (homografiím). Invariant takových transformací je dělicí dvojpoměr. V lineární algebře se dá projektivní prostor zkonstruovat z libovolného afinního prostoru jako jeho projektivní rozšíření.[40]
Kleinova geometrie
Koncept symetrie se objevuje v geometrii od antiky. Kruh, pravidelný mnohoúhelník a Platónská tělesa vykazují vysokou míru symetrie což vzbuzovalo pozornost řeckých filozofů. Od konce 19. století se objevuje pojetí, že symetrie nějakého objektu (útvar, prostor, geometrie) je jeho charakteristická vlastnost. Popis symetrie je úzce spojen s teorií grup. Toto pojetí je formalizováno v Erlangenském programuFelixe Kleina. Klein v roce 1872 na přednášce v Erlangenudefinoval geometrii takto:
Geometrie je studium invariantů vůči grupě transformací.[41]
Transformace známých geometrií jsou popisovány pomocí Lieových grup a naopak, studium Lieových grup vedlo k popisu nových geometrických struktur. Geometrie, která je zadána pomocí Lieovy grupy G transformací nějakého prostoru a její význačné podgrupy H, se nazývá Kleinova geometrie.[42] Speciální volba grup G,H vede na Eukleidovskou, afinní a projektivní geometrii. Zobecnění těchto idejí rozpracoval Élie Cartan.
Konformní geometrie[47] je zadána třídou metrik na hladké varietě, které mají tu vlastnost, že v každém bodě jsou stejné až na kladný násobek. Tato struktura nám umožňuje měřit úhlyvektorů, nikoliv však vzdálenosti. Analogie přímek jsou tzv. neparametrické geodetiky. Grupa vlastní těmto geometriím je grupa všech transformací, které zachovávají úhly. V komplexní rovině jsou to všechny komplexní holomorfní funkce s nenulovou derivací, ve vyšších dimenzích anebo na sférách je konformních zobrazení podstatně méně. Nejjednodušší model této geometrie je dvourozměrná sféra spolu s množinou všech lineárních lomených funkcí (homografií).
Cartanova geometrie je velmi obecná definice geometrie. Je to společné zobecnění Kleinovy a Riemannovy geometrie. Podobně jako je Riemannova geometrie je zobecněním Euklidovské geometrie na prostory s nenulovou křivostí, tak v Cartanově koncepci geometrie se dá zkonstruovat analogicky křivá verze k libovolnému typu Kleinovy geometrie.[pozn. 1][42] Obsahuje zobecněnou konexi (takzvaná Cartanova konexe). Převádění různých klasických geometrických struktur na univerzálnější Cartanovu definic řeší tzv. problém ekvivalence.
V poslední době se zkoumá jistá třída Cartanových geometrií, které se nazývají parabolické geometrie.[48] Obsahují a zobecňují projektivní, konformní a symplektickou geometrii, nikoliv ale Riemannovu. Této problematice se v současnosti věnuje několik předních českých matematiků.[49]
Základní vlastnosti geometrických útvarů jsou například:
Míry útvarů: délka, obsah, objem, povrch a obvod, jsou-li definovány. Tyto veličiny zjednodušeně řečeno vyjadřují „velikost“ či „rozsah“ útvaru.
Dimenze: útvarům lze přiřadit číslo, které se nazývá počet rozměrů čili dimenze útvaru. Pro „běžné“ útvary je dimenze celé číslo: pro bod je to nula, pro přímku a obvyklé křivky 1, pro rovinu a běžné zakřivené plochy 2, pro prostorová tělesa jako koule a hranol 3. Existuje více způsobů definice dimenze; podle toho rozlišujeme např. topologickou dimenzi nebo různé fraktální dimenze (jako jsou Hausdorffova míra či Rényiho dimenze), jež pro speciální útvary zvané fraktály mohou být i neceločíselné.[59] (Pro fraktální útvary lze určovat i další speciální vlastnosti, např. lacunaritu,[60] měřící, nakolik fraktál vyplňuje prostor.)
Symetrie čili souměrnost podle nějakého bodu, přímky či roviny, symetrie vzhledem k otočení nebo zrcadlení, či symetrie vůči změně měřítka (škálovací symetrie). Každému útvaru lze přiřadit jeho grupu symetrií, což je množina všech ortogonálních (případně jiných) zobrazení, které převádí útvar sám na sebe. Existence platónskych těles úzce souvisí s existencí konečných podgrup ortogonální grupy.
Vlastnost „ležet mezi“, např. bod A leží mezi body X a Y na přímce p.
Shodnost. Dva útvary jsou shodné, pokud existuje otočení, posunutí a zrcadlení (případně jejich kombinace), které jeden útvar zobrazí na druhý. Týká se např. úseček (stejná délka) nebo úhlů (stejná velikost úhlu). Značí se . Například čteme „trojúhelník ABC je shodný s trojúhelníkem DEF“ a znamená to, že oba trojúhelníky mají stejné délky stran a velikosti úhlů.
Podobnost. Dva útvary jsou podobné, pokud mají stejné úhly a proporce, velikosti se ale mohou lišit.
Konstrukce pomocí kružítka a pravítka označuje konstrukci geometrických objektů (například úhlů) pouze pomocí idealizovaného pravítka (bez měřítka) a kružítka.[61] O pravítku se předpokládá, že má nekonečnou délku, jen jednu hranu a žádné značky pro měření, o kružítku se předpokládá, že může nakreslit jakkoliv velikou kružnici.
Tento pojem se vyskytuje především v zadání úloh, které se týkají konstruovatelnosti. Úkolem bývá určit, zda z daného objektu je možné pomocí pravítka a kružítka vytvořit jiný objekt, který má dané vlastnosti. Příkladem obtížného úkolu je rozhodnout, které pravidelné n-úhelníky lze takto zkonstruovat (bez jakýchkoliv počátečních dat). V 19. století se dokázalo, že pravidelný n-úhelník je konstruovatelný, právě když všechny liché dělitelen jsou Fermatova prvočísla.[62] Například lze takto zkonstruovat čtverec, avšak pravidelný 7-úhelník nelze. Dalším příkladem úlohy konstruovatelnosti jsou třeba úlohy trisekce úhlu, kvadratura kruhu a duplikace krychle. Lze dokázat, že ani jednu z těchto úloh pomocí Eukleidovské konstrukce vyřešit obecně nelze.
Je známo, že pokud předem zadaná data pozůstávají z konečné množiny bodů, pak každá konstrukce pomocí pravítka a kružítka je možná jenom pomocí kružítka (Mohr–Mascheroniho věta).[63]
V školských úlohách se často objevuje úkol sestrojit trojúhelník s předem danými vlastnostmi. Někdy se kromě pravítka a kružítka připouští i úhloměr, případně je povoleno měřit pravítkem i vzdálenosti.
Vlastnosti útvarů, které se zachovávají při určitých transformacích, se nazývají invarianty. V algebraické topologii jsou to například díry různých dimenzí (například kruh bez bodu má díru, plný kruh nikoliv). Invarianty, které formalizují a popisují typy a počty děr, jsou homotopické grupy a homologické grupy.[64]
Geometrická topologie[65] studuje variety a vztahy mezi nimi. Předměty studia geometrické topologie jsou například (pořád se vyvíjející) teorie uzlů, otázky existence vnoření variet do variet vyšších dimenzí a také topologická klasifikace hladkých variet.
Jeden z hraničních oborů mezi geometrií a algebrou je nekomutativní geometrie. Geometrický prostor je tady popisován pomocí algebry funkcí, které tvoří nekomutativní algebru.[66]
Základy této teorie položil francouzský matematik Alain Connes koncem 80. let dvacátého století. Nekomutativní geometrie má aplikace v částicové fyzice a v nekomutativní kvantové teorii pole. Spekulace o souvislosti nekomutativní geometrie s M-teorií[67] podnítily od konce 20. století zvýšený zájem o nekomutativní geometrii ve fyzice.
Odkazy
Poznámky
↑Tato struktura je popsána pomocí Lieovych grup, fibrovaných bundlů a jisté diferenciální formy, která zobecňuje klasickou konexi.
↑Aydin Sayili. Thabit ibn Qurra's Generalization of the Pythagorean Theorem. Isis. 1960, s. 35–37.Je zde použita šablona {{Cite journal}} označená jako k „pouze dočasnému použití“.
↑Peter J. Lu and Paul J. Steinhardt. Decagonal and Quasi-crystalline Tilings in Medieval Islamic Architecture. Science. 2007, s. 1106–1110. Dostupné v archivu pořízeném dne 07-10-2009. doi:10.1126/science.1135491. PMID17322056.Je zde použita šablona {{Cite journal}} označená jako k „pouze dočasnému použití“. Archivovaná kopie. www.physics.harvard.edu [online]. [cit. 2011-03-27]. Dostupné v archivu pořízeném z originálu.
↑KLINE, Morris. Mathematical Thought from Ancient to Modern Times. [s.l.]: Oxford University Press, 1990. 390 s. Dostupné online. ISBN978-0195061352. (anglicky)
↑HILBERT, David, The Foundations of Geometry, The Open Court Publishing Company, La Salle, Illinois, 1950, s. 2–15, on-line
↑BUMP & KOL., Daniel. An introduction to the Langlands program. [s.l.]: Birkhäuser, 2003. 283 s. ISBN3764332115. (anglicky)
↑IVEY, Thomas Andrew; LANDSBERG, Joseph M. Cartan for beginners. [s.l.]: AMS Bookstore, 2003. ISBN0-8218-3375-8. (anglicky)
↑HIROSHI, Nagaoka; SHUN-ICHI, Amari. Methods of Information Geometry. [s.l.]: AMS Bookstore, 2007. ISBN0-8218-0531-2. (anglicky)
↑BAO, David Dai-Wai; CHERN, Shiing-Shen; SHEN, Zhongmin. An introduction to Riemann-Finsler geometry. [s.l.]: Springer, 2000. 431 s. ISBN0-387-98948-X. (anglicky)
↑
Malcolm Ritter. Russian math genius rejects $1 million Millenium Prize [online]. RIA Novosti, 2010-07-01 [cit. 2010-07-01]. Dostupné online.
↑POMYKALOVÁ, E. Deskriptivní geometrie pro střední školy. [s.l.]: PROMETHEUS, 2010. ISBN978-80-7196-400-1.
↑DRÁBEK, K.; HARANT, F.; SETZER, O. Deskriptivní geometrie I. [s.l.]: SNTL, 1978. ISBN80-7083-924-4. S. 9, 10.
↑COOKE, Roger. The History of Mathematics: A Brief Course. [s.l.]: Wiley-Interscience, 1997. Dostupné online. ISBN0471180823. Kapitola The Calculus, s. 326. (anglicky)
↑Eliška Ochodková, Přínos teorie eliptických křivek k řešení moderních kryptografických systému, Katedra informatiky, FEI, VŠB – Technická Univerzita Ostrava, online
↑BLUME, Lawrence E.; ZAME, William R. The Algebraic Geometry of Perfect and Sequential Equilibrium. Econometrica. 1994-07, roč. 62, čís. 4. Dostupné online [cit. 2024-12-29]. doi:10.2307/2951732. (anglicky)
↑POLÁK, Josef, Přehled středoškolské matematiky, Praha : Prometheus, 2008, ISBN978-80-7196-356-1, s. 414
↑Tolle,C.R. McJunkin,T.R. Rohrbaugh,D.T. a LaViolette,R.A., Lacunarity definition for ramified data sets based on optimal cover, Physica D: Nonlinear Phenomena Volume 179, Issues 3-4, 15 May 2003, s. 129–152. DOI=http://dx.doi.org/10.1016/S0167-2789(03)00029-0
↑JONES, Arthur; MORRIS, Sidney A.; PEARSON, Kenneth R. Abstract algebra and famous impossibilities. [s.l.]: Springer, 1991. Dostupné online. ISBN978-0387976617. Kapitola 9.1, s. 178.
↑HUNGERBUHLER, Norbert. A short elementary proof of Mohr Mascheroni Theorem. The American Mathematical Monthly. October 1994, roč. 101, čís. 8, s. 784–787. Dostupné online., dostupné online (PostScript)
↑Alain Connes, Michael R. Douglas, Albert Schwarz, Noncommutative geometry and matrix theory: compactification on tori. J. High Energy Phys. 1998, no. 2, Paper 3, 35 pp. doi, hep-th/9711162
Literatura
Popularizující
COXETER, H.S.M. The beauty of geometry: twelve essays. [s.l.]: Courier Dover Publications, 1999. 274 s. Dostupné online. ISBN9780486409191. (anglicky)
GREENBERG, Marvin J. Euclidean and Non-Euclidean Geometries: Development and History. [s.l.]: W. H. Freeman (4th edition), 2007. 637 s. Dostupné online. ISBN978-0716799481. (anglicky)
KADEŘÁVEK, František. Geometrie a umění v dobách minulých. Praha: Půdorys, 1997. 140 s. ISBN80-900791-5-6.
MLODINOW, Leonard. Eukleidovo okno (dějiny geometrie). Praha: SLOVART s. r. o., 2007. ISBN978-80-7209-900-9.
BUREŠ, Jarolím; VANŽURA, Jiří. Algebraická geometrie. Praha: SNTL – Nakladatelství technické literatury, 1989. 327 s.
POMYKALOVÁ, Eva. Deskriptivní geometrie pro střední školy. [s.l.]: Prometheus ISBN978-80-7196-400-1.
STILLWELL, John. The Four Pillars of Geometry. [s.l.]: Springer, 2010. 241 s. (anglicky)
Odborná
AUBIN, Thierry. A Course in Differential Geometry. [s.l.]: AMS, 2000. 184 s. ISBN978-0821827093. (anglicky)
BUMP, Daniel. Algebraic geometry. [s.l.]: World Scientific, 1998. 218 s. ISBN9789810235611. (anglicky)
COXETER, H.S.M. Introduction to geometry. [s.l.]: Wiley, 1989. 496 s. ISBN978-0471504580. (anglicky)
COXETER, H.S.M. Non-Euclidean Geometry. [s.l.]: The Mathematical Association of America, 1998. 354 s. Dostupné online. ISBN978-0883855225. (anglicky)
DUBROVIN, B.A.; FOMENKO, A.T; NOVIKOV, S.P. Modern Geometry – Methods and Applications: Part I: The Geometry of Surfaces, Transformation Groups, and Fields. [s.l.]: Springer, s. e., 1991. 507 s. ISBN978-0387976631. (anglicky)
DUBROVIN, B.A.; FOMENKO, A.T; NOVIKOV, S.P. Modern Geometry. Methods and Applications: Part 2: The Geometry and Topology of Manifolds. [s.l.]: Springer, 1985. 507 s. ISBN978-0387961620. (anglicky)
DUBROVIN, B.A.; FOMENKO, A.T; NOVIKOV, S.P. Modern Geometry – Methods and Applications: Part 3: Introduction to Homology Theory. [s.l.]: Springer, 1990. 507 s. ISBN978-0387972718. (anglicky)
FRANKEL, Theodore. The Geometry of Physics: An Introduction. [s.l.]: Cambridge University Press, 2003. ISBN978-0521539272. (anglicky)
GLAESER, Georg. Geometrie und ihre Anwendungen in Kunst, Natur und Technik. [s.l.]: Elsevier, 2002. ISBN3-8274-1797-X. (německy)
HARRIS, Joe. Algebraic geometry: a first course. [s.l.]: Springer, 1992. 328 s. ISBN9780387977164. (anglicky)