Exponenciální funkce

Exponenciální funkce je matematická reálná funkce ve tvaru ${\displaystyle a^{x}}$, kde kladná reálná konstanta různá od jedné ${\displaystyle a}$ je nazývána základ a reálná nezávisle proměnná (argument) ${\displaystyle x}$ je nazývána exponent, definici lze ovšem rozšířit na komplexní exponenty i na složitější objekty, zejména lineární operátory. Inverzní funkcí k exponenciální funkci je funkce logaritmus ${\displaystyle \log _{a}(a^{x})=x}$. Křivku, která je grafem exponenciální funkce, nazýváme exponenciála a často je tak nazývána i sama exponenciální funkce.

Exponenciální funkce neustále zrychluje svůj exponenciální růst resp. zpomaluje svůj exponenciální pokles. V přírodě se exponenciální růst vyskytuje například u šíření virů, např. nástup epidemie chřipky, exponenciální pokles se pak vyskytuje při jejím ústupu, nebo růst dělení buněk v ideálním prostředí (růst však není nekonečný, ale narazí dříve či později na limity prostředí). V ekonomii je exponenciální růst u složeného úročení nebo u žádoucího průběhu ukazatele zvyšování odbytu nově uváděného zboží na trh v první fázi růstu, kde se později růst exponenciálně zpomaluje, k modelování průběhu ukazatele lze pak použít např. sigmoidu.

Na svém definičním oboru reálných čísel ${\displaystyle \mathbb {R} }$ je exponenciální funkce ${\displaystyle y=a^{x}}$ pro ${\displaystyle a>0}$:

• pro ${\displaystyle a>1}$ (ostře) rostoucí,
• pro ${\displaystyle a<1}$ (ostře) klesající,
• ryze konvexní
• zdola omezená,
• prostá,
• spojitá v každém bodě ${\displaystyle \mathbb {R} }$, ale není stejnoměrně spojitá na celém ${\displaystyle \mathbb {R} }$.

Oborem hodnot exponenciální funkce je otevřený interval ${\displaystyle (0;\infty )}$.

Graf funkce prochází bodem ${\displaystyle (0;1)}$:

${\displaystyle a^{0}=1}$.

Pro exponenciální funkci platí exponenciální identita:

${\displaystyle a^{(x+y)}=a^{x}\cdot a^{y}}$,

díky které je možné definovat hodnoty exponenciální funkce i pro jiné než celočíselné argumenty (viz umocňování).

Derivací exponenciální funkce je opět exponenciální funkce vynásobená přirozeným logaritmem základu:

${\displaystyle (a^{x})'=\ln a\cdot a^{x}}$.

Důležitou exponenciální funkcí je také dekadická exponenciální funkce o základu deset, tedy ${\displaystyle y=10^{x}}$.^[1]

Exponenciální a logaritmická funkce jsou navzájem inverzní, tedy platí:

${\displaystyle f:y=a^{x}}$, ${\displaystyle f^{-1}:y=log_{a}x}$.

Grafy těchto funkcí jsou osově souměrné podle přímky ${\displaystyle y=x}$.

Významnou roli má exponenciální funkce s takovým základem, že funkce je přesně rovna své derivaci. Tímto základem je Eulerovo číslo ${\displaystyle e\approx 2{,}718281828459}$ a tuto funkci ${\displaystyle y=e^{x}}$ nazýváme přirozená exponenciální funkce a zapisujeme také jako ${\displaystyle y=\exp x}$.

Exponenciální funkci s obecným základem lze převést na exponenciální funkci o základu ${\displaystyle e}$ pomocí vzorce:

${\displaystyle a^{x}=e^{x\ln \,a}}$,

kde ${\displaystyle \ln \,a}$ je přirozený logaritmus čísla ${\displaystyle a}$.

Exponenciální funkce ${\displaystyle e^{x}}$ může být definována různými ekvivalentními způsoby. Zejména může být definována následující mocninnou řadou:

${\displaystyle e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{x^{n} \over n!}=1+x+{x^{2} \over 2!}+{x^{3} \over 3!}+{x^{4} \over 4!}+\cdots }$,

která konverguje pro každé reálné i komplexní ${\displaystyle x}$.

Lze ji definovat také následující limitou:

${\displaystyle e^{x}=\lim _{n\rightarrow \infty }\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n}}$.

Méně často je ${\displaystyle e^{x}}$ definováno jako řešení ${\displaystyle y}$ rovnice

${\displaystyle x=\int _{1}^{y}{1 \over t}\mathrm {d} t}$.

Důležitost exponenciální funkce v matematice a přírodních vědách pramení hlavně z vlastností její derivace:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}e^{x}=e^{x}}$

Důkaz:

${\displaystyle {\begin{aligned}e^{x}&=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}+\cdots \\{\mathrm {d} \over \mathrm {d} x}e^{x}&={\mathrm {d} \over \mathrm {d} x}\left(1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}+\cdots \right)\\&=0+1+{\frac {2x}{2!}}+{\frac {3x^{2}}{3!}}+{\frac {4x^{3}}{4!}}+{\frac {5x^{4}}{5!}}+\cdots \\&=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}+\cdots \\&=e^{x}\\\end{aligned}}}$

To znamená, že funkce ${\displaystyle ce^{x}}$ (kde ${\displaystyle c}$ je konstanta) je svou vlastní derivací a tedy je jediná funkce s touto vlastností (podle Picardovy–Lindelöfovy věty).

Tato vlastnost se dá vyjádřit i následujícími způsoby:

• směrnice tečny k grafu funkce v libovolném bodě je hodnota funkce v tomto bodě,
• tempo růstu funkce v bodě ${\displaystyle x}$ je stejné jako hodnota funkce v bodě ${\displaystyle x}$,
• funkce řeší diferenciální rovnici ${\displaystyle y'=y}$.

U diferencovatelné funkce ${\displaystyle f}$ používáme řetízkové pravidlo:

${\displaystyle {\mathrm {d} \over \mathrm {d} x}e^{f(x)}=f'(x)e^{f(x)}}$.

Řetězový zlomek pro e^x lze získat prostřednictvím Eulerovy rovnosti:

${\displaystyle e^{x}=1+{\cfrac {x}{1-{\cfrac {x}{x+2-{\cfrac {2x}{x+3-{\cfrac {3x}{x+4-\ddots }}}}}}}}}$

Následující celkový řetězový zlomek pro e^z konverguje mnohem rychleji:

${\displaystyle e^{z}=1+{\cfrac {2z}{2-z+{\cfrac {z^{2}}{6+{\cfrac {z^{2}}{10+{\cfrac {z^{2}}{14+\ddots }}}}}}}}}$

nebo použitím substituce ${\displaystyle z=\left({\frac {x}{y}}\right)}$:

${\displaystyle e^{\frac {x}{y}}=1+{\cfrac {2x}{2y-x+{\cfrac {x^{2}}{6y+{\cfrac {x^{2}}{10y+{\cfrac {x^{2}}{14y+\ddots }}}}}}}}}$

zvláštní případ pro z = 2:

${\displaystyle e^{2}=1+{\cfrac {4}{0+{\cfrac {2^{2}}{6+{\cfrac {2^{2}}{10+{\cfrac {2^{2}}{14+\ddots \,}}}}}}}}=7+{\cfrac {2}{5+{\cfrac {1}{7+{\cfrac {1}{9+{\cfrac {1}{11+\ddots \,}}}}}}}}}$

Tento vzorec také konverguje, ale pomaleji, protože z > 2. Například:

${\displaystyle e^{3}=1+{\cfrac {6}{-1+{\cfrac {3^{2}}{6+{\cfrac {3^{2}}{10+{\cfrac {3^{2}}{14+\ddots \,}}}}}}}}=13+{\cfrac {54}{7+{\cfrac {9}{14+{\cfrac {9}{18+{\cfrac {9}{22+\ddots \,}}}}}}}}}$

Mocninná řada v definici exponenciály umožňuje definovat exponenciálu i mnohem komplikovanějších objektů, než jsou komplexní čísla, zejména matic a operátorů. Mocniny a součty operátorů, respektive matic, jsou dobře definované a příslušná řada konverguje.

Stejně jako v reálném případě, exponenciální funkce může být definována na komplexní rovině několika ekvivalentními způsoby. Jeden takový způsob je definice mocninnou řadou, kde je reálná proměnná nahrazena komplexní:

${\displaystyle e^{z}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!}}}$

Další takový způsob vychází ze zavedení následujícího komplexního čísla ${\displaystyle z}$ pomocí reálného čísla ${\displaystyle y}$:

${\displaystyle z=\cos y+i\sin y\ \ \ \ \ \Rightarrow \ \ \ \ \ {\frac {dz}{dy}}=-\sin y+i\cos y=i\left(\cos y+i\sin y\right)=iz\ \ \ \ \ \Rightarrow \ \ \ \ \ {\frac {dz}{z}}=idy}$

z čehož plyne:

${\displaystyle \int _{}^{}{{\frac {1}{z}}dz}=i\int _{}^{}{dy}\ \ \ \ \ \Rightarrow \ \ \ \ \ \ln z=\ln(|z|e^{iy})=\ln |z|+iy=iy\ \ \ \ \ \Rightarrow \ \ \ \ \ z=e^{iy}\ \ \ \ \ }$(Eulerův vzorec)

tj. pak můžeme psát:

${\displaystyle e^{x+iy}=e^{x}e^{iy}=e^{x}\left(\cos y+i\sin y\right)=e^{x}\cos y+ie^{x}\sin y=\varphi _{Re}(x,y)+i\varphi _{Im}(x,y)}$

kde dále uvedený Jacobián vychází následovně:

${\displaystyle \left|{\begin{matrix}{\frac {\partial \varphi _{Re}}{\partial x}}&{\frac {\partial \varphi _{Re}}{\partial y}}\\{\frac {\partial \varphi _{Im}}{\partial x}}&{\frac {\partial \varphi _{Im}}{\partial y}}\\\end{matrix}}\right|=\left|{\begin{matrix}e^{x}\cos y&-e^{x}\sin y\\e^{x}\sin y&e^{x}\cos y\\\end{matrix}}\right|=\left(e^{x}\cos y\right)^{2}+\left(e^{x}\sin y\right)^{2}=\left|e^{x+iy}\right|^{2}}$

Uvažujeme-li funkci definovanou na komplexní rovině, pak exponenciální funkce zachovává tyto vlastnosti:

• ${\displaystyle e^{z+w}=e^{z}e^{w}\,}$
• ${\displaystyle e^{0}=1\,}$
• ${\displaystyle e^{z}\neq 0}$
• ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}e^{z}=e^{z}}$
• ${\displaystyle \left(e^{z}\right)^{n}=e^{nz},n\in \mathbb {Z} }$

pro všechny z a w.

Exponenciální funkce je celá funkce neboť je holomorfní na celé komplexní rovině. Každé komplexní číslo kromě 0 má při exponenciální funkci svůj vzor; to znamená, že 0 je lacunární hodnota exponenciální funkce. Ilustruje tedy Picardovu větu, že jakákoli nekonstantní celá funkce má ve svém obrazu až na maximálně jeden bod celou komplexní rovinu.

Rozšířením přirozeného logaritmu do komplexní roviny získáme komplexní logaritmus ln z, což je vícehodnotová funkce.

Pak můžeme definovat obecnou mocninu:

${\displaystyle z^{w}=e^{w\ln z}}$

pro všechna komplexní čísla z a w. To je také vícehodnotová funkce, a to i když z je reálné. Tento fakt je poněkud problematický, neboť vícehodnotové funkce ln z a z^w lze lehce zaměnit s jejich jednohodnotovými ekvivalenty dosazením reálného čísla za z. Pravidlo o násobení exponentů v případě pozitivních reálných čísel musí být upraveno pro vícehodnotový kontext:

(e^z) w
  ≠ e^zw, ale (e^z) w
  = e^{(z + 2πin)w}, kde n je libovolné přirozené číslo.

Exponenciální funkce zobrazuje každou přímku v komplexní rovině na logaritmické spirály v komplexní rovině se středem v počátku. Existují dva zvláštní případy: když původní přímka je rovnoběžná s reálnou osou, výsledná spirála se nikdy neuzavírá do sebe; a když původní přímka je rovnoběžná s imaginární osou, výsledná spirála je kruh o nějakém poloměru.

• Exponenciální funkce na komplexní rovině
• 
  z = Re(e^{x + iy})
• 
  z = Im(e^{x + iy})

• Umocňování
• Exponenciální růst a pokles
• Logistická funkce

• Obrázky, zvuky či videa k tématu exponenciální funkce na Wikimedia Commons