Operátor ${\displaystyle {\hat {A}}}$ je v matematice takové zobrazení, které prvku nějakého prostoru (například funkci) f přiřazuje prvek jiného prostoru g, tedy

${\displaystyle {\hat {A}}f=g}$,

kde ${\displaystyle f\in \mathbf {X} ,g\in \mathbf {Y} }$. Působením operátoru ${\displaystyle {\hat {A}}}$ na f tedy získáme g. Říkáme, že na X je dán operátor ${\displaystyle {\hat {A}}}$, zobrazující prostor X do prostoru Y.

Operátor se obvykle značí stříškou, například ${\displaystyle {\hat {H}},{\hat {p}}}$, apod.

Prvek ${\displaystyle f\in \mathbf {X} }$ se nazývá vzor (originál), prvek ${\displaystyle g\in \mathbf {Y} }$ obrazem.

Množina všech ${\displaystyle g\in \mathbf {Y} }$, které přísluší všem ${\displaystyle f\in \mathbf {X} }$, tedy množina všech obrazů, se nazývá obor hodnot operátoru ${\displaystyle {\hat {A}}}$. Obvykle se značí ${\displaystyle \mathrm {Rng} ({\hat {A}})}$. Pokud operátor není definován pro všechna ${\displaystyle f\in \mathbf {X} }$, pak se množina těch ${\displaystyle f\in X}$, pro které definován, nazývá definičním oborem operátoru. Významově se tedy pojem operátor dosti překrývá s konceptem zobrazení, ale typicky se používá v kontextu prostorů funkcí, které samy jsou zobrazeními; pro přehlednost je tedy užitečné tuto vyšší úroveň zobrazování pojmenovat jinak.

Jako operátor se v matematice a informatice dále označuje značka nějaké matematické transformace, například znaménko + jako značka přičítání.

Pokud je ${\displaystyle \mathbf {Y} }$ množina reálných, případně komplexních čísel, takže proměnná g je reálné či komplexní číslo, pak se operátor ${\displaystyle {\hat {A}}}$ nazývá (reálný či komplexní) funkcionál.

Lineární operátor ${\displaystyle {\hat {A}}}$ je takový operátor, pro který platí

${\displaystyle {\hat {A}}{\bigl (}\sum _{i}c_{i}f_{i}{\bigr )}=\sum _{i}c_{i}({\hat {A}}f_{i})}$

kde ${\displaystyle f_{i}}$ jsou libovolné funkce a ${\displaystyle c_{i}}$ jsou libovolné koeficienty.

Linearitu operátoru ${\displaystyle {\hat {A}}}$ stačí ověřit na dvou sčítancích. Tedy že pokud existují libovolné koeficienty ${\displaystyle c_{1},c_{2}}$ a libovolné vektory ${\displaystyle f_{1},f_{2},g_{1},g_{2}}$ takové, že ${\displaystyle g_{1}={\hat {A}}f_{1}}$ a ${\displaystyle g_{2}={\hat {A}}f_{2}}$, pak platí

${\displaystyle {\hat {A}}(c_{1}f_{1}+c_{2}f_{2})=c_{1}{\hat {A}}f_{1}+c_{2}{\hat {A}}f_{2}=c_{1}g_{1}+c_{2}g_{2}}$

Pro libovolnou konečnou sumu se pak dá tvrzení dokázat matematickou indukcí.

Ještě jednodušeji vyjádřeno stačí ověřit, že platí tyto dvě vlastnosti:

1) ${\displaystyle {\hat {A}}}$(x+y) = ${\displaystyle {\hat {A}}}$(x) + ${\displaystyle {\hat {A}}}$(y),

2) ${\displaystyle {\hat {A}}}$(cx) = c ${\displaystyle {\hat {A}}}$(x), kde c je konstanta.

Lineárním operátorem ${\displaystyle {\hat {A}}}$ je například limita, když x a y jsou funkce nebo posloupnosti. Limita je lineární operace a protože derivace je definována pomocí limit, je též lineárním operátorem. Integrál je inverzní operátor k derivaci, je tedy též lineárním operátorem.

Operátor se označuje jako antilineární, jestliže platí

${\displaystyle {\hat {A}}\sum _{i}c_{i}f_{i}=\sum _{i}c_{i}^{*}{\hat {A}}f_{i}}$,

kde ${\displaystyle f_{i}}$ jsou libovolné funkce a ${\displaystyle c_{i}^{*}}$ jsou koeficienty komplexně sdružené k ${\displaystyle c_{i}}$.

Důležitým operátorem je operátor identity (jednotkový operátor) ${\displaystyle {\hat {I}}}$, pro který platí

${\displaystyle {\hat {I}}f=f}$

Působením operátoru identity ${\displaystyle {\hat {I}}}$ tedy nedochází k žádné změně.

Pokud pro dva operátory ${\displaystyle {\hat {A}},{\hat {B}}}$ z X do Y platí ${\displaystyle {\hat {A}}f={\hat {B}}f}$ pro každé ${\displaystyle f\in \mathbf {X} }$, pak jsou oba operátory totožné.

Operátor ${\displaystyle {\hat {A}}}$ se nazývá spojitý v bodě ${\displaystyle f_{0}\in \mathbf {X} }$, jestliže pro každou posloupnost prvků ${\displaystyle \{f_{n}\}}$ z ${\displaystyle \mathbf {X} }$, pro kterou v prostoru ${\displaystyle \mathbf {X} }$ platí ${\displaystyle f_{n}\to f_{0}}$, platí také ${\displaystyle {\hat {A}}f_{n}\to {\hat {A}}f_{0}}$, tzn. ${\displaystyle g_{n}\to g_{0}}$, v prostoru ${\displaystyle \mathbf {Y} }$.

Lineární operátor, který je spojitý v nějakém bodě ${\displaystyle f_{1}\in \mathbf {X} }$, je spojitý v každém bodě ${\displaystyle f\in \mathbf {X} }$.

Operátor ${\displaystyle {\hat {A}}}$ je ohraničený (omezený) operátorem tehdy, jestliže existuje takové ${\displaystyle \mu >0}$ (nezávislé na f), že pro každé ${\displaystyle f\in \mathbf {X} }$ platí

${\displaystyle {\|{\hat {A}}f\|}_{\mathbf {Y} }\leq \mu {\|f\|}_{\mathbf {X} }}$,

kde ${\displaystyle {\|f\|}_{\mathbf {X} }}$ je norma funkce (vlastního řešení) f v prostoru X a ${\displaystyle {\|{\hat {A}}f\|}_{\mathbf {Y} }}$ je norma prvku ${\displaystyle {\hat {A}}f}$ v prostoru Y.

Lineární operátor je spojitý právě když je omezený. Platí, že součin omezených operátorů představuje opět omezený operátor. Podobně platí, že součet omezených operátorů je opět omezeným operátorem.

Infimum čísel ${\displaystyle \mu }$ operátoru ${\displaystyle {\hat {A}}}$ představuje normu operátoru ${\displaystyle \|{\hat {A}}\|}$, tzn.

${\displaystyle \|{\hat {A}}\|=\inf \mu }$

Normu lze také získat jako supremum množiny čísel ${\displaystyle {\|{\hat {A}}f\|}_{\mathbf {Y} }}$ pro všechny jednotkové prvky f, tzn.

${\displaystyle \|{\hat {A}}\|=\sup _{{\|f\|}_{\mathbf {X} }=1,f\in \mathbf {X} }{\|{\hat {A}}f\|}_{\mathbf {Y} }}$

Operátor ${\displaystyle {\hat {A}}}$ se označuje jako symetrický, jestliže platí

${\displaystyle \langle f|{\hat {A}}g\rangle =\langle {\hat {A}}f|g\rangle }$

kde bylo použito zápisu pomocí Diracovy symboliky běžně užívané v kvantové fyzice.

Omezený symetrický operátor se označuje jako hermitovský.

Operátor ${\displaystyle {\hat {A}}}$ se označuje jako antihermitovský, je-li operátor ${\displaystyle \mathrm {i} {\hat {A}}}$ hermitovský.

K operátoru ${\displaystyle {\hat {A}}}$ existuje sdružený operátor ${\displaystyle {\hat {A}}^{+}}$, který splňuje vztah

${\displaystyle \langle f|{\hat {A}}^{+}g\rangle =\langle {\hat {A}}f|g\rangle }$

neboli

${\displaystyle \langle f|{\hat {A}}^{+}g\rangle ={\langle g|{\hat {A}}f\rangle }^{*}}$

Platí vztahy

${\displaystyle \|{\hat {A}}^{+}\|=\|{\hat {A}}\|}$

${\displaystyle {({\hat {A}}^{+})}^{+}={\hat {A}}}$

${\displaystyle {({\hat {A}}+{\hat {B}})}^{+}={\hat {A}}^{+}+{\hat {B}}^{+}}$

${\displaystyle {({\hat {A}}{\hat {B}})}^{+}={\hat {B}}^{+}{\hat {A}}^{+}}$

${\displaystyle {(\lambda {\hat {A}})}^{+}=\lambda ^{*}{\hat {A}}^{+}}$

Operátor  se nazývá samosdružený, jestliže platí

${\displaystyle {\hat {A}}^{+}={\hat {A}}}$

Pro omezené operátory jsou pojmy samosdružený, hermitovský a symetrický ekvivalentní.

Samosdružený operátor ${\displaystyle {\hat {A}}}$ je pozitivní, když pro každé ${\displaystyle |u\rangle }$ platí

${\displaystyle \langle u|{\hat {A}}|u\rangle \geq 0}$

Operátor se označuje jako normální, když platí

${\displaystyle [{\hat {A}},{\hat {A}}^{+}]=0}$,

kde ${\displaystyle [,]}$ označují komutátor.

Operátor ${\displaystyle {\hat {A}}^{-1}}$ je inverzním operátorem k ${\displaystyle {\hat {A}}}$, pokud platí

${\displaystyle {\hat {A}}{\hat {A}}^{-1}={\hat {A}}^{-1}{\hat {A}}={\hat {I}}}$,

kde ${\displaystyle {\hat {I}}}$ představuje operátor identity. Inverzní operátor k danému operátoru nemusí existovat.

Platí vztahy (existují-li obě strany výrazů)

${\displaystyle {({\hat {A}}{\hat {B}})}^{-1}={\hat {B}}^{-1}{\hat {A}}^{-1}}$

${\displaystyle {({\hat {A}}^{+})}^{-1}={({\hat {A}}^{-1})}^{+}}$

Operátor ${\displaystyle {\hat {A}}}$ je unitární, pokud platí

${\displaystyle {\hat {A}}^{+}={\hat {A}}^{-1}}$

neboli

${\displaystyle {\hat {A}}^{+}{\hat {A}}={\hat {A}}{\hat {A}}^{+}={\hat {I}}}$,

kde ${\displaystyle {\hat {I}}}$ je operátor identity.

Pro libovolný unitární operátor ${\displaystyle {\hat {A}}}$ platí

${\displaystyle \langle {\hat {A}}u|{\hat {A}}v\rangle =\langle u|v\rangle }$

Jestliže operátor ${\displaystyle {\hat {M}}}$ splňuje vztah

${\displaystyle \langle {\hat {M}}u|{\hat {M}}v\rangle =\langle u|v\rangle }$,

pak operátor ${\displaystyle {\hat {M}}}$ označujeme jako izometrický. Izometrický operátor sice splňuje vztah ${\displaystyle {\hat {M}}^{+}{\hat {M}}={\hat {I}}}$, avšak na rozdíl od operátoru unitárního může být ${\displaystyle {\hat {M}}{\hat {M}}^{+}\neq {\hat {I}}}$.

Omezený operátor ${\displaystyle {\hat {E}}}$ se označuje jako projekční, splňuje-li podmínky

${\displaystyle {\hat {E}}={\hat {E}}^{+}={\hat {E}}^{2}}$

Je-li ${\displaystyle {\hat {E}}}$ projekční operátor, pak je projekčním operátorem také

${\displaystyle {\hat {E}}^{\prime }={\hat {I}}-{\hat {E}}}$,

kde ${\displaystyle {\hat {I}}}$ představuje operátor identity. Platí přitom vztahy

${\displaystyle {\hat {E}}+{\hat {E}}^{\prime }={\hat {I}}}$

${\displaystyle {\hat {E}}{\hat {E}}^{\prime }=0}$

Je-li ${\displaystyle |\psi _{k}\rangle }$ vektor normalizovaný k jednotce, pak projekční operátor do jednorozměrného podprostoru tvořeného všemi vektory lineárně závislými na ${\displaystyle |\psi _{k}\rangle }$ lze vyjádřit jako

${\displaystyle {\hat {E}}_{k}=|\psi _{k}\rangle \langle \psi _{k}|}$

Jestliže množina vektorů ${\displaystyle \{|\psi _{k}\rangle \}}$ tvoří ortonormální bázi podprostoru ${\displaystyle H_{1}}$, pak projekční operátor do ${\displaystyle H_{1}\subset H}$ vyjádříme jako

${\displaystyle \sum _{k}{\hat {E}}_{k}=\sum _{k}|\psi _{k}\rangle \langle \psi _{k}|}$

Pokud je ${\displaystyle H_{1}=H}$, pak je projekční operátor operátorem identity, takže

${\displaystyle \sum _{k}|\psi _{k}\rangle \langle \psi _{k}|={\hat {I}}}$

Tento vztah představuje tzv. relaci úplnosti (uzavřenosti).

Součtem dvou operátorů ${\displaystyle {\hat {A}},{\hat {B}}}$ vznikne operátor ${\displaystyle {\hat {C}}={\hat {A}}+{\hat {B}}}$, pro který platí

${\displaystyle {\hat {C}}u=({\hat {A}}+{\hat {B}})u={\hat {A}}u+{\hat {B}}u}$

Operátor ${\displaystyle {\hat {C}}}$ označíme jako součin operátorů ${\displaystyle {\hat {A}}}$ a ${\displaystyle {\hat {B}}}$, tzn. ${\displaystyle {\hat {C}}={\hat {A}}{\hat {B}}}$, pokud pro každé u platí

${\displaystyle {\hat {C}}u={\hat {A}}({\hat {B}}u)}$

Pomocí předchozího vztahu lze definovat mocninu operátoru, například ${\displaystyle {\hat {A}}^{2}={\hat {A}}{\hat {A}}}$.

Násobení operátorů není komutativní, tedy v obecném případě pro dva operátory ${\displaystyle {\hat {A}},{\hat {B}}}$ neplatí ${\displaystyle {\hat {A}}{\hat {B}}={\hat {B}}{\hat {A}}}$. Abychom vystihli vzájemnou nekomutativnost dvou operátorů ${\displaystyle {\hat {A}},{\hat {B}}}$, zavádíme tzv. komutátor operátorů

${\displaystyle [{\hat {A}},{\hat {B}}]={[{\hat {A}},{\hat {B}}]}_{-}={\hat {A}}{\hat {B}}-{\hat {B}}{\hat {A}}}$

Dva nekomutativní operátory ${\displaystyle {\hat {A}},{\hat {B}}}$ splňují pro některé u vztah

${\displaystyle [{\hat {A}},{\hat {B}}]\neq 0}$

Dva komutativní operátory ${\displaystyle {\hat {A}},{\hat {B}}}$ splňují pro libovolné u vztah

${\displaystyle [{\hat {A}},{\hat {B}}]=0}$

Jsou-li lineární hermiteovské operátory ${\displaystyle {\hat {A}},{\hat {B}}}$ komutativní, pak mají společné vlastní funkce.

Jestliže operátory ${\displaystyle {\hat {A}},{\hat {B}}}$ komutují, tedy ${\displaystyle [{\hat {A}},{\hat {B}}]=0}$, pak pro libovolné funkce f, g platí

${\displaystyle [f({\hat {A}}),g({\hat {B}})]=0}$

Kromě komutátoru se zavádí také antikomutátor operátorů

${\displaystyle \{{\hat {A}},{\hat {B}}\}={[{\hat {A}},{\hat {B}}]}_{+}={\hat {A}}{\hat {B}}+{\hat {B}}{\hat {A}}}$

Z definice komutátoru a antikomutátoru vzniknou následující vztahy:

${\displaystyle [{\hat {A}},{\hat {B}}]=-[{\hat {B}},{\hat {A}}]}$

${\displaystyle [{\hat {A}},{\hat {B}}+{\hat {C}}]=[{\hat {A}},{\hat {B}}]+[{\hat {A}},{\hat {C}}]}$

${\displaystyle [{\hat {A}},{\hat {B}}{\hat {C}}]=[{\hat {A}},{\hat {B}}]{\hat {C}}+{\hat {B}}[{\hat {A}},{\hat {C}}]=\{{\hat {A}},{\hat {B}}\}{\hat {C}}-{\hat {B}}\{{\hat {A}},{\hat {C}}\}}$

${\displaystyle [{\hat {A}}{\hat {B}},{\hat {C}}]={\hat {A}}[{\hat {B}},{\hat {C}}]+[{\hat {A}},{\hat {C}}]{\hat {B}}={\hat {A}}\{{\hat {B}},{\hat {C}}\}-\{{\hat {A}},{\hat {C}}\}{\hat {B}}}$

${\displaystyle \{{\hat {A}},{\hat {B}}\}=\{{\hat {B}},{\hat {A}}\}}$

${\displaystyle \{{\hat {A}},{\hat {B}}+{\hat {C}}\}=\{{\hat {A}},{\hat {B}}\}+\{{\hat {A}},{\hat {C}}\}}$

${\displaystyle \{{\hat {A}},{\hat {B}}{\hat {C}}\}=\{{\hat {A}},{\hat {B}}\}{\hat {C}}-{\hat {B}}[{\hat {A}},{\hat {C}}]={\hat {B}}\{{\hat {C}},{\hat {A}}\}-[{\hat {B}},{\hat {A}}]{\hat {C}}}$

${\displaystyle \{{\hat {A}}{\hat {B}},{\hat {C}}\}={\hat {A}}\{{\hat {B}},{\hat {C}}\}-[{\hat {A}},{\hat {C}}]{\hat {B}}=\{{\hat {C}},{\hat {A}}\}{\hat {B}}-{\hat {A}}[{\hat {C}},{\hat {B}}]}$

Platí také Jacobiho identita

${\displaystyle [{\hat {A}},[{\hat {B}},{\hat {C}}]]+[{\hat {B}},[{\hat {C}},{\hat {A}}]]+[{\hat {C}},[{\hat {A}},{\hat {B}}]]=0}$

• Příkladem lineárního operátoru může být operátor ${\displaystyle {\hat {A}}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}}$, který funkci, na niž je aplikován, přiřazuje její derivaci podle proměnné x.
• Nelineárním operátorem je operátor ${\displaystyle {\hat {A}}=\sin }$. Působením tohoto operátoru na libovolnou funkci f vyjde ${\displaystyle {\hat {A}}f=\sin f}$.

Operátory jsou nepostradatelné jak v diferenciálním počtu v matematice (například operátor nabla), tak při použití v kvantové mechanice a při zjednodušování zápisu identit (rovnic) jinde ve fyzice. Používají se také při zápisu počítačových programů v programovacích jazycích.

Arita jako pojem udává počet operandů daného operátoru:

1. unární - operátor s jedním operandem, například negace, ať aritmetická, logická či doplněk množiny (v rámci zamlčeného definičního oboru).
2. binární - jde o nejčastější případ, tedy pokud se v praxi mluví o operátoru, typicky jde o operátor se dvěma operandy: Je nejintuitivnější při našem lidském lineárním zápisu textu. Například: +-*^
3. ternární - operátorů se třemi operandy je jen málo, v porovnání s množstvím binárních jsou výjimečné. Typickým zástupcem je ternární operátor z programování.

Slovo "arita" pochází z latinského kořene adjektiva popisujícího počet operandů operátoru, zda je tento: un-ár(ní), bin-ár(ní), tern-ár(ní)...

• Zobrazení
• Množina
• Vlastní číslo
• Vektorový prostor
• Kvantová fyzika
• Programovací jazyk
• Diracova symbolika