التوزيع الهندسي[1] (بالإنكليزية: Geometric distribution) وهو جزء من التوزيع الاحتمالي المتعلق بتجارب بيرنولي، ويستخدم التوزيع الهندسي النموذج التالي: "كم عدد المحاولات التي نحتاجها للحصول على النتيجة المطلوبة؟"
إن التوزيع الهندسي يستخدم من أجل التوزيع التكراري للبيانات الكمية المنفصلة الثنائية من أجل معرفة احتمال ظهور المشاهدة W بعد k محاولة في التجربة المنفذة في فضاء عينة S ذو المشاهدات المعلومة Ai ذات قيم الاحتمال الثابتة والمعلومة Pi
P ( W ) = p ∗ ∗ --> ( 1 − − --> p ) k − − --> 1 {\displaystyle P(W)=p*(1-p)^{k-1}} .[2]
التوزيع الهندسي هو عدد التكرارات للتجربة للحصول على نجاح واحد فقط من تلك التجربة. فإذا كان المتغير X يشير إلى عدد مرات تكرار التجربة و P يشير إلى احتمال نجاح التجربة و q هو احتمال فشل التجربة وبالتالي فإن الدالة الاحتمالية لهذا التوزيع ستكون:
حيث أن ...,1,2,3=x
حيث أن x ≥ ≥ --> 1 {\displaystyle x\geq {1}} , 0 ≤ ≤ --> p ≤ ≤ --> 1 {\displaystyle 0\leq {p}\leq {1}} , f ( x ) ≥ ≥ --> 0 {\displaystyle f(x)\geq {0}} لجميع قيم x
وهذا يؤكد أن (f(x دالة احتمالية وقد سميت بالتوزيع الهندسي لان احتمالات قيم X المختلفة تناظر حدود متوالية هندسية.
يستخدم هذا التوزيع إذا كان هناك محاولات أو تجارب وتمثل X عدد هذه المحاولات حتى الحصول على أول نجاح. علما بأن احتمال النجاح P واحتمال الفشل في أي محاولة q=1-p فمثلا في فحص الإنتاج ربما تكون X عدد السلع المفحوصة حتى الحصول على أول تالفة . وكذلك في تجربة القاء قطعة النقود فربما تكون X عدد مرات القاء قطعة النقود حتى الحصول على صورة وكذلك عدد الولادات التي تضعها سيدة قبل أن ترزق بذكر .
ليكن لدينا نرد متجانس (1,2,3,4,5,6,) ما هو احتمال ظهور الرقم 6 بعد 7 محاولات لالقاء النرد؟
الحل:
الاحتمالات الصحيحة (ظهور رقم 6): P = 1/6
الاحتمالات الخاطئة (عدم ظهور رقم 6): q=1-P = 5/6
يكون ظهور الحدث المطلوب بعد 7 محاولات، أي في المحاولة الثامنة وبالتالي: n=8
P ( W ) = p ( 1 − − --> p ) n − − --> 1 = p q n − − --> 1 {\displaystyle P(W)=p(1-p)^{n-1}=pq^{n-1}}
بتعويض المعطيات
p ( w ) = ( 1 / 6 ) ∗ ∗ --> ( 5 / 6 ) ( 8 − − --> 1 ) {\displaystyle p(w)=(1/6)*(5/6)^{(}8-1)}
p ( w ) = 0.04651 {\displaystyle p(w)=0.04651}
أي أنه من كل 100 محاولة لرمي النرد توجد 8 مرات فقط، سيظهر الرقم 1 في المرة الثامنة (وليس قبل الثامنة) في 4.651 مرة من أصل المحاولات المائة.
حيث أن ...,x=1,2,3
نلاحظ أن
أي أن الحدود المتتالية متناقصة . وهذا يعني أن أعلى احتمال هو عند X=1 وعلى ذلك فإن المنوال هو X=1
نعلم أن
بتفاضل الطرفين بالنسبة إلى q نحصل على
وبذلك يكون التباين
و حيث أن
مثال:
احتمال إصابة هدف هو(0.4) ما احتمال إصابة هذا الهدف في المحاولة الرابعة.
احتمال إصابة الهدف في المحاولة الرابعة معنى ذلك الفشل في الحاولات الثلاثة السابقة وعليه يكون الاحتمال :
إذا كان احتمال ولادة ذكر في أي ولادة تمر بها سيده هو 1/3 أوجد
1- التوزيع الاحتمالي لعدد مرات الوضع قبل أن ترزق هذه السيده بذكر .
2- أوجد متوسط عدد مرات الوضع قبل أن ترزق بأول ذكر.
3- ما احتمال أن تضع ذكرا لأول مرة بعد ولادتين .
4- ما احنمال أن تضع ذكرا لأول مرة بعد ثلاث ولادات على الأكثر.
الحل :
احتمال ولادة ذكر p= 1/3
X عدد مرات الوضع قبل أن ترزق بأول ذكر
1- X تتبع توزيعا هندسيا بمعلمه P=1/3 وبذلك تكون دالته الاحتمالية هي
...,1,2,3=x
,. f ( x ) = 1 3 ( 2 3 ) x − − --> 1 {\displaystyle f(x)={\frac {1}{3}}({\frac {2}{3}})^{x-1}}
2-متوسط عدد مرات الوضع قبل أن ترزق بأول ذكر هو μ حيث
μ μ --> = 1 p = 1 ( 1 3 ) = 3 {\displaystyle \mu ={\frac {1}{p}}={\frac {1}{({\frac {1}{3}})}}=3}
3-احتمال أن تضع ذكرا لأول مرة بعد ولادتين هو (p(x=2 حيث
p ( x = 2 ) = f ( 2 ) = ( 1 3 ) ( 2 3 ) = 2 9 {\displaystyle p(x=2)=f(2)=({\frac {1}{3}})({\frac {2}{3}})={\frac {2}{9}}}
4-احتمال أن تضع ذكرا لأول مرة بعد ثلاث ولادات على الأكثر هو
p ( x ≤ ≤ --> 3 ) = F ( 3 ) = 1 − − --> q 3 = 1 − − --> ( 2 3 ) 3 = 19 27 = 0.7 {\displaystyle p(x\leq 3)=F(3)=1-q^{3}=1-({\frac {2}{3}})^{3}={\frac {19}{27}}=0.7}
Lokasi Pengunjung: 3.14.255.151