Himpunan kuasa

Anggota dari himpunan kuasa ${\displaystyle \{x,y,z\}}$ diurut terhadao inklusi.
Jenis	Operasi himpunan
Cabang	Teori himpunan
Pernyataan	Himpunan kuasa adalah himpunan yang mengandung semua subhimpunan dari himpunan yang diketahui.
Pernyataan dalam bentuk simbol	${\displaystyle x\in P(S)\iff x\subseteq S}$

Dalam matematika, himpunan kuasa (bahasa Inggris: power set) dari himpunan ${\displaystyle S}$ adalah himpunan dari semua subhimpunan ${\displaystyle S}$ yang memuat himpunan kosong dan ${\displaystyle S}$ itu sendiri.^[1] Dalam teori himpunan aksiomatik (saat dikembangkan, sebagai contoh, dalam aksioma teori himpunan Zermelo–Fraenkel), keberadaan himpunan kuasa dari setiap himpunan didalilkan melalui aksioma himpunan kuasa.^[2] Notasi dari himpunan kuasa ${\displaystyle S}$ dinyatakan dengan berbagai cara, yaitu: ${\displaystyle {\mathcal {P}}(S)}$, ${\displaystyle P(S)}$, ${\displaystyle \mathbb {P} (S)}$, ${\displaystyle \wp (S)}$ atau ${\displaystyle 2^{S}}$. Notasi ${\displaystyle 2^{S}}$ mengartikan bahwa himpunan dari semua fungsi yang dipetakan dari ${\displaystyle S}$ ke himpunan yang mempunyai dua anggota. Penggunaan notasi tersebut dipakai sebab himpunan kuasa dari ${\displaystyle S}$ dapat diidentifikasi dengan, ekuivalen dengan, atau bijektif dengan himpunan dari semua fungsi yang dipetakan dari ${\displaystyle S}$ ke himpunan yang mempunyai dua himpunan anggota.^[1]

Sebarang subhimpunan dari ${\displaystyle {\mathcal {P}}(S)}$ disebut sebagai keluarga himpunan atas ${\displaystyle S}$.

Jika ${\displaystyle S}$ adalah himpunan ${\displaystyle \{x,y,z\}}$, maka subhimpunan dari ${\displaystyle S}$ adalah

• ${\displaystyle \{\}}$ (juga dilambangkan ${\displaystyle \varnothing }$ atau ${\displaystyle \emptyset }$, himpunan kosong atau himpunan nol)^[3]
• ${\displaystyle \{x\}}$
• ${\displaystyle \{y\}}$
• ${\displaystyle \{z\}}$
• ${\displaystyle \{x,y\}}$
• ${\displaystyle \{x,z\}}$
• ${\displaystyle \{y,z\}}$
• ${\displaystyle \{x,y,z\}}$

Oleh karena itu, himpunan kuasa dari ${\displaystyle S}$ adalah ${\displaystyle \{\{\},\{x\},\{y\},\{z\},\{x,y\},\{x,z\},\{y,z\},\{x,y,z\}\}}$.^[4]

Jika ${\displaystyle S}$ adalah sebuah himpunan terhingga dengan kardinalitas ${\displaystyle \left|S\right|=n}$, maka jumlah subhimpunan dari ${\displaystyle S}$ adalah ${\displaystyle \left|{\mathcal {P}}(S)\right|=2^{n}}$. Fakta tadi menjelaskan alasan pemakaian notasi ${\displaystyle 2^{S}}$, dan ini dapat diperlihatkan di bawah berikut:

Fungsi indikator atau fungsi karakteristik dari subhimpunan ${\displaystyle A}$ dari himpunan ${\displaystyle S}$ dengan kardinalitas ${\displaystyle |S|=n}$ adalah sebuah fungsi yang dipetakan dari ${\displaystyle S}$ ke himpunan yang mempunyai dua anggota ${\displaystyle \{0,1\}}$. Hal tersebut dinyatakan sebagai ${\displaystyle I_{A}(x)\colon S\rightarrow \{0,1\}}$, dan juga menyatakan apakah anggota dari ${\displaystyle S}$ merupakan milik himpunan ${\displaystyle A}$ atau bukan. Jika ${\displaystyle x}$ di ${\displaystyle S}$ milik himpunan ${\displaystyle A}$, maka ${\displaystyle I_{A}(x)=1}$, tetapi jika tidak, maka ${\displaystyle I_{A}(x)=0}$. Masing-masing subhimpunan ${\displaystyle A}$ dari ${\displaystyle S}$ diidentifikasi oleh, atau ekuivalen dengan fungsi indikator ${\displaystyle I_{A}}$, dan ${\displaystyle \{0,1\}^{S}}$ yang dinyatakan sebagai himpunan dari semua fungsi yang dipetakan dari ${\displaystyle S}$ ke ${\displaystyle \{0,1\}}$ terdiri dari semua fungsi indikator dari semua subhimpunan dari ${\displaystyle S}$. Dengan kata lain, ${\displaystyle \{0,1\}^{S}}$ ekuivalen atau bijektif dengan himpunan kuasa ${\displaystyle {\mathcal {P}}(S)}$. Karena masing-masing anggota di ${\displaystyle S}$ korespondensi dengan 0 ataupun 1 terhadap sebarang fungsi di ${\displaystyle \{0,1\}^{S}}$, maka jumlah semua fungsi di ${\displaystyle \{0,1\}^{S}}$ sama dengan ${\displaystyle 2^{n}}$. Karena bilangan 2 dapat didefinisikan sebagai ${\displaystyle \{0,1\}}$, maka ${\displaystyle {\mathcal {P}}(S)}$ juga dilambangkan sebagai ${\displaystyle 2^{S}}$, dan demikian berlaku ${\displaystyle 2^{S}=2^{|S|}}$. Secara umum, ${\displaystyle X^{Y}}$ adalah himpunan dari semua fungsi yang dipetakan dari ${\displaystyle Y}$ ke ${\displaystyle X}$ dan ${\displaystyle \left|X^{Y}\right|=X^{|Y|}}$.

Argumen diagonal Cantor memperlihatkan bahwa himpunan kuasa dari himpunan (tak terhingga atau terhingga) selalu memiliki kardinalitas tertinggi sempurna daripada himpunan itu sendiri (atau secara informal, himpunan kuasa harus lebih besar daripada himpunan asli). Secara khusus, teorema Cantor memperlihatkan bahwa himpunan kuasa dari himpunan takhingga tercacahkan merupakan himpunan tak terhingga yang tak tercacahkan. Sebagai contoh, himpunan kuasa dari himpunan bilangan asli dapat korespondensi satu-ke-satu dengan himpunan bilangan real (lihat Kardinalitas dari kontinum).

Himpunan kuasa dari himpunan ${\displaystyle S}$, bersama dengan operasi-operasinya seperti gabungan, irisan, dan komplemen, dapat diperlihatkan sebagai contoh dari aljabar Boole. Bahkan, seseorang dapat memperlihatkan bahwa sebarang aljabar Boole terhingga isomorfik dengan aljabar Boole himpunan kuasa dari himpunan terhingga. Hal tersebut tak berlaku benar untuk aljabar Boole tak terhingga, tetapi setiap aljabar Boole tak terhingga dapat dinyatakan sebagai subaljabar dari aljabar Boole himpunan kuasa (lihat teorema representasi Stone).

Himpunan kuasa dari ${\displaystyle S}$ akan membentuk suatu grup Abel ketika dianggap mempunyai operasi beda simetrik (dengan himpunan kosong sebagai elemen identitas dan masing-masing himpunan adalah invers dari himpunan itu sendiri), dan himpunan kuasa dari ${\displaystyle S}$ akan membentuk monoid komutatif ketika dianggap mempunyai operasi irisan. Ini disebabkan dengan membuktikan hukum distributif, bahwa himpunan kuasa yang dianggap mempunyai kedua operasi tersebut akan membentuk suatu gelanggang Boole.

Dalam teori himpunan, notasi X^Y menyatakan himpunan dari semua fungsi yang dipetakan dari ${\displaystyle Y}$ ke ${\displaystyle X}$. Karena "2" dapat didefinisikan sebagai ${\displaystyle \{0,1\}}$ (lihat, sebagai contoh, ordinal von Neumann), ${\displaystyle 2^{S}}$ (atau ${\displaystyle \{0,1\}^{S}}$) merupakan himpunan dari semua fungsi yang dipetakan dari ${\displaystyle S}$ ke ${\displaystyle \{0,1\}}$. Seperti yang diperlihatkan sebelumnya, ${\displaystyle 2^{S}}$ dan himpunan kuasa dari ${\displaystyle S}$, ${\displaystyle {\mathcal {P}}(S)}$, dianggap sama.

Gagasan ini dapat berlaku untuk contoh sebelumnya, dengan ${\displaystyle S=\{x,y,z\}}$ isomorfik dengan representasi bilangan biner dari ${\displaystyle 0}$ ke ${\displaystyle 2^{n}-1}$, dengan ${\displaystyle n}$ adalah sebuah jumlah anggota dalam himpunan ${\displaystyle S}$, yaitu ${\displaystyle |S|}$, Himpunan terenumerasi ${\displaystyle \{(x,1),(y,2),(z,3)\}}$ terdefinisi dengan jumlah pasangan terurut menyatakan posisi anggota berpasangan dari ${\displaystyle S}$ dalam bentuk sebarang barisan biner. Sebagai contoh, ${\displaystyle \{x,y\}=011_{(2)}}$, sebab ${\displaystyle x}$ dari ${\displaystyle S}$ terletak di bagian pertama dari kanan barisan dan sedangkan ${\displaystyle y}$ terletak di bagian kedua dari kanan barisan. Digit 1 di barisan biner menyatakan bahwa anggota dari ${\displaystyle S}$ yang korespondensi dengan posisi darinya di barisan ada di dalam subhimpunan dari ${\displaystyle S}$, sedangkan 0 menyatakan sebaliknya.

Untuk semua anggota dari himpunan kuasa ${\displaystyle S}$, didapati:

Subhimpunan	Barisan digit biner	Dalam bentuk bilangan biner	Dalam bentuk desimal
${\displaystyle \{\}}$	${\displaystyle 0,0,0}$	${\displaystyle 000_{(2)}}$	${\displaystyle 0_{(10)}}$
${\displaystyle \{x\}}$	${\displaystyle 0,0,1}$	${\displaystyle 001_{(2)}}$	${\displaystyle 1_{(10)}}$
${\displaystyle \{y\}}$	${\displaystyle 0,1,0}$	${\displaystyle 010_{(2)}}$	${\displaystyle 2_{(10)}}$
${\displaystyle \{x,y\}}$	${\displaystyle 0,1,1}$	${\displaystyle 011_{(2)}}$	${\displaystyle 3_{(10)}}$
${\displaystyle \{z\}}$	${\displaystyle 1,0,0}$	${\displaystyle 100_{(2)}}$	${\displaystyle 4_{(10)}}$
${\displaystyle \{x,z\}}$	${\displaystyle 1,0,1}$	${\displaystyle 101_{(2)}}$	${\displaystyle 5_{(10)}}$
${\displaystyle \{y,z\}}$	${\displaystyle 1,1,0}$	${\displaystyle 110_{(2)}}$	${\displaystyle 6_{(10)}}$
${\displaystyle \{x,y,z\}}$	${\displaystyle 1,1,1}$	${\displaystyle 111_{(2)}}$	${\displaystyle 7_{(10)}}$

Fungsi bijektif yang dipetakan dari ${\displaystyle {\mathcal {P}}(S)}$ ke bilangan bulat bersifat sebarang, sehingga representasi subhimpunan dari ${\displaystyle S}$ tidak tunggal, tetapi urutan pemilahan dari himpunan terenumerasi tidak mengubah kardinalitasnya. Akan tetapi, representasi barisan biner terhingga hanya dapat terjadi jika ${\displaystyle S}$ dapat dienumerasi. Enumerasi tersebut bahkan dapat dilakukan jika ${\displaystyle S}$ mempunyai kardinalitas tak terhingga (dalam artian bahwa anggota di ${\displaystyle S}$ mempunyai jumlah tak terhingga), seperti himpunan bilangan bulat atau himpunan bilangan rasional. Sebaliknya, enumerasi tak dapat dilakukan jika, sebagai contoh, ${\displaystyle S}$ adalah himpunan bilangan real, sebab jumlah anggota bilangan irasional di ${\displaystyle S}$ tak dapat dihitung.

Himpunan kuasa berkaitan dengan teorema binomial. Jumlah subhimpunan dengan ${\displaystyle k}$ anggota dalam himpunan kuasa dari himpunan dengan ${\displaystyle n}$ anggota dinyatakan dengan jumlah kombinasi, ${\displaystyle \mathrm {C} (n,k)}$, yang juga disebut koefisien binomial.

Sebagai contoh, himpunan kuasa dari himpunan yang mengandung tiga anggota, mempunyai:

• ${\displaystyle \mathrm {C} (3,0)=1}$ subhimpunan dengan 0 anggota (subhimpunan kosong),
• ${\displaystyle \mathrm {C} (3,1)=3}$ subhimpunan dengan 1 anggota (subhimpunan singleton),
• ${\displaystyle \mathrm {C} (3,2)=3}$ subhimpunan dengan 2 anggota (komplemen dari subhimpunan singleton),
• ${\displaystyle \mathrm {C} (3,3)=1}$ subhimpunan dengan 3 anggota (himpunan asal itu sendiri).

Dengan adanya kaitan tersebut, maka kardinalitas dari himpunan kuasa ${\displaystyle \left|2^{S}\right|}$ dapat dihitung dengan menggunakan rumus:$${\displaystyle \left|2^{S}\right|=\sum _{k=0}^{|S|}{\binom {|S|}{k}}}$$

Oleh karena itu, identitas berikut dapat disimpulkan dengan mengasumsi ${\displaystyle \left|S\right|=n}$.

$${\displaystyle \left|2^{S}\right|=2^{n}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}}$$

Jika ${\displaystyle S}$ suatu himpunan hingga, maka definisi rekursif ${\displaystyle P(S)}$ dijelaskan sebagai berikut:

• Jika ${\displaystyle S=\{\}}$, maka ${\displaystyle P(S)=\{\{\}\}}$.
• Jika tidak, misalkan ${\displaystyle e\in S}$ dan ${\displaystyle T=S\setminus \{e\}}$, maka ${\displaystyle P(S)=P(T)\cup \{t\cup \{e\}:t\in P(T)\}}$

Dengan kata lain:

• Himpunan pangkat dari himpunan kosong adalah singleton dengan anggotanya merupakan himpunan kosong.
• Untuk himpunan takkosong ${\displaystyle S}$, misalkan ${\displaystyle e}$ adalah sebarang anggota dari himpunan dan ${\displaystyle T}$ adalah komplemen relatifnya, maka himpunan kuasa dari ${\displaystyle S}$ adalah gabungan dari himpunan kuasa dari ${\displaystyle T}$ dan himpunan kuasa dari ${\displaystyle T}$ yang setiap anggota dapat diperluas dengan anggota ${\displaystyle e}$.

Himpunan dari subhimpunan dari ${\displaystyle S}$ dengan kardinalitas yang lebih kecil atau sama dengan ${\displaystyle \kappa }$ terkadang dinyatakan dengan notasi ${\displaystyle {\mathcal {P}}_{\kappa }(S)}$ atau ${\displaystyle [S]^{\kappa }}$, sedangkan himpunan dari subhimpunan dengan kardinalitas yang tepat lebih kecil daripada ${\displaystyle \kappa }$ terkadang dinyatakan dengan notasi ${\displaystyle {\mathcal {P}}_{<\kappa }(S)}$ atau ${\displaystyle [S]^{<\kappa }}$. Dengan cara yang serupa, himpunan dari subhimpunan takkosong ${\displaystyle S}$ dapat dinyatakan dengan notasi ${\displaystyle {\mathcal {P}}_{\geq 1}(S)}$ atau ${\displaystyle {\mathcal {P}}^{+}(S)}$.

Dalam teori kategori dan teori topoi elementer,kuantor semesta dapat dipahami sebagai adjoin kanan fungtor di antara himpunan kuasa, fungtor citra invers dari fungsi di antara himpunan, sedangkan kuantifikasi eksistensial dapat dipahami sebagai adjoin kiri fungtor di antara himpunan kuasa.^[5]

• Teorema Cantor
• Keluarga himpunan
• Medan himpunan
• Kombinasi

1. ^ ^{a b} Weisstein, Eric W. "Power Set". mathworld.wolfram.com (dalam bahasa Inggris). Diakses tanggal 2020-09-05. 
2. ^ Devlin 1979, hlm. 50
3. ^ "Comprehensive List of Set Theory Symbols". Math Vault (dalam bahasa Inggris). 2020-04-11. Diakses tanggal 2020-09-05. 
4. ^ Puntambekar 2007, hlm. 1–2
5. ^ Saunders Mac Lane, Ieke Moerdijk, (1992) Sheaves in Geometry and Logic Springer-Verlag. ISBN 0-387-97710-4 See page 58

• Devlin, Keith J. (1979). Fundamentals of contemporary set theory. Universitext. Springer-Verlag. ISBN 0-387-90441-7. Zbl 0407.04003. 
• Halmos, Paul R. (1960). Naive set theory. The University Series in Undergraduate Mathematics. van Nostrand Company. Zbl 0087.04403. 
• Puntambekar, A. A. (2007). Theory Of Automata And Formal Languages. Technical Publications. ISBN 978-81-8431-193-8. 

• Power set di PlanetMath.
• Power set di nLab
• Power object di nLab
• Power set Algorithm in C++