Dalam aljabar elementer, teorema binomial adalah teorema yang menjelaskan mengenai pengembangan eksponen dari penjumlahan antara dua variabel (binomial). Berdasarkan teorema ini, dimungkinkan untuk mengembangkan eksponen (x + y)ⁿ menjadi sebuah penjumlahan dari suku-suku dengan bentuk ax^by^c, dimana eksponen b dan c adalah bilangan bulat non negatif dengan b + c = n, dan koefisien a dari setiap suku adalah bilangan bulat positif tertentu tergantung pada n dan b. Ketika suatu eksponen adalah nol, faktor yang bereksponen nol tersebut biasanya dihilangkan dari sukunya. Contohnya,

${\displaystyle (x+y)^{4}\;=\;x^{4}y^{0}\,+\,4x^{3}y\,+\,6x^{2}y^{2}\,+\,4xy^{3}\,+\,x^{0}y^{4}.}$

${\displaystyle (x+y)^{4}\;=\;x^{4}\,+\,4x^{3}y\,+\,6x^{2}y^{2}\,+\,4xy^{3}\,+\,y^{4}.}$

Koefisien a pada suku ax^by^c dikenal sebagai koefisien binomial ${\displaystyle {\tbinom {n}{b}}}$ atau ${\displaystyle {\tbinom {n}{c}}}$ (keduanya memiliki nilai yang sama). Koefisien untuk setiap variasi n dan b dapat disusun membentuk segitiga Pascal. Angka-angka ini juga muncul dalam kombinatorika, dimana ${\displaystyle {\tbinom {n}{b}}}$ menunjukkan banyaknya kombinasi yang berbeda dari unsur b yang dapat dipilih dari suatu himpunan dengan unsur sebanyak n.

Peristiwa-peristiwa khusus terkait teorema binomial yang diketahui sejak zaman kuno diikhtisarkan berikut ini:

Abad ke-4 SM [[matematikawan Yunani]] Euklides menyebutkan kasus khusus teorema binomial untuk eksponen 2.^[1][2] Ada bukti bahwa teorema binomial untuk kubus telah diketahui pada abad ke-6 di India.^[1][2]

Koefisien binomial, seperti jumlah kombinasi yang menunjukkan banyak cara untuk memilih k objek dari n tanpa penggantian, telah menjadi perhatian orang-orang Hindu kuno. Referensi paling awal yang diketahui mengenai permasalahan kombinasi ini adalah Chandaḥśāstra karya penulis Hindu, Pingala (sekitar 200 SM), yang memuat suatu metode untuk solusinya.^[3]:230 Seorang peneliti bernama Halayudha dari abad ke-10 M menjelaskan mengenai metode ini menggunakan yang kini dikenal sebagai segitiga Pascal.^[3] Pada abad ke-6 M, matematikawan Hindu mungkin telah mengetahui cara menunjukkannya dalam sebuah persamaan ${\displaystyle {\frac {n!}{(n-k)!k!}}}$,^[4] dan suatu pernyataan yang jelas mengenai aturan ini dapat ditemukan dalam naskah abad ke-12 Lilavati karya Bhaskara.^[4]

Teorema binomial yang sama dapat ditemukan pada hasil tulisan matematikawan Persia abad ke-11, Al-Karaji, yang menggambarkan pola segitiga dari koefisien binomial.^[5] Ia juga memberikan pembuktian matematika dari teorema binomial dan segitiga dengan menggunakan suatu bentuk sederhana dari induksi matematika.^[5] Penyari dan matematikawan Persia Umar Khayyām mungkin telah akrab dengan rumus-rumus dengan pangkat yang lebih tinggi, meskipun banyak karya-karya matematikanya hilang.^[2] Ekspansi binomial dengan derajat kecil telah diketahui oleh matematikawan abad ke-13 bernama Yang Hui^[6] dan Zhu Shijie.^[2] Yang Hui menghubungkan metode itu dengan naskah yang jauh lebih awal berasal dari abad ke-11 tulisan Jia Xian, meskipun tulisan-tulisannya kini juga hilang.^[3]:142

Berdasarkan teorema binomial, dimungkinkan untuk mengembangkan setiap eksponen dari x + y menjadi suatu penjumlahan dengan bentuk

${\displaystyle (x+y)^{n}={n \choose 0}x^{n}y^{0}+{n \choose 1}x^{n-1}y^{1}+{n \choose 2}x^{n-2}y^{2}+\cdots +{n \choose n-1}x^{1}y^{n-1}+{n \choose n}x^{0}y^{n},}$

dimana setiap ${\displaystyle {\tbinom {n}{k}}}$ adalah bilangan bulat positif tertentu yang dikenal sebagai koefisien binomial. Rumus ini dikenal juga sebagai rumus binomial atau identitas binomial. Dengan menggunakan notasi penjumlahan, rumus itu dapat ditulis

${\displaystyle (x+y)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}x^{n-k}y^{k}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}x^{k}y^{n-k}.}$

Ekspresi akhir mengikuti ekspresi sebelumnya dengan cara menukar letak x dan y dari ekspresi pertama, dan dengan perbandingan keduanya diketahui bahwa urutan koefisien binomial dalam rumus tersebut adalah simetris.

Sebuah varian sederhana dari rumus binomial diperoleh dengan mensubstitusi y dengan 1, sehingga hanya terdapat satu variabel. Dengan bentuk ini, rumus akan menjadi

${\displaystyle (1+x)^{n}={n \choose 0}x^{0}+{n \choose 1}x^{1}+{n \choose 2}x^{2}+\cdots +{n \choose {n-1}}x^{n-1}+{n \choose n}x^{n},}$

atau ekuivalen

${\displaystyle (1+x)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}x^{k}.}$

Contoh paling dasar teorema binomial adalah rumus untuk x + y kuadrat

${\displaystyle (x+y)^{2}=x^{2}+2xy+y^{2}.\!}$

Koefisien binomial 1, 2, 1 muncul dalam pengembangan ini sesuai dengan baris ketiga dari segitiga Pascal. Koefisien tingkat yang lebih tinggi dari x + y sesuai dengan baris selanjutnya dari segitiga itu:

${\displaystyle {\begin{aligned}\\[8pt](x+y)^{3}&=x^{3}+3x^{2}y+3xy^{2}+y^{3},\\[8pt](x+y)^{4}&=x^{4}+4x^{3}y+6x^{2}y^{2}+4xy^{3}+y^{4},\\[8pt](x+y)^{5}&=x^{5}+5x^{4}y+10x^{3}y^{2}+10x^{2}y^{3}+5xy^{4}+y^{5},\\[8pt](x+y)^{6}&=x^{6}+6x^{5}y+15x^{4}y^{2}+20x^{3}y^{3}+15x^{2}y^{4}+6xy^{5}+y^{6},\\[8pt](x+y)^{7}&=x^{7}+7x^{6}y+21x^{5}y^{2}+35x^{4}y^{3}+35x^{3}y^{4}+21x^{2}y^{5}+7xy^{6}+y^{7}.\end{aligned}}}$

Perhatikan bahwa:

1. Eksponen dari ${\displaystyle x}$ menurun hingga mencapai 0 (${\displaystyle x^{0}=1}$) dengan nilai awal adalah n (n pada ${\displaystyle (x+y)^{n}}$).
2. Eksponen dari ${\displaystyle y}$ naik dari 0 (${\displaystyle y^{0}=1}$) hingga mencapai n (juga n pada ${\displaystyle (x+y)^{n}}$).
3. Baris ke-n pada segitiga Pascal akan menjadi koefisien binomial yang dikembangkan (perhatikan bahwa puncaknya adalah baris 0).
4. Untuk setiap baris, jumlah semua unsur (yaitu jumlah dari koefisien) sama dengan ${\displaystyle 2^{n}}$.
5. Untuk setiap baris, banyaknya unsur sama dengan ${\displaystyle n+1}$.

Teorema binomial dapat diterapkan ke eksponen dari binomial apapun. Contohnya,

${\displaystyle {\begin{aligned}(x+4)^{3}&=x^{3}+3x^{2}(4)+3x(4)^{2}+4^{3}\\&=x^{3}+12x^{2}+48x+64.\end{aligned}}}$

Untuk binomial dalam pengurangan, teorema binomial dapat diterapkan dengan menggunakan rumus (x − y)ⁿ = (x + (−y))ⁿ. Rumus ini memberikan pengaruh berubahnya tanda pada setiap suku yang jika dikembangkan:

${\displaystyle (x-y)^{3}=x^{3}-3x^{2}y+3xy^{2}-y^{3}.\!}$

Untuk setiap a dan b bernilai positif, teorema binomial dengan n = 2 adalah fakta bukti geometris bahwa sebuah bujur sangkat dengan sisi a + b dapat dipotong menjadi sebuah bujur sangkar dengan sisi a, sebuah bujur sangkar dengan sisi b, dan dua persegi panjang dengan sisi a dan b. Dengan n = 3, teorema binomial menyatakan bahwa sebuah kubus dengan sisi a + b dapat dipotong-potong menjadi sebuah kubus dengan sisi a, sebuah kubus dengan sisi b, tiga buah kotak persegi panjang berdimensi a×a×b, dan tiga buah kotak persegi panjang berdimensi a×b×b.

Dalam kalkulus, gambar ini juga memberikan bukti geometris bahwa turunan ${\displaystyle (x^{n})'=nx^{n-1}:}$^[7] jika ditentukan ${\displaystyle a=x}$ dan ${\displaystyle b=\Delta x,}$ dengan menginterpretasi b sebagai suatu perubahan yang sangat kecil (mendekati nol) dalam a, maka gambar ini menunjukkan perubahan yang sangat kecil (mendekati nol) dalam volume sebuah hiperkubus berdimensi n, ${\displaystyle (x+\Delta x)^{n},}$ dengan suku koefisien linearnya (dalam ${\displaystyle \Delta x}$) adalah ${\displaystyle nx^{n-1},}$ wilayah dengan n permukaan, dimensi masing-masing ${\displaystyle (n-1):}$

${\displaystyle (x+\Delta x)^{n}=x^{n}+nx^{n-1}\Delta x+{\tbinom {n}{2}}x^{n-2}(\Delta x)^{2}+\cdots .}$

Dengan menggantinya menjadi suatu turunan melalui suatu kuosien diferensiasi dan memasukkan limit berarti bahwa suku berpangkat lebih tinggi – ${\displaystyle (\Delta x)^{2}}$ dan lebih tinggi – sehingga diabaikan, dan menghasilkan rumus ${\displaystyle (x^{n})'=nx^{n-1},}$ yang diinterpretasikan sebagai

"tingkat perubahan sangat kecil dalam volume suatu kubus dengan panjang sisi n bervariasi pada rentang n dari permukaannya yang berdimensi ${\displaystyle (n-1)}$".