Tích phân từng phần

Trong vi tích phân nói riêng, và trong giải tích toán học nói chung, tích phân từng phần là quá trình tìm tích phân của tích các hàm dựa trên tích phân các đạo hàm và nguyên hàm của chúng. Nó thường được sử dụng để biến đổi nguyên hàm của tích các hàm thành một nguyên hàm mà đáp án có thể được tìm thấy dễ dàng hơn. Quy tắc có thể suy ra bằng cách tích hợp quy tắc nhân của đạo hàm.

Nếu u = u(x) và du = u′(xdx, trong đó v = v(x) và dv = v′(xdx, thì tích phân từng phần phát biểu rằng:

hay gọn hơn:

Có các công thức tổng quát hơn của tích phân từng phần cho tích phân Riemann-Stieltjestích phân Lebesgue-Stieltjes. Chuỗi số cũng có mô hình rời rạc tương tự gọi là tổng từng phần.

Định lý

Tích của hai hàm

Định lý có thể được suy ra như sau. Giả sử u(x) và v(x) là hai hàm khả vi liên tục. Quy tắc nhân phát biểu rằng (theo ký hiệu của Leibniz):

Tích phân cả hai vế đối với x,

sau đó áp dụng định nghĩa của nguyên hàm,

cho ta công thức tích phân từng phần.

Bởi vì du và dv là các vi phân của một hàm một biến x,

Tích phân gốc ∫uv′ dx chứa v′ (đạo hàm của v); để áp dụng định lý, phải tim nguyên hàm v (của v′), và tính tích phân ∫vu′ dx.

Mở rộng cho các trường hợp khác

Điều kiện u và v khả vi liên tục là không thực cần thiết. Tích phân từng phần chỉ được áp dụng nếu u là liên tục tuyệt đối và hàm được chọn v' phải khả tích Lebesgue (nhưng không nhất thiết là liên tục).[1] (Nếu v' có một điểm gián đoạn thì nguyên hàm v của nó có thể không có đạo hàm tại điểm đó.)

Nếu khoảng tích phân không phải là không gian compact thì u không cần thiết phải hoàn toàn liên tục trong toàn khoảng hoặc v ' không cần thiết phải là khả tích Lebesgue trong khoảng, như một vài ví dụ sẽ cho thấy, trong đó u và v là liên tục và khả vi liên tục. Ví dụ nếu

u không liên tục hoàn toàn trên khoảng [1, +∞), tuy nhiên

miễn là  có nghĩa là giới hạn  khi và miễn là hai số hạng ở vế phải hữu hạn. Điều này chỉ đúng khi chúng ta chọn  Tương tự, nếu

v' không khả vi Lebesgue trên khoảng [1, +∞), tuy nhiên

với giải thích tương tự.

Người ta cũng có thể dễ dàng đưa ra những ví dụ như thế này nhưng trong đó u và v không khả vi liên tục.

Tích của nhiều hàm

Áp dụng quy tắc tích để tìm tích phần cho ba hàm nhân nhau, u(x), v(x), w(x), cho kết quả tương tự:

Tổng quát với n thừa số

dẫn đến

trong đó tích thuộc tất cả các hàm ngoại trừ một hàm được lấy đạo hàm trong cùng số hạng.

Sự hình dung

Giải thích bằng đồ họa của định lý. Đường cong trong hình được tham số hoá bởi biến t.

Xem xét đường cong tham số bởi (x, y) = (f(t), g(t)). Giả sử rằng đường cong là đơn ánh cục bộ và khả tích cục bộ, ta định nghĩa

Diện tích vùng màu xanh là

Tương tự như vậy, diện tích của vùng màu đỏ là

Tổng diện tích A1 + A2 bằng diện tích của hình chữ nhật lớn hơn, x2y2, trừ đi diện tích của hình chữ nhật nhỏ hơn, x1y1:

Hoặc theo tham số t

Hoặc biễu diễn theo nguyên hàm:

Chỉnh lại:

Từ đó tích phân từng phần có thể coi là diện tích của vùng màu xanh trong tổng diện tích và diện tích của vùng đỏ.

Sự hình dung này cũng lý giải việc tích phân từng phần có thể tính tích phân của hàm nghịch đảo f−1(x) khi đã biết tích phân của f(x). Thật vậy, nếu hàm x(y) và y(x) là nghịch đảo của nhau thì có thể tìm tích phân ∫x dy khi đã biết tích phân ∫y dx. Cụ thể, điều này giải thích việc kết hợp sử dụng tích phân từng phần với hàm logarithmhàm lượng giác nghịch đảo.

Ứng dụng để tìm nguyên hàm

Kịch bản

Tích phân từng phần là một quá trình suy nghiệm hơn là một quá trình máy móc thuần tuý để tính toán tích phân; cho một hàm đơn để tích phân, các chiến lược điển hình là cẩn thận tách nó thành tích của hai hàm u(x)v(x) sao cho tích phân được tạo bởi công thức tích phân từng phần dễ tính toán hơn so với tích phân gốc. Công thức sau minh họa kịch bản trường hợp tốt nhất:

Lưu ý rằng ở vế phải, u được lấy đạo hàm và v được lấy tích phân; do đó sẽ hữu ích khi chọn u là một hàm có thể giản hóa khi lấy đạo hàm, hoặc khi chọn v là hàm đơn giản hóa được khi được lấy tích phân. Xét ví dụ đơn giản sau:

Do đạo hàm của ln(x) là 1/x, ta chọn (ln(x)) là u; do nguyên hàm của1/x2 là -1/x, chọn 1/x2dx làm dv. Từ đó ta có:

Nguyên hàm của  có thể được tìm thấy bằng quy tắc luỹ thừa và bằng .

Ngoài ra, người ta có thể chọn u và v sao cho tích u' (∫v dx) triệt tiêu nhau. Ví dụ, giả sử ta muốn tích phân:

Nếu chúng ta chọn u(x) = ln(|sin(x)|) và v(x) = sec2x, thì u được lấy vi phân tới 1/ tan x bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi và v được lấy tích phân tan x; do đó công thức cho:

Hàm lấy tích phân trở thành 1 và có nguyên hàm là x. Tìm ra sự kết hợp co thể giản hóa thường cần thử sai.

Trong một số trường hợp, không đảm bảo rằng tích phân tạo bởi tích phân từng phần sẽ có dạng đơn giản; Ví dụ, trong giải tích số, ta có thể chấp nhận khi chỉ tạo ra một số sai sót nhỏ. Một số kỹ thuật đặc biệt khác được chứng minh trong các ví dụ dưới đây.

Hàm đa thức và hàm lượng giác

Để tính

đặt:

thì:

với Chằng số tích phân.

Đối với bậc cao hơn của x trong dạng

sử dụng nhiều lần tích phân từng phần có thể tính các tích phân thuộc loại này; mỗi lần sử dụng sẽ giảm một bậc của x.

Hàm mũ và hàm lượng giác

Một ví dụ thường dùng để tính tích phân từng phần là

Ở đây, ta thực hiện tích phân từng phần hai lần. Đầu tiên đặt

thì:

Giờ, để tính tích phân còn lại, chúng ta sử dụng tích phân từng phần một lần nữa, với:

thì:

Kết hợp lại,

Tích phân giống nhau xuất hiện trên cả hai vế của phương trình này. Thêm tích phân cần tính vào 2 vế, ta có

mà trở thành:

trong đó C (và C' = C/2) là các hằng số tích phân.

Phương pháp tương tự được sử dụng để tìm tích phân của hàm sec bậc ba.

Các hàm được nhân với phần tử đơn vị

Hai ví dụ nổi tiếng khác khi áp dụng tích phân từng phần cho một hàm được biểu diễn là tích của 1 và chính nó. Có thể tính tích phân này nếu biết đạo hàm của hàm đó và tích phân của đạo hàm này nhân x.

Ví dụ đầu tiên là ∫ ln(x) dx. Chúng ta viết tích phân này như:

Đặt:

thì:

trong đó C là hằng số tích phân.

Ví dụ thứ hai là hàm tan nghịch arctan(x):

Viết lại

Đặt:

thì

sử dụng kết hợp giữa phương pháp quy tắc chuỗi đảođiều kiện tích phân của hàm logarit tự nhiên.

Quy tắc LIATE

Ứng dụng trong toán học thuần tuý

Tích phân từng phần thường được sử dụng như một công cụ để chứng minh các định lý trong giải tích toán học. Phần này đưa ra vài ví dụ.

Dùng trong các hàm đặc biệt

Dùng trong giải tích điều hòa

Biến đổi Fourier của đạo hàm
Phân rã của biến đổi Fourier

Dùng trong lý thuyết toán tử

Các ứng dụng khác

Tích phân đệ quy từng phần

Bảng tích phân từng phần

Các chiều cao hơn

Xem thêm

  • Integration by parts for the Lebesgue–Stieltjes integral
  • Integration by parts for semimartingales, involving their quadratic covariation.
  • Integration by substitution
  • Legendre transformation

Ghi chú

  1. ^ “Integration by parts”. Encyclopedia of Mathematics.

Tham khảo

Liên kết ngoài

Read other articles:

Questa voce o sezione sull'argomento letteratura latina non cita le fonti necessarie o quelle presenti sono insufficienti. Puoi migliorare questa voce aggiungendo citazioni da fonti attendibili secondo le linee guida sull'uso delle fonti. Stefan Bakałowicz,Il circolo di Mecenate (1890) Questa voce è parte della serieStoria della letteratura latina Età preletteraria Età arcaica Età classica Età di Cesare Età di Augusto Età imperiale Età giulio-claudia Età flavia e di Traiano Et...

 

لوحة ترقيم سيارة عادية لوحات تسجيل المركبات في المغرب هي لوحات تتكون من 5 أرقام في اليسار من 1 إلى 99999 وحرف باللغة العربية بين خطين في الوسط للتمييز بين السلسلة، ورقم في اليمين يشير إلى العمالة أو الإقليم الذي تم تسجيل المركبة فيه، وهو من 1 إلى 88. ويتم كتابة الأرقام في لوحات تس...

 

Pour les articles homonymes, voir Aron. l'Aron L'Aron sur le site de Fleury, commune de Biches. Cours de l'Aron. Caractéristiques Longueur 101,4 km [1] Bassin 1 600 km2 Bassin collecteur Loire Débit moyen 17,6 m3/s (Verneuil) Régime pluvial Cours Source à l'ouest de la Forêt de Troncay · Localisation Saint-Révérien · Altitude 327 m · Coordonnées 47° 11′ 19″ N, 3° 29′ 29″ E Confluence Loire · Localisation entre Saint...

Questa voce sull'argomento ciclisti italiani è solo un abbozzo. Contribuisci a migliorarla secondo le convenzioni di Wikipedia. Segui i suggerimenti del progetto di riferimento. Aurelio Del Rio Nazionalità  Italia Ciclismo su strada Termine carriera 1957 Carriera Giovanili Aurora Chiavari Squadre di club  Ignis Palmarès Trofeo Vittorie Numero di vittorie 5[1]   Modifica dati su Wikidata · Manuale Aurelio Del Rio (Bracelli, 28 giugno 1927 – La Spezia, 6 ...

 

Nama ini menggunakan cara penamaan Portugis. Nama keluarga pertama atau maternalnya adalah Bezerra dan nama keluarga kedua atau paternalnya adalah Abbott Galvão. Marcos Galvão Duta Besar Brasil untuk Uni EropaPetahanaMulai menjabat 3 Februari 2019PresidenJair BolsonaroPendahuluEverton Vieira VargasPenggantiPetahanaMenteri Urusan Luar NegeriPelaksana tugasMasa jabatan22 Februari 2017 – 7 Maret 2017PresidenMichel TemerPendahuluJosé SerraPenggantiAloysio Nunes Informasi pri...

 

Ненасы́щенные жиры́ — триглицериды жирных кислот, в молекулы которых входят остатки ненасыщенных жирных кислот — кислот, в молекулах которых имеется по меньшей мере одна двойная ковалентная связь между атомами углерода. В этом их отличие от насыщенных жирных кис�...

Swedish politician Krister ÖrnfjäderKrister Örnfjäder (far left) at the 128th Assembly of the Inter-Parliamentary Union in Quito, Ecuador in 2013member of the RiksdagIn office1993–2018Father of the HouseIn office2015–2018 Personal detailsPolitical partySocial Democratic Krister Örnfjäder (born 22 September 1952) is a Swedish Social Democratic politician who was member of the Riksdag from 1993 to 2018. He was Father of the House from 25 April 2015 to 24 September 2018. References Kri...

 

此条目序言章节没有充分总结全文内容要点。 (2019年3月21日)请考虑扩充序言,清晰概述条目所有重點。请在条目的讨论页讨论此问题。 哈萨克斯坦總統哈薩克總統旗現任Қасым-Жомарт Кемелұлы Тоқаев卡瑟姆若马尔特·托卡耶夫自2019年3月20日在任任期7年首任努尔苏丹·纳扎尔巴耶夫设立1990年4月24日(哈薩克蘇維埃社會主義共和國總統) 哈萨克斯坦 哈萨克斯坦政府...

 

Winmarleigh is a civil parish in the Wyre district of Lancashire, England. It contains two listed buildings that are recorded in the National Heritage List for England. Both the listed buildings are designated at Grade II, the lowest of the three grades, which is applied to buildings of national importance and special interest.[1] Other than the village of Winmarleigh, the parish is rural. The listed buildings are a public house and a church. Map all coordinates using OpenStreet...

Swedish politician (born 1958) Peter ErikssonPeter ErikssonMinister for International Development CooperationIn office21 January 2019 – 17 December 2020Prime MinisterStefan LöfvenPreceded byIsabella LövinSucceeded byIsabella Lövin (Acting)Minister for Housing and Digital DevelopmentIn office25 May 2016 – 21 January 2019Prime MinisterStefan LöfvenPreceded byPer Bolund (acting)Succeeded byPer Bolund (Housing)Anders Ygeman (Digitalization)Member of the European Parliame...

 

Hill figure on Windover Hill near Wilmington, East Sussex, England 50°48′36″N 0°11′17″E / 50.810°N 0.188°E / 50.810; 0.188 Long Man of WilmingtonThe Long Man of WilmingtonShown within East SussexAlternative nameWilmington GiantLocationWindover Hill, Wilmington, East Sussex, EnglandCoordinates50°48′36″N 0°11′17″E / 50.810°N 0.188°E / 50.810; 0.188TypeHill figure monumentLength72 m (235ft)HistoryMaterialChalkFoundedFir...

 

منظمة صناعات الطيران الإيرانيةسازمان صنایع هوایی ایرانالشعارمعلومات عامةالبلد  إيران التأسيس 1966النوع مملوكة من قبل الدولةالمقر الرئيسي طهران  إيرانموقع الويب mod.gov.ir المنظومة الاقتصاديةالشركة الأم وزارة الدفاع وإسناد القوات المسلحةالصناعة فضاء جويالمنتجات الطائ�...

庫德斯坦 1992年的庫德人聚居区域 位置  土耳其北库尔德斯坦 伊拉克南库尔德斯坦 伊朗東库尔德斯坦 叙利亚西库尔德斯坦 面積 390,000平方公里 人口 3000萬 庫爾德斯坦(库尔德语:كوردستان, Kurdistan,意为“库尔德人的土地”)是一個橫跨土耳其、伊拉克、伊朗和敘利亞四國山區的地區,自古以来一直都是庫爾德人聚居的地方,如今庫爾德斯坦被這四個現�...

 

Consejo Nacional de Gobierno LocalizaciónPaís UruguayInformación generalJurisdicción UruguayTipo EjecutivoSede Palacio EstévezOrganizaciónPresidente Presidente del Consejo Nacional de GobiernoHistoriaFundación Constitución de 1952Disolución Constitución de 1967[editar datos en Wikidata] El Consejo Nacional de Gobierno fue el Poder ejecutivo colegiado de la República Oriental del Uruguay entre 1952 y 1967. Establecido por la Constitución de 1952 y sustiuido por la Constit...

 

الجزائر في الألعاب المتوسطية علم الجزائر رمز IOC  ALG NOC اللجنة الأولمبية الجزائرية أقيمت ألعاب البحر الأبيض المتوسط 2022 في المشاركين 324 في 24 رياضات حامل العلم مسعود دريس[1]إيمان خليف[2] الميداليات ذهبية20 فضية16 برونزية16 المجموع52 المشاركات في الألعاب المتوسط�...

United Nations Operation in Côte d'IvoireМісія ООН у Кот-д'ІвуаріЕмблема ООНАбревіатураONUCIТипМиротворча місія ООНЗасновано4 квітня 2004Правовий статустриваєШтаб-квартираАбіджанЦентральний органРада Безпеки ООНВебсайт: onuci.unmissions.org  Місія ООН у Кот-д'Івуарі у ВікісховищіМісія...

 

American politician (1935–2020) William H. FleeceMember of the Florida House of Representativesfrom the 53rd districtIn office1967–1972Succeeded byMary R. Grizzle[1] Personal detailsBornWilliam Harold Fleece[2][3](1935-10-01)October 1, 1935Pontiac, MichiganDiedOctober 27, 2020(2020-10-27) (aged 85)Political partyRepublicanDemocraticSpouse(s)Ellen L. Richman (divorced)Marie C. Devine (died 2009)Children3EducationOhio State University (BS)Indiana Uni...

 

Esempio di binario classico con traverse in cemento armato precompresso (mod. RFI 240 VN) Con traversa (nell'uso comune e gergale anche traversina) si intende quella parte del binario alla quale sono fissate le rotaie[1]. Le traverse sono usate per realizzare le linee ferrate sulle quali circolano i treni, i tram e le metropolitane. Indice 1 L'importanza delle traverse 2 Traverse di legno 3 Traverse in ferro 3.1 Traversa a Y 3.2 Traversa biblocco 4 Traverse in cemento armato 5 Alterna...

Gabès Oasis de Gabès. Administration Pays Tunisie Gouvernorat Gabès Délégation(s) Gabès MédinaGabès OuestGabès Sud Code postal 6000 Démographie Gentilé Gabésien Population 107 223 hab. (2022) Géographie Coordonnées 33° 53′ nord, 10° 07′ est Altitude 1[1] m Localisation Géolocalisation sur la carte : Tunisie Gabès Géolocalisation sur la carte : Tunisie Gabès Liens Site web www.commune-gabes.gov.tn modifier  Gabès (arab...

 

Untuk kegunaan lain, lihat Lares (disambiguasi). Lar memegang sebuah cornucopia dari Axatiana (sekarang Lora del Rio) di Spanyol Romawi, awal abad ke-1 M (Museum Arkeologi Nasional Spanyol). Lares (/ˈlɛəriːz, ˈleɪriːz/;[1] bahasa Latin: Larēs pengucapan Latin: [ˈla.reːs], archaic Lases, singular Lar), adalah dewa penjaga dalam agama Romawi kuno. Asal usul mereka tak jelas; mereka adalah pahlawan-leluhur, penjaga tungku api, ladang, perbatasan, atau pembuahan hasil, ...