Trong toán học, định lý khai triển nhị thức (ngắn gọn là định lý nhị thức) là một định lý toán học về việc khai triển hàm mũ của tổng. Cụ thể, kết quả của định lý này là việc khai triển một nhị thức bậc n {\displaystyle n} thành một đa thức có n + 1 {\displaystyle n+1} số hạng:
với:
Gọi là số tổ hợp chập k của n phần tử.
Định lý này đã được độc lập chứng minh bởi hai người đó là:
Công thức đã giới thiệu còn mang tên là Nhị thức Newton.
Định lý này được chứng minh bằng quy nạp.[1]
Ta có biểu thức P ( n ) : ( 1 + x ) n = ∑ ∑ --> k = 0 n C n k x k {\displaystyle P(n):(1+x)^{n}=\sum _{k=0}^{n}C_{n}^{k}x^{k}} (1) với mọi số tự nhiên n.
Đầu tiên tại P(1) đúng.
Giả sử P(n) đúng, ta phải chứng minh P ( n + 1 ) : ( 1 + x ) n + 1 = ( 1 + x ) . ∑ ∑ --> k = 0 n C n k x k = ( 1 + x ) {\displaystyle P(n+1):(1+x)^{n+1}=(1+x).\sum _{k=0}^{n}C_{n}^{k}x^{k}=(1+x)} và ∑ ∑ --> k = 0 n C n k x k + 1 = ∑ ∑ --> k = 1 n C n k − − --> 1 x k + x n + 1 {\displaystyle \sum _{k=0}^{n}C_{n}^{k}x^{k+1}=\sum _{k=1}^{n}C_{n}^{k-1}x^{k}+x^{n+1}}
Áp dụng hằng đẳng thức Pascal ta có:
( 1 + x ) n + 1 = 1 + ∑ ∑ --> k = 1 n ( C n k + C n k − − --> 1 ) . x k + x n + 1 = C n + 1 0 . x 0 + ∑ ∑ --> k = 1 n C n + 1 k . x k + C n + 1 n + 1 . x n + 1 = ∑ ∑ --> k = 0 n + 1 C n + 1 k x k {\displaystyle (1+x)^{n+1}=1+\sum _{k=1}^{n}(C_{n}^{k}+C_{n}^{k-1}).x^{k}+x^{n+1}=C_{n+1}^{0}.x^{0}+\sum _{k=1}^{n}C_{n+1}^{k}.x^{k}+C_{n+1}^{n+1}.x^{n+1}=\sum _{k=0}^{n+1}C_{n+1}^{k}x^{k}}
Do đó công thức (1) đúng.
Giờ đặt x = b a ⇒ ⇒ --> ( 1 + b a ) n = ∑ ∑ --> k = 0 n C n k b k a k {\displaystyle x={\frac {b}{a}}\Rightarrow (1+{\frac {b}{a}})^{n}=\sum _{k=0}^{n}C_{n}^{k}{\frac {b^{k}}{a^{k}}}} và do đó ( a + b ) n = a n ( 1 + b a ) n = a n ∑ ∑ --> k = 0 n C n k b k a k = ∑ ∑ --> k = 0 n C n k a n − − --> k b k {\displaystyle (a+b)^{n}=a^{n}(1+{\frac {b}{a}})^{n}=a^{n}\sum _{k=0}^{n}C_{n}^{k}{\frac {b^{k}}{a^{k}}}=\sum _{k=0}^{n}C_{n}^{k}a^{n-k}b^{k}}
Ta có điều phải chứng minh.
Các trường hợp đặc biệt của định lý này nằm trong danh sách các hằng đẳng thức đáng nhớ.
Ví dụ: điển hình nhất là nhị thức là công thức bình phương của x + y {\displaystyle x+y} :
Hệ số nhị thức xuất hiện ở phép triển khai này tương ứng với hàng thứ ba của tam giác Pascal. Các hệ số có lũy thừa cao hơn của x + y {\displaystyle x+y} tương ứng với các hàng sau:
Chú ý rằng:
Định lý nhị thức có thể áp dụng với lũy thừa của bất cứ nhị thức nào. Ví dụ:
Với một nhị thức có phép trừ, định lý có thể được áp dụng khi sử dụng phép nghịch đảo số hạng thứ hai.
Trong trường hợp tổng quát trên trường số phức và ràng buộc một số hạng trong nhị thức.
Trong đó:
Lokasi Pengunjung: 18.219.229.160