Просте число Вілсона — просте число ${\displaystyle p}$, таке, що ${\displaystyle p^{2}}$ ділить ${\displaystyle (p-1)!+1}$, де «!» означає факторіал. Названо на честь англійського математика Джона Вілсона^[en]. Зауважте, що за теоремою Вілсона будь-яке просте число ${\displaystyle p}$ ділить ${\displaystyle (p-1)!+1}$.

Відомі лише три простих числа Вілсона — це 5, 13 і 563 (послідовність A007540 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS). Якщо існують інші, вони мають бути більшими за ${\displaystyle 2\cdot 10^{13}}$.

Висловлено гіпотеза, що існує нескінченно багато простих чисел Вілсона, та їх кількість в інтервалі ${\displaystyle [x,y]}$ близька до ${\displaystyle log(log(y)/log(x))}$^[1].

Також висунуто гіпотезу (див. коментарі до послідовності в OEIS), що ${\displaystyle p}$ — число Вілсона тоді й лише тоді, коли:

${\displaystyle \sum _{i=1}^{p-1}i^{p-1}=1^{p-1}+2^{p-1}+\cdots +(p-1)^{p-1}\equiv p-1{\pmod {p^{2}}}}$.

Зроблено кілька спроб пошуку простих чисел Вілсона^[2][3][4].

Проєкт розподілених обчислень Ibercivis^[en] включає пошук простих чисел Вілсона^[5]. Інший пошук координується проєктом mersenneforum.

Прості числа ${\displaystyle p}$, для яких виконується ${\displaystyle (p-1)!\equiv -1+Bp{\pmod {p^{2}}}}$ для малих ${\displaystyle |B|}$ називають майже простими числами Вілсона. Майже прості числа Вілсона з ${\displaystyle B=0}$ є простими числами Вілсона. У таблиці перелічено всі такі числа з ${\displaystyle |B|\leq 100}$ від ${\displaystyle 10^{6}}$ до ${\displaystyle 4\cdot 10^{11}}$:^[6]

Число Вілсона — це ціле ${\displaystyle m}$, таке, що ${\displaystyle W(m)\equiv 0{\pmod {m}}}$, де ${\displaystyle W(m)}$ означає дріб Вілсона

${\displaystyle W(m)={\frac {(m-1)!+1}{m}}}$

(послідовність A157250 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS).

Якщо ${\displaystyle m}$ — просте, воно буде і простим Вілсона. З урахуванням числа ${\displaystyle 1}$ є 13 чисел Вілсона до ${\displaystyle 5\cdot 10^{8}}$^[7].

• Просте число Віферіха
• Просте число Фібоначчі — Віферіха
• Просте число Волстенголма
• PrimeGrid

• N. G. W. H. Beeger. Quelques remarques sur les congruences r^p−1 ≡ 1 (mod p²) et (p − 1!) ≡ −1 (mod p²) // The Messenger of Mathematics^[en] : журнал. — 1913–1914. — Vol. 43. — P. 72—84.
• Karl Goldberg. A table of Wilson quotients and the third Wilson prime // London Mathematical Society : журнал. — 1953. — Vol. 28, no. 2. — P. 252—256. — DOI:10.1112/jlms/s1-28.2.252.
• Paulo Ribenboim^[en]. The new book of prime number records. — Springer-Verlag, 1996. — С. 346. — ISBN 0-387-94457-5.
• Richard E. Crandall; Karl Dilcher, Carl Pomerance. A search for Wieferich and Wilson primes // Math. Comput.^[en] : журнал. — 1997. — Vol. 66, no. 217. — P. 433—449. — DOI:10.1090/S0025-5718-97-00791-6.
• Richard E. Crandall; Carl Pomerance. Prime Numbers: A Computational Perspective. — Springer-Verlag, 2001. — С. 29. — ISBN 0-387-94777-9.
• Erna H. Pearson. On the Congruences (p − 1)! ≡ −1 and 2^p−1 ≡ 1 (mod p²) // Math. Comput.^[en] : журнал. — 1963. — Vol. 17. — P. 194—195.

• The Prime Glossary: Wilson prime^{[недоступне посилання]}
• Weisstein, Eric W. Просте число Вілсона(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
• Стан пошуку простих чисел Вілсона(англ.)
• Wilson Quotients for composite moduli(англ.)
• On congruences involving Bernoulli numbers and quotients of Fermat and Wilson^{[недоступне посилання]}