У теорії чисел прайморіальним простим числом називають просте число вигляду p_n# ± 1, де p_n# — прайморіал p_n (тобто добуток перших n простих чисел).

p_n# − 1 є простим для n = 2, 3, 5, 6, 13, 24, … послідовність A057704 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS

p_n# + 1 є простим для n = 1, 2, 3, 4, 5, 11, … послідовність A014545 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS

Декілька перших прайморіальних простих:

3, 5, 7, 29, 31, 211, 2309, 2311, 30 029, 200 560 490 131, 304 250 263 527 209, … послідовність A228486 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS.

Найбільшим відомим прайморіальним простим числом вигляду «pn# − 1» є число 3267113# — 1 з 1418398 знаками, його знайдено 2021 року в проєкті PrimeGrid^[1].

Найбільшим відомим прайморіальним простим числом вигляду «pn# + 1» є число 392113# + 1 з 169966 знаками, яке знайшов Даніель Гоєр 2001 року^[2].

Числа вигляду p_n# + 1 (не обов'язково прості) називають числами Евкліда.

Декілька перших чисел Евкліда:

3, 7, 31, 211, 2311, 30 031, 510 511, … послідовність A006862 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS.

Поширена думка, що ідея прайморіальних простих належить Евкліду і з'явилася в його доведенні нескінченності числа простих чисел: припустимо, що існує тільки n простих чисел, тоді число p_n# + 1 взаємно просте з ними, а отже воно є простим, або існує ще одне просте число.

Нерозв'язана проблема математики: Чи нескінченна кількість простих чисел Евкліда? (більше нерозв'язаних проблем математики)

Відкритою проблемою^[ru] залишається, скінченна чи нескінченна кількість прайморіальних простих чисел (і, зокрема, простих чисел Евкліда).

Число Евкліда E₆ = 13# + 1 = 30031 = 59 x 509 складене, що демонструє, що не всі числа Евкліда прості.

Числа Евкліда не можуть бути квадратними, оскільки вони завжди порівнянні з 3 mod 4.

Для всіх n ≥ 3 останній знак E_n дорівнює 1, оскільки E_n − 1 ділиться на 2 та 5.

• Прайморіал
• Факторіальне просте число
• PrimeGrid

• A. Borning, «Some Results for ${\displaystyle k!+1}$ and ${\displaystyle 2\cdot 3\cdot 5\cdot p+1}$» Math. Comput. 26 (1972): 567—570.
• Chris Caldwell, The Top Twenty: Primorial Архівовано травень 6, 2021 на сайті Wayback Machine. at The Prime Pages.
• Weisstein, Eric W. Прайморіальні прості числа(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
• Harvey Dubner, «Factorial and Primorial Primes.» J. Rec. Math. 19 (1987): 197—203.
• Paulo Ribenboim, The New Book of Prime Number Records. New York: Springer-Verlag (1989): 4.