Мрія другокурсника (математична тотожність)

Мрія другокурсника
Названо на честь	мрія першокурсника
Формула	$\int _{0}^{1}x^{-x}\,\mathrm {d} x=\sum _{n=1}^{\infty }n^{-n}$
Підтримується Вікіпроєктом	Вікіпедія:Проєкт:Математика

У математиці мрія другокурсника або мрія софомора (англ. sophomore — студент-другокурсник у США) — пара тотожностей:

$\int \limits _{0}^{1}x^{-x}dx=\sum _{n=1}^{\infty }n^{-n}$

$\int \limits _{0}^{1}x^{x}dx=\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n+1}n^{-n}=-\sum _{n=1}^{\infty }(-n)^{-n}$

Історія

Тотожності відкрив 1697 року Йоганн Бернуллі. Числові значення цих констант становлять приблизно 1.291285997 і 0.7834305107, відповідно.

Назва «мрія другокурсника» з'явилась пізніше. Вона є відсиланням до «мрії першокурсника», яка означає жартівливу хибну тотожність $(x+y)^{n}=x^{n}+y^{n}$ . Однак, на відміну від неї, мрія другокурсника — пара істинних тотожностей^[1].

Доведення

Доведення цих тотожностей аналогічні, тому тут наведемо тільки одне з них.

Спочатку, подамо $x^{x}$ як:

$x^{x}=\exp(x\log x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}(\log x)^{n}}{n!}}$ .

Тоді

$\int \limits _{0}^{1}x^{x}dx=\int \limits _{0}^{1}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}(\log x)^{n}}{n!}}dx$ .

За властивістю рівномірної збіжності степеневих рядів можна поміняти місцями підсумовування й інтеграл. Одержимо:

$\int \limits _{0}^{1}x^{x}dx=\sum _{n=0}^{\infty }\int \limits _{0}^{1}{\frac {x^{n}(\log x)^{n}}{n!}}dx$ .

Щоб отримати наведені вище інтеграли, замінимо змінну $x=\exp \left(-{\frac {u}{n+1}}\right)$ . Після цієї заміни межі інтеграла перетворюються на $0<u<\infty$ , що дає нам:

$\int \limits _{0}^{1}x^{n}(\log x)^{n}dx=(-1)^{n}(n+1)^{-(n+1)}\int \limits _{0}^{\infty }u^{n}e^{-u}du$ .

За інтегральною тотожністю Ейлера для гамма-функції:

$\int \limits _{0}^{\infty }u^{n}e^{-u}du=n!$ ,

тому:

$\int \limits _{0}^{1}{\frac {x^{n}(\log x)^{n}}{n!}}dx=(-1)^{n}(n+1)^{-(n+1)}$ .

Підсумувавши і змінивши індексацію (вона починається з n=1, а не з n=0), отримаємо шукану тотожність.

Версії доведень

Початкове доведення, яке дав Бернуллі^[2] і подане в сучасному вигляді^[3], відрізняється від наведеного вище в частині розрахунку інтеграла $\int _{0}^{1}x^{n}(\log \,x)^{n}\,dx$ , але в іншому ідентичне за винятком технічних деталей. Замість інтегрування методом підстановки, використовуючи гамма-функцію (яка на момент доведення ще не була відома), Бернуллі використав інтегрування частинами.

Примітки

↑ Borwein, Jonathan; Bailey, David H.; Girgensohn, Roland (2004), Experimentation in Mathematics: Computational Paths to Discovery, с. 4, 44, ISBN 978-1-56881-136-9
↑ Johann Bernoulli, 1697, collected in Johannis Bernoulli, Opera omnia, vol. 3, pp. 376–381
↑ Dunham, William (2005), 3: The Bernoullis (Johann and $x^{x}$ ), The Calculus Gallery, Masterpieces from Newton to Lebesgue, Princeton, NJ: Princeton University Press, с. 46—51, ISBN 978-0-691-09565-3

п о р Ірраціональні числа
Стала Апері ( $ζ(3)$ ) Стала Ердеша — Борвейна $(E)$ Константи Фейгенбаума Мрія софомора Стала простих чисел $(ρ)$ Пластичне число $(ρ)$ Логарифм двійки $(ln 2)$ Корінь 12-го степеня з 2 (¹²√2) Квадратний корінь з 2 (√2) Квадратний корінь з 3 (√3) Квадратний корінь з 5^[en] (√5) Золотий перетин $(φ)$ Надзолотий перетин^[en] $(ψ)$ Срібний перетин $(δ S)$ $e$ π Стала Гельфонда $(e π)$ Стала Гельфонда — Шнайдера $(2 \sqrt 2)$
Шизофренічні Трансцендентні Тригонометричні
Міра ірраціональності

Read other articles:

Daniel 12

Daniel 12Kitab Daniel lengkap pada Kodeks Leningrad, dibuat tahun 1008.KitabKitab DanielKategoriNabi-nabi besarBagian Alkitab KristenPerjanjian LamaUrutan dalamKitab Kristen27← pasal 11 Hosea 1 → Daniel 12 (disingkat Dan 12) adalah pasal kedua belas (dan terakhir) Kitab Daniel dalam Alkitab Ibrani dan Perjanjian Lama di Alkitab Kristen. Berisi riwayat Daniel yang berada di Babel pada abad ke-6 SM.[1][2] Teks Pasal ini dibagi atas 13 ayat. Berfokus pada penglihatan ...

The Sandlot (franchise)

1993 American filmThe SandlotOfficial franchise logo, as released in 1993.Based onOriginal characters created by David Mickey Evans Robert GunterDistributed by 20th Century Fox 20th Century Studios through: The Walt Disney Company Release date1993–presentCountryUnited StatesLanguageEnglishBox office$70,483,924 (cumulative of 3 released films)[a] The Sandlot franchise[1][2] consists of American coming-of-age sport-comedy installments including one theatrical film, and...

Dandadan

DandadanSampulダンダダンGenreLaga[1]Komedi romantis[1]Supranatural[2] MangaPengarangYukinobu Tatsu [ja]PenerbitShueishaPenerbit bahasa InggrisNA Viz MediaImprintJump Comics+MajalahShōnen Jump+DemografiShōnenTerbit6 April, 2021 – sekarangVolume14 Seri animeDan Da DanSutradaraFūga YamashiroSkenarioHiroshi SekoMusikKensuke UshioStudioScience SaruPelisensiCrunchyrollNetflix SA/SEA Muse CommunicationSaluranasliJNN (MBS, TBS)Tayang Oktober 2024 – dij...

Harold Budd

Harold BuddInformasi latar belakangNama lahirHarold Montgomory BuddLahir(1936-05-24)24 Mei 1936Los Angeles, California, ASMeninggal8 Desember 2020(2020-12-08) (umur 84)Arcadia, California, ASGenreAvant-garde[1]jazzminimalismesekitarNeoklasikal[2]PekerjaanMusisikomponispenyairprofesorInstrumenPianokeyboardgitarTahun aktif1962–2020LabelOpalLandDarlaSamadhiNew WorldAll SaintsEG4ADSitus webharoldbudd.com Harold Montgomory Budd (24 Mei 1936 – 8 Desember 2020)...

Copernicus (Martian crater)

Crater on Mars This article is about the crater on Mars. For the crater on the Moon, see Copernicus (lunar crater). Crater on MarsCopernicus CraterA daytime infrared image mosaic from the Thermal Emission Imaging System (THEMIS) instrument of the 2001 Mars Odyssey spacecraftPlanetMarsCoordinates48°48′S 168°48′W / 48.8°S 168.8°W / -48.8; -168.8QuadranglePhaethontisDiameterc. 300 kmEponymNicolaus Copernicus Viking 1 image of Copernicus (right) Copernicus is a lar...

Élections départementales de 2015 dans le Pas-de-Calais

2011 2021 Élections départementales de 2015 dans le Pas-de-Calais 78 sièges au sein du conseil départemental les 22 et 29 mars 2015 Type d’élection Élections départementales Campagne Du 9 mars 2015 au 21 mars 2015 Du 23 mars 2015 au 28 mars 2015 Corps électoral et résultats Population 1 462 807 Inscrits au 1er tour 1 085 420 Votants au 1er tour 562 334 51,81 % Votes exprimés au 1er tour 534 258 Votes blancs au 1er tour 18 120 ...

Paradise Lost (Symphony X album)

Paradise LostAlbum studio karya Symphony XDirilis26 Juni 2007 (2007-06-26)[1]Direkam2006–07 in The DungeonGenreProgressive metal, neo-classical metal, power metalDurasi61:00LabelInside Out MusicProduserMichael RomeoKronologi Symphony X The Odyssey(2002)The Odyssey2002 Paradise Lost(2007) Iconoclast(2011)Iconoclast2011 Penilaian profesional Skor ulasan Sumber Nilai AllMusic [1] Paradise Lost adalah album studio ketujuh oleh band progressive metal Symphony X, dirilis ...

Leonardo Torres y Quevedo

Leonardo Torres y Quevedo Leonardo Torres y Quevedo (bahasa Spanyol: [le.oˈnarðo ˈtores i keˈβeðo]) (28 Desember 1852 – 18 Desember 1936) adalah seorang insinyur sipil dan matematikawan Spanyol pada akhir abad ke-19 dan awal abad ke-20. Biografi Torres lahir pada tanggal 28 Desember 1852 Ia menikah pada tahun 1885, dan memiliki delapan anak. Pranala luar From Analytical Engine to Electronic Digital Computer: The Contributions of Ludgate, Torres and Bush A Short Acco...

UFC Fight Night: Rothwell vs. dos Santos

UFC mixed martial arts event in 2016 UFC Fight Night: Rothwell vs. dos SantosThe poster for UFC Fight Night: Rothwell vs. dos SantosInformationPromotionUltimate Fighting ChampionshipDateApril 10, 2016VenueArena ZagrebCityZagreb, CroatiaAttendance13,177[1]Total gate$549,000[1]Event chronology UFC Fight Night: Hunt vs. Mir UFC Fight Night: Rothwell vs. dos Santos UFC on Fox: Teixeira vs. Evans UFC Fight Night: Rothwell vs. dos Santos (also known as UFC Fight Night 86) was a mixe...

Pemilihan umum Wali Kota Cilegon 2024

Pemilihan umum Wali Kota Cilegon 20242020202927 November 2024Kandidat Peta persebaran suara Peta Provinsi Banten yang menyoroti Kota Cilegon Wali Kota dan Wakil Wali Kota petahanaHelldy Agustian & Sanuji Pentamarta Wali Kota & Wakil Wali Kota terpilih Belum diketahui Pemilihan umum Wali Kota Cilegon 2024 dilaksanakan pada 27 November 2024 untuk memilih Wali Kota Cilegon periode 2024–2029.[1] Pemilihan Wali Kota Cilegon tahun tersebut akan diselenggarakan setelah Pemilihan u...

Coppa Italia 1969-1970

Coppa Italia 1969-1970 Competizione Coppa Italia Sport Calcio Edizione 23ª Organizzatore Lega Nazionale Professionisti Date dal 31 agosto 1969al 10 giugno 1970 Luogo Italia Partecipanti 36 Risultati Vincitore Bologna(1º titolo) Secondo Torino Terzo Cagliari Quarto Varese Statistiche Miglior marcatore Giuseppe Savoldi (6) Artemio Franchi consegna il trofeo a Giacomo Bulgarelli, capitano dei bolognesi Cronologia della competizione 1968-1969 1970-1971 Manuale La Coppa Itali...

Transmitter

Electronic device that emits radio waves For broader coverage of this topic, see Signal transmission. For the band, see The Transmitters. This article includes a list of general references, but it lacks sufficient corresponding inline citations. Please help to improve this article by introducing more precise citations. (October 2022) (Learn how and when to remove this message) Commercial FM broadcasting transmitter at radio station WDET-FM, Wayne State University, Detroit, US. It broadcasts a...

Ituri Province

Province of the Democratic Republic of the Congo Ituri redirects here. For other uses, see Ituri (disambiguation). Province in DR CongoIturi Province du l'Ituri (French)Mkoa wa Ituri (Swahili)ProvinceOkapi Wildlife Reserve SealCoordinates: 1°50′N 29°30′E / 1.833°N 29.500°E / 1.833; 29.500Country DR CongoEstablished2015Named forIturi RiverCapitalBuniaGovernment • GovernorJohnny Luboya Nkashama (military)[1]Area • Total65,658&...

1778 in the United States

List of events ← 1777 1776 1775 1778 in the United States → 1779 1780 1781 Decades: 1770s 1780s 1790s See also: History of the United States (1776–1789) Timeline of the American Revolution List of years in the United States 1778 in the United States1778 in U.S. states States Connecticut Delaware Georgia Maryland Massachusetts New Hampshire New Jersey New York North Carolina Pennsylvania Rhode Island South Carolina Virginia List of years in the United States by state or territor...

Liga Super Swiss

Super LeagueNegara SwissKlub lain dariLiechtensteinKonfederasiUEFADibentuk1897Jumlah tim10Tingkat pada piramida1Degradasi keChallenge LeaguePiala domestikPiala SwissPiala internasionalLiga Champions UEFALiga Eropa UEFALiga Konferensi Eropa UEFAJuara bertahan ligaYoung Boys (gelar ke-16) (2022–23)Klub tersuksesGrasshopper (27)Situs webSFL.ch Liga Super Swiss 2023–24 Liga Super Swiss, atau Raiffeisen Super League untuk alasan sponsorship, adalah liga profesional tingkat tertinggi dalam...

قائمة البلديات في أشتورية

بلديات المقاطعة هنا قائمة ببلديات منطقة أشتورية (بالإسبانية: Asturias)‏, المصنفة على أنها إحدى مقاطعات إسبانيا. والتي تقع في الشمال الغربي لإسبانيا. الاسم السكان (2002) السكان (2014)[1] ألاندي 2,374 1,891 ألير 14,786 11,906 أمايفا 889 772 أفايلاس 83,511 82,568 بيلمونتي دي ميراندا 2,209 1,711 بايمينس 2,071 1,8...

Viktōr Klōnaridīs

Questa voce sugli argomenti calciatori greci e calciatori belgi è solo un abbozzo. Contribuisci a migliorarla secondo le convenzioni di Wikipedia. Segui i suggerimenti dei progetti di riferimento 1, 2. Viktōr KlōnaridīsNazionalità Grecia Belgio Altezza178 cm Peso70 kg Calcio RuoloCentrocampista Squadra svincolato CarrieraGiovanili 2007-2010 AEK Atene Squadre di club1 2010-2012 AEK Atene15 (3)[1]2012-2013 Lille3 (0)2013→ Mouscron-Péruwelz7 (...

Ring of Gyges

Mythical magical artifact in Plato's Republic Part of a series onPlatonism Life Works Theory of forms Form of the Good Theory of soul Epistemology Political philosophy Euthyphro dilemma Demiurge Atlantis The Republic Allegory of the cave Analogy of the Sun Analogy of the divided line Philosopher king Ship of State Ring of Gyges Myth of Er The works of Plato Euthyphro Apology Crito Phaedo Cratylus Theaetetus Sophist Statesman Parmenides Philebus Symposium Phaedrus First Alcibiades Second Alcib...

Ike Opara

Questa voce sull'argomento calciatori statunitensi è solo un abbozzo. Contribuisci a migliorarla secondo le convenzioni di Wikipedia. Segui i suggerimenti del progetto di riferimento. Ike OparaNazionalità Stati Uniti Altezza188 cm Calcio RuoloDifensore Termine carriera5 agosto 2021 CarrieraSquadre di club1 2010-2012 S.J. Earthquakes38 (3)[1]2013-2019 Sporting K.C.128 (11)[2]2019-2021 Minnesota Utd36 (5)[3] Nazionale 2009 Stati Uniti U-207 (0...

PDP-6

36-bit mainframe computer (1964–1966) PDP-6Gordon Bell and Alan Kotok using a PDP-6 in 1964DeveloperDigital Equipment CorporationProduct familyProgrammed Data ProcessorTypeMainframe computerRelease date1964; 60 years ago (1964)Operating systemearly version of what later became TOPS-10, custom versions of the system, ITS, WAITSPlatformDEC 36-bitMass1,300 pounds (590 kg), 1,700 pounds (770 kg) with Fast MemorySuccessorPDP-10 The PDP-6, short for Programmed Data Pro...