Метод варіації параметрів

Метод варіації параметрів або метод варіації довільної сталої (англ. variation of parameters, variation of constants) — це загальний метод для розв'язання неоднорідних лінійних звичайних диференціальних рівнянь. А саме знаходження часткового розв'язку неоднорідного рівняння, знаючи розв'язок відповідного однорідного рівняння.

Для неоднорідних лінійних диференціальних рівнянь першого порядку зазвичай можливо з набагато меншими зусиллями знайти розв'язки, використовуючи інтегрувальний множник або невизначені коефіцієнти, хоча ці методи послуговуються евристиками, що вимагає вгадування і не спрацьовує для всіх неоднорідних лінійних диференціальних рівнянь.

Варіацію параметрів можна також поширити і на диференціальні рівняння з частинними похідними, конкретно на неоднорідні задачі для рівнянь лінійної еволюції як-от рівняння теплопровідності, хвильове рівняння і рівняння вібрування пластини. У цих умовах, метод відомий як принцип Дюамеля.


Лінійне диференціальне рівняння першого порядку

Розв'яжемо відповідне ЛОР і запишемо його загальний розв'язок.

.

Однорідне рівняння можна розв'язати довільним методом, наприклад методом розділення змінних:

Загальний розв'язок:

Тепер розв'яжемо неоднорідне рівняння:

Використовуючи метод варіації довільних сталих, ми отримаємо частковий розв'язок із загального:

Підставляючи частковий розв'язок в нелінійне рівняння ми можемо знайти C(x):

Тоді частковий розв'язок:

І загальний розв'язок лінійного неоднорідного рівняння є сумою загального розв'язку відповідного однорідного рівняння та деякого частинного розв'язку лінійного неоднорідного рівняння:

Звичайне диференціальне рівняння другого порядку

Припустимо, що нам відомі лінійно незалежні розв'язки і для відповідного однорідного рівняння

тоді ми шукаємо і такі, що

Тепер накладемо таку додаткову умову:

отже

Підставимо і в початкове рівняння, у результаті отримуємо

що спрощується до

Разом із додатковою умовою маємо систему

Для розв'язання щодо і використаємо правило Крамера, отримуємо

де

це визначник Вронського, який є функцією тільки від отже ми можемо проінтегрувати і отримати

довільні сталі інтегрування можна опустити, оскільки нам достатньо одного часткового розв'язку. Тепер, отримані і можна підставити для отримання часткового розв'язку

Посилання

Weisstein, Eric W. Метод варіації параметрів(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.

Read other articles:

Maze of FearsAlbum studio karya Darryl WezyDirilis8 October 2012DirekamPendulum Studio, Rooftop Sound StudioGenreIndie Pop, Alternative RockLabelIvy League Music / Rooftop SoundProduserAghi NarottamaKronologi Darryl Wezy -String Module Error: Match not foundString Module Error: Match not found Maze of Fears (2012) Kemarau Terakhir (2018)String Module Error: Match not foundString Module Error: Match not found Maze of Fears merupakan sebuah album musik perdana milik penyanyi-pencipta lagu a...

 

 

Culinary traditions of Nepal This article needs additional citations for verification. Please help improve this article by adding citations to reliable sources. Unsourced material may be challenged and removed.Find sources: Nepalese cuisine – news · newspapers · books · scholar · JSTOR (May 2015) (Learn how and when to remove this template message) Nepali dal-bhat-tarkari 84 byanjan food with rice on a leaf platter Nepali-style momo with chili Nepali-s...

 

 

Guillermo Franco Franco pada tahun 2010Informasi pribadiNama lengkap Guillermo Luis Franco Farquarson[1]Tanggal lahir 3 November 1976 (umur 47)Tempat lahir Corrientes, ArgentinaTinggi 1,81 m (5 ft 11+1⁄2 in)Posisi bermain PenyerangKarier senior*Tahun Tim Tampil (Gol)1995–2002 San Lorenzo 96 (23)2002–2005 Monterrey 119 (63)2006–2009 Villarreal 81 (14)2009–2010 West Ham United 23 (5)2010–2012 Vélez Sársfield 18 (5)2012 Pachuca 12 (0)2012 Chicago Fi...

Untuk tempat lain yang bernama sama, lihat Gandu. GanduKotamadya dan kotaLokasi Gandu di BahiaNegaraKawasanNordesteNegara bagianBahiaPemerintahan • Wali kotaIrismá Santos da Silva SouzaLuas • Total88,464 sq mi (229,121 km2)Populasi (2009) • Total31,819 • Kepadatan3,390/sq mi (130,8/km2)Zona waktuUTC-3 Gandu adalah kota dan kotamadya di negara bagian Bahia, Kawasan Nordeste, Brasil.[1][2][3][4...

 

 

Lokasi Kota Ambon di Provinsi Maluku Berikut adalah Daftar kecamatan dan kelurahan/desa di Kota Ambon, Provinsi Maluku, Indonesia, beserta informasi kependudukan, luas wilayah, Kodepos, dan kode BPS-nya. Kota Ambon adalah kota terbesar ke-38 di Indonesia dengan penduduk sebanyak 427.934 jiwa pada 2016[1] dan kota dengan luas wilayah terbesar ke-21 dengan luas wilayah daratan 359,45 km².[2] Karena kota merupakan bagian dari Provinsi Maluku, sebagian desa disebut dengan is...

 

 

Penyuntingan Artikel oleh pengguna baru atau anonim untuk saat ini tidak diizinkan.Lihat kebijakan pelindungan dan log pelindungan untuk informasi selengkapnya. Jika Anda tidak dapat menyunting Artikel ini dan Anda ingin melakukannya, Anda dapat memohon permintaan penyuntingan, diskusikan perubahan yang ingin dilakukan di halaman pembicaraan, memohon untuk melepaskan pelindungan, masuk, atau buatlah sebuah akun. iNews MedanPT Deli Media TelevisiMedan, Sumatera UtaraIndonesiaSaluranDigital: 42...

Royaumes du Commonwealth.Territoires des royaumes du Commonwealth.Anciens royaumes du Commonwealth. Un royaume du Commonwealth (en anglais : Commonwealth realm) est un État souverain, membre du Commonwealth, qui partage la même personne (actuellement, le roi Charles III) comme monarque et chef d'État[1],[2]. Il y a actuellement quinze royaumes du Commonwealth[1],[2] et, bien que Charles III soit roi de chacun d'entre eux, il s'agit de Couronnes différentes, et chaque État conserve s...

 

 

يفتقر محتوى هذه المقالة إلى الاستشهاد بمصادر. فضلاً، ساهم في تطوير هذه المقالة من خلال إضافة مصادر موثوق بها. أي معلومات غير موثقة يمكن التشكيك بها وإزالتها. (يونيو 2019) الدوري البولندي الممتاز 1949 تفاصيل الموسم الدوري البولندي الممتاز  النسخة 23  البلد بولندا  المنظم �...

 

 

Space in which a market operates For other uses, see Marketplace (disambiguation). Public market redirects here. For other uses, see Public market (disambiguation). The Moorish Bazaar by Edwin Lord Weeks, 1873. Group in the Marketplace, Jamaica, from Harper's Monthly Magazine, Vol. XXII, 1861, p. 176. Spruce Beer Sellers in Jamaica, from Harper's Monthly Magazine, Vol. XXII, 1861, p. 176. Traditional market place in Africa A marketplace, market place or just market is a location where people ...

Radivoje Ognjanović Nazionalità  Jugoslavia Jugoslavia (dal 1992) Altezza 179[1] cm Peso 75[1] kg Calcio Ruolo Allenatore (ex attaccante) Termine carriera 1966 - giocatore1994 - allenatore CarrieraSquadre di club1 ????-1951 Srem? (?)1951-1953 Partizan10 (1)1954-1961 Radnički Belgrado162 (61)1961-1962 Partizan9 (1)1962-1963 Stella Rossa11 (2)1963-1964 Sturm Graz? (?)1964-1965 Basilea? (?)1965-1966 Greenham? (?)Nazionale ????...

 

 

信徒Believe类型奇幻、科幻开创阿方索·卡隆主演 Johnny Sequoyah Jake McLaughlin Delroy Lindo 凯尔·麦克拉克伦 西耶娜·盖尔利 鄭智麟 Tracy Howe Arian Moayed 国家/地区美国语言英语季数1集数12每集长度43分钟制作执行制作 阿方索·卡隆 J·J·艾布拉姆斯 Mark Friedman 布赖恩·伯克 机位多镜头制作公司坏机器人制片公司华纳兄弟电视公司播出信息 首播频道全国广播公司播出日期2014年3月10日...

 

 

Military campaign of the American Civil War Tullahoma campaignPart of the American Civil WarCommanding generals Rosecrans and BraggDateJune 24 (1863-06-24) – July 3, 1863 (1863-07-04)LocationTennesseeResult Union victoryBelligerents United States (Union) CSA (Confederacy)Commanders and leaders William Rosecrans Braxton BraggStrength 50,000–60,000 about 45,000Casualties and losses 569 (83 killed, 473 wounded, and 13 captured or missing) Total unknown, 1,634 captured vteTullahoma ...

Book by Charles Elmé Francatelli from 1846 The Modern Cook Title page of 21st editionAuthorCharles Elmé FrancatelliIllustrator60 engravings, artists not namedCountryEnglandSubjectProfessional cookingPublisherRichard Bentley & SonPublication date1846 (1846)Pages560 (1886 ed.) The Modern Cook was the first cookery book by the Anglo-Italian cook Charles Elmé Francatelli (1805–1876). It was first published in 1846. It was popular for half a century in the Victorian era, running thro...

 

 

This article relies largely or entirely on a single source. Relevant discussion may be found on the talk page. Please help improve this article by introducing citations to additional sources.Find sources: Chevrolet Miray – news · newspapers · books · scholar · JSTOR (March 2015) Motor vehicle Chevrolet MirayChevrolet Miray concept car.OverviewManufacturerChevrolet (General Motors)DesignerChevrolet Advanced Design teamBody and chassisClassConcept carBod...

 

 

السباحة الفنية في الألعاب الأولمبية الصيفية 2020 المكان مركز طوكيو للألعاب المائية التواريخ 2–7 آب 2021 عدد المنافسات 2 المنافسين 104 تعديل مصدري - تعديل   من المقرر أن تضم مسابقات السباحة الفنية ( السباحة المتزامنة سابقًا) في الألعاب الأولمبية الصيفية 2020 في طوكيو باليابان ما ...

قرية القفيلة تقسيم إداري  البلد السودان  تعديل مصدري - تعديل   قرية القفيلة قرية سودانية تتبع لوحدة أبوقوتة محلية الحصاحيصا ولاية الجزيرة وتقع بين قرتي الخيران وكترة الضناقله.[1][2] مراجع ^ القبائل العربية في دارفور قد تغير موازين حرب السودان. aawsat.com. مؤرشف من �...

 

 

Constance dari PrancisComtesse ChampagnePeriodesekitar tahun 1093-1103?Permaisuri AntiokhiaPeriode1093/95-1104Informasi pribadiWangsaKapetiaAyahPhilippe I dari PrancisIbuBertha dari HollandPasanganHugues I dari ChampagneBohemond I dari AntiokhiaAnakBohemond II dari Antiokhia Constance dari Prancis (1078- Januari 1124/1126) merupakan putri Raja Philippe I dari Prancis dan Bertha dari Holland. Ia berasal dari Wangsa Kapetia dan putri Antiokhia dari pernikahan keduanya dan istri Comte Champagne ...

 

 

本條目存在以下問題,請協助改善本條目或在討論頁針對議題發表看法。 此條目需要擴充。 (2016年5月2日)请協助改善这篇條目,更進一步的信息可能會在討論頁或扩充请求中找到。请在擴充條目後將此模板移除。 此條目需要精通或熟悉相关主题的编者参与及协助编辑。 (2016年5月2日)請邀請適合的人士改善本条目。更多的細節與詳情請參见討論頁。 此條目已列出參考文獻,�...

Virtue of being great of mind and heart The magnanimity of Alexander towards the captive Porus. Magnanimity (from Latin magnanimitās, from magna big + animus soul, spirit) is the virtue of being great of mind and heart. It encompasses, usually, a refusal to be petty, a willingness to face danger, and actions for noble purposes. Its antithesis is pusillanimity (Latin: pusillanimitās). Although the word magnanimity has a traditional connection to Aristotelian philosophy, it also has its own t...

 

 

Politics of Romania Constitution Referendums 1991 (adoption) 2003 (amendments) Constitutional Court Government President (list) Klaus Iohannis Prime Minister (list) Marcel Ciolacu Cabinet (current, list) Parliament Senate President: Nicolae Ciucă Standing Bureau Chamber of Deputies President: Daniel Suciu Standing Bureau Judiciary High Court of Cassation and Justice Constitutional Court Ombudsman Judicial reform Political parties Parliamentary National Liberal Party (PNL) Social Democratic ...